1、【数量关系】 总量份数1份数量 1份数量所占份数所求几份的数量 另一总量(总量份数)所求份数【解题思路和方法】 先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。例1 买5支铅笔要0.6元钱,买同样的铅笔16支,需要多少钱? 解(1)买1支铅笔多少钱? 0.650.12(元) (2)买16支铅笔需要多少钱?0.12161.92(元) 列成综合算式5160.12 答:需要1.92元。例2 3台拖拉机3天耕地90公顷,照这样计算,5台拖拉机6 天耕地多少公顷? 解(1)1台拖拉机1天耕地多少公顷? 903310(公顷) (2)5台拖拉机6天耕地多少公顷? 106300(公顷)361030300(公顷
2、)5台拖拉机6 天耕地300公顷。例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材,如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材,需要运几次? 解 (1)1辆汽车1次能运多少吨钢材? 100545(吨) (2)7辆汽车1次能运多少吨钢材? 5735(吨) (3)105吨钢材7辆汽车需要运几次? 105353(次)(10047)3(次)需要运3次。2 归总问题 解题时,常常先找出“总数量”,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。份数总量1份数量份数另一份数另一每份数量 先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。
3、服装厂原来做一套衣服用布3.2米,改进裁剪方法后,每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布,现在可以做多少套?解 (1)这批布总共有多少米? 3.27912531.2(米)(2)现在可以做多少套? 2531.22.8904(套)791现在可以做904套。 小华每天读24页书,12天读完了红岩一书。小明每天读36页书,几天可以读完红岩? (1)红岩这本书总共多少页? 2412288(页) (2)小明几天可以读完红岩? 288368(天)12小明8天可以读完红岩。 食堂运来一批蔬菜,原计划每天吃50千克,30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见,每天比原计划多吃10千克,这批蔬菜可以吃多少
4、天? (1)这批蔬菜共有多少千克? 50301500(千克)(2)这批蔬菜可以吃多少天? 1500(5010)25(天)列成综合算式30(5010)15006025(天)这批蔬菜可以吃25天。3 和差问题 已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少,这类应用题叫和差问题。 大数(和差) 2 小数(和差) 2 简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。 甲乙两班共有学生98人,甲班比乙班多6人,求两班各有多少人? 解 甲班人数(986)252(人) 乙班人数(986)246(人)甲班有52人,乙班有46人。 长方形的长和宽之和为18厘米,长比宽多2厘米,求长方形的面积。 长(182)
5、210(厘米) 宽(182)28(厘米) 长方形的面积 10880(平方厘米)长方形的面积为80平方厘米。 有甲乙丙三袋化肥,甲乙两袋共重32千克,乙丙两袋共重30千克,甲丙两袋共重22千克,求三袋化肥各重多少千克。 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙,从中可以看出甲比丙多(3230)2千克,且甲是大数,丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量(222)212(千克)丙袋化肥重量(222)210(千克) 乙袋化肥重量321220(千克)答:甲袋化肥重12千克,乙袋化肥重20千克,丙袋化肥重10千克。例4 甲乙两车原来共装苹果97筐,从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐,两车原来各装苹果多少筐?
6、“从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐”,这说明甲车是大数,乙车是小数,甲与乙的差是(1423),甲与乙的和是97,因此 甲车筐数(971423)264(筐) 乙车筐数976433(筐)甲车原来装苹果64筐,乙车原来装苹果33筐。4 和倍问题 已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题。 总和 (几倍1)较小的数 总和 较小的数 较大的数 较小的数 几倍 较大的数 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。 果园里有杏树和桃树共248棵,桃树的棵数是杏树的3倍,求杏树、桃树各多少棵? (1)杏树有多少棵? 24
7、8(31)62(棵) (2)桃树有多少棵? 623186(棵)杏树有62棵,桃树有186棵。 东西两个仓库共存粮480吨,东库存粮数是西库存粮数的1.4倍,求两库各存粮多少吨? (1)西库存粮数480(1.41)200(吨) (2)东库存粮数480200280(吨)东库存粮280吨,西库存粮200吨。 甲站原有车52辆,乙站原有车32辆,若每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,几天后乙站车辆数是甲站的2倍? 每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,相当于每天从甲站开往乙站(2824)辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量,这时乙站的车辆数就是2倍量,两站的车辆总数(5232)就
8、相当于(21)倍,那么,几天以后甲站的车辆数减少为 (5232)(21)28(辆)所求天数为 (5228)(2824)6(天)6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。 甲乙丙三数之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三数各是多少? 乙丙两数都与甲数有直接关系,因此把甲数作为1倍量。因为乙比甲的2倍少4,所以给乙加上4,乙数就变成甲数的2倍;又因为丙比甲的3倍多6,所以丙数减去6就变为甲数的3倍;这时(17046)就相当于(123)倍。那么, 甲数(17046)(123)28 乙数282452丙数283690甲数是28,乙数是52,丙数是90。5 差倍问题 已知两个数的差及大数是小数的几倍
9、(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题。 两个数的差(几倍1)较小的数 较小的数几倍较大的数 果园里桃树的棵数是杏树的3倍,而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵? 124(31)62(棵)果园里杏树是62棵,桃树是186棵。 爸爸比儿子大27岁,今年,爸爸的年龄是儿子年龄的4倍,求父子二人今年各是多少岁? (1)儿子年龄27(41)9(岁) (2)爸爸年龄9436(岁)父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。 商场改革经营管理办法后,本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元,又知本月盈利比上月盈利多30万元,求这两个月盈利各是多少万元? 如果把上月盈利作为
10、1倍量,则(3012)万元就相当于上月盈利的(21)倍,因此 上月盈利(3012)(21)18(万元) 本月盈利183048(万元)上月盈利是18万元,本月盈利是48万元。 粮库有94吨小麦和138吨玉米,如果每天运出小麦和玉米各是9吨,问几天后剩下的玉米是小麦的3倍? 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等,所以剩下的数量差等于原来的数量差(13894)。把几天后剩下的小麦看作1倍量,则几天后剩下的玉米就是3倍量,那么,(13894)就相当于(31)倍,因此 剩下的小麦数量(13894)(31)22(吨) 运出的小麦数量942272(吨) 运粮的天数7298(天)8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。
11、6 倍比问题 有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先求出这个倍数,再用倍比的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题。一个数量倍数 另一个数量倍数另一总量 先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数。 100千克油菜籽可以榨油40千克,现在有油菜籽3700千克,可以榨油多少? (1)3700千克是100千克的多少倍? 370010037(倍) (2)可以榨油多少千克?40371480(千克) 40(3700100)1480(千克)可以榨油1480千克。 今年植树节这天,某小学300名师生共植树400棵,照这样计算,全县48000名师生共植树多少棵? (1)48000名是300名的
12、多少倍? 48000300160(倍) (2)共植树多少棵?40016064000(棵) 400(48000300)64000(棵)全县48000名师生共植树64000棵。 凤翔县今年苹果大丰收,田家庄一户人家4亩果园收入11111元,照这样计算,全乡800亩果园共收入多少元?全县16000亩果园共收入多少元? (1)800亩是4亩的几倍? 8004200(倍) (2)800亩收入多少元? 111112002222200(元) (3)16000亩是800亩的几倍? 1600080020(倍) (4)16000亩收入多少元? 22222002044444000(元)全乡800亩果园共收入2222
13、200元, 全县16000亩果园共收入44444000元。 7 相遇问题 两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 相遇时间总路程(甲速乙速) 总路程(甲速乙速)相遇时间 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。 南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行28千米,从上海开出的船每小时行21千米,经过几小时两船相遇? 392(2821)8(小时)经过8小时两船相遇。 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑5米,小刘每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次
14、相遇需多长时间? “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为4002 相遇时间(4002)(53)100(秒)二人从出发到第二次相遇需100秒时间。 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行15千米,乙每小时行13千米,两人在距中点3千米处相遇,求两地的距离。 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点3千米,乙距中点3千米,就是说甲比乙多走的路程是(32)千米,因此, 相遇时间(3(1513)3(小时) 两地距离(1513)384(千米)两地距离是84千米。8 追及问题 两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时
15、出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。 追及时间追及路程(快速慢速) 追及路程(快速慢速)追及时间 好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马? (1)劣马先走12天能走多少千米? 7512900(千米) (2)好马几天追上劣马? 900(12075)20(天)(12075)9004520(天)好马20天能追上劣马。 小明和小亮在200米环形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他们从同一地点同时出发,同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500
16、米,求小亮的速度是每秒多少米。 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即200米,此时小亮跑了(500200)米,要知小亮的速度,须知追及时间,即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒,则跑500米用40(500200)秒,所以小亮的速度是 (500200)40200)3001003(米)小亮的速度是每秒3米。 我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑,解放军在晚上22点接到命令,以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米,问解放军几个小时可以追上敌人? 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(2216)小时,这段时间敌
17、人逃跑的路程是10(226)千米,甲乙两地相距60千米。由此推知 追及时间10(226)60(3010) 2202011(小时)解放军在11小时后可以追上敌人。 一辆客车从甲站开往乙站,每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行40千米,两车在距两站中点16千米处相遇,求甲乙两站的距离。 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(162)千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间,这个时间为 162(4840)4(小时)所以两站间的距离为 (4840)4352(千米)16(4840) 884 352(千米)甲乙两站的距离是352千米。例5 兄妹二人同时
18、由家上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远? 要求距离,速度已知,所以关键是求出相遇时间。从题中可知,在相同时间(从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走(1802)米,这是因为哥哥比妹妹每分钟多走(9060)米,那么,二人从家出走到相遇所用时间为 180(9060)12(分钟) 家离学校的距离为 9012180900(米)家离学校有900米远。例6 孙亮打算上课前5分钟到学校,他以每小时4千米的速度从家步行去学校,当他走了1千米时,发现手表慢了10分钟,因此立即跑步前进,到学校恰好准时上课。后来
19、算了一下,如果孙亮从家一开始就跑步,可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。 手表慢了10分钟,就等于晚出发10分钟,如果按原速走下去,就要迟到(105)分钟,后段路程跑步恰准时到学校,说明后段路程跑比走少用了(105)分钟。如果从家一开始就跑步,可比步行少9分钟,由此可知,行1千米,跑步比步行少用9(105)分钟。所以步行1千米所用时间为 19(105) 0.25(小时) 15(分钟)跑步1千米所用时间为 159(105)11(分钟)跑步速度为每小时11605.5(千米)孙亮跑步速度为每小时 5.5千米。9 植树问题 按相等的距离植树,在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中的两个量,要求第三个量,这类应用题叫做植树问题。线形植树 棵数距离棵距1 环形植树棵距 方形植树棵距4 三角形植树棵距3 面积植树 棵数面积(棵距行距) 先弄清楚植树问题的类型,然后可以利用公式。 一条河堤136米,每隔2米栽一棵垂柳,头尾都栽,一共要栽多少棵垂柳? 1362168169(棵)一共要栽69棵垂柳。 一个圆形池塘周长为400米,在岸边每隔4米栽一棵白杨树,一共能栽多少棵白杨树? 4004100(棵)一共能栽100棵白杨树。 一个正方形的运动场,每边长220
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