正十七边形尺规作图与详细讲解文档格式.docx

1、“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。”布德勒抬头一看，大吃一惊。小石板上写着 5050，一点也没有错！高斯的算法是 1 2 3989910010099983 2110110110110110110110110010100 1010025050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。这道题把他

2、难住了所学过的数学知识竟然对解出这道题没有任何帮助。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。他绞尽脑汁，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。当窗口露出曙光时，他终于解决了这道难题。 当他把作业交给导师时，感到很惭愧。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，”导师看完作业后，激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米得没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！”原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为拿错了，才将写有这道题目的纸条交给了学生。 在这件事情发生后，高斯曾回忆说：“如果有人告诉我，那是一道千古难题

3、，我可能永远也没有信心将它解出来。” 1796年3月30日，当高斯差一个月满十九岁时，在期刊上发表关于正十七边形作图的问题。他显然以此为自豪，还要求以后将正十七边形刻在他的墓碑上。然而高斯的纪念碑上并没有刻上十七边形，而刻着一颗十七角星，原来是负责刻纪念碑的雕刻家认为：“正十七边形和圆太像了，刻出来之后，每个人都会误以为是一个圆。1877年布雷默尔奉汉诺威王之命为高斯做一个纪念奖章。上面刻着：“汉诺威王乔治V. 献给数学王子高斯（Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi）”，自那之后，高斯就以“数学王子”着称于世。二、高斯正十七边形

4、尺规作图的思路（这里是纯三角法）作正十七边形的关键是作出cos，为此要建立求解cos的方程。设正17边形中心角为，则172，即162 故sin16sin ，而 sin162sin8 cos84sin4 cos4 cos88 sin2 cos2 cos4 cos816 sin cos cos2 cos4 cos8 因sin 0，两边除以sin，有 16cos cos2 cos4 cos81由积化和差公式，得4（coscos3）（cos4cos12）1展开，得4（cos cos4cos cos12cos3 cos4cos3 cos12）1再由积化和差公式，得2（cos3cos5）（cos11cos

5、13）（coscos7）（cos9cos15）1注意到 cos11cos6，cos13cos4，cos9cos8，cos15cos2，有 2（coscos2cos3cos4cos5cos6cos7cos8）1设 a2（cos+ cos2+cos4+ cos8），b2（cos3+ cos5+cos6+ cos7），则 ab1 又ab2（coscos2cos4cos8）2（cos3cos5cos6cos7） 4cos（cos3cos5cos6cos7）4cos2（cos3cos5cos6cos7）4cos4（cos3cos5cos6cos7）4cos8（cos3cos5cos6cos7） 再展开之

6、后共16项，对这16项的每一项应用积化和差公式，可得： ab2 （cos2cos4）（cos4cos6）（cos5cos7）（cos6cos8）（coscos5）（cos3cos7）（cos4cos8）（cos5cos9）（coscos7）（coscos9）（cos2cos10）（cos3cos11）（cos5cos11）（cos3cos13）（cos2cos14）（coscos15）注意到cos9cos8，cos10cos7， cos11cos6，cos13cos4，cos14cos3，cos15cos2，有 ab24（coscos2cos3cos4cos5cos6cos7cos8）4 因为

7、coscos2cos8（coscos）cos2coscoscos（cos）又 0 即coscos2cos8 0又因为 cos4cos所以 acoscos2cos4cos8 又 ab-4 0， b可解得 a，b再设c2（coscos4），d2（cos2cos8），则c+da cd2（cos+ cos4）2（cos2+ cos8）4 （coscos2coscos8cos4cos2cos4cos8）2 （coscos3）（cos7cos9）（cos2cos6）（cos4cos12）注意到cos9cos8， cos12cos5，有cd2（coscos3）（cos7cos8）（cos2cos6）（cos

8、4cos5）2（ coscos2cos3cos4cos5cos6cos7cos8）-1因为 0 2 4 8 cos2，cos4 cos8两式相加得 coscos4 cos2cos8或2（coscos4） 2（cos2cos8）即 c d，又 cd-1 0， d 可解得c，【 d】类似地，设e2（cos3cos5），f2（cos6cos7）则e+fbef2（cos3cos5）2（cos6cos7）4（cos3cos6cos3cos7cos5cos6cos5cos7）2 （cos3cos9）（cos4cos10）（coscos11）（cos2cos12）注意到cos9cos8，cos10cos7，

9、 cos11cos6，cos12cos5，有ef2（cos3cos8）（cos4cos7）（coscos6）（cos2cos5） 3 5 6 7 cos6，cos5 cos7两式相加得cos3cos5 cos6cos72（cos3cos5） 2（cos6cos7）即 e f，又 ef-1 0， f 0 e， 【f由c2（coscos4），得coscos4，即cose2（cos3cos5），应用积化和差公式，得coscos4，即 cos因为0，所以cos，【cos于是，我们得到一系列的等式：，c，e，有了这些等式，只要依次作出a、b、c、e，便可作出cos。步骤一：给一圆O，作两垂直的半径OA、

10、OB， 作C点使OC1/4OB， 作D点使OCD1/4OCA， 作AO延长线上E点使得DCE45度。步骤二：作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。步骤三：过G4作OA垂直线交圆O于P4， 过G6作OA垂直线交圆O于P6， 则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。连接P4P6，以1/2弧P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。历史最早的十七边形画法创造人为高斯。高斯（17771855年），德国数学家、物理学家和天文学家。在童年时代就表现出非凡的数学天才。

11、三岁学会算术，八岁因发现等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获得博士学位。高斯的数学成就遍及各个领域，其中许多都有着划时代的意义。同时，高斯在天文学、大地测量学和磁学的研究中也都有杰出的贡献。1801年，高斯证明：如果k是质数的费马数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。高斯本人就是根据这个定理作出了正十七边形，解决了两千年来悬而未决的难题。道理当时，如果高斯的老师告诉了高斯这是道2000多年没人解答出来的题目，高斯就不会画出这个正十七边形。这说明了你不怕困难，困难就会被攻克，当你惧怕困难，你就不会胜利。正十七边形的证明方法正十七边形的尺规作图存在之证

12、明:设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a 故sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除之有:16cosacos2acos4acos8a=-1 又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 2（cosa+cos2a+cos8a）=-1 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有:x+y=-1/2 又

13、xy=（cosa+cos2a+cos4a+cos8a）（cos3a+cos5a+cos6a+cos7a） =1/2（cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+cosa+cos15a） 经计算知xy=-1 又有 x=（-1+根号17）/4,y=（-1-根号17）/4 其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有x1+x2=（-1+根号17）/4 y1+y2=（-1-根号17）/4 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=（y1）/2 可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出