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1、 比如一定用插值吗？（5）逼近某个函数不用插值方式，有何变通之举？（6）函数之间的误差如何度量，逼近的标准又是什么？（7） 如何比较好的使用插值多项式呢？1.2计算思路本题我选用拉格朗日插值函数，拉格朗日插值函数的构建算法是从101组数据中等距选取n组数据来构造n阶的拉格朗日插值函数，然后在-5,5区间选取m个插值点带入插值多项式计算出m组（x,y），本题中，我分别取了n=6,8,10，20四种不同的阶数，然后利用matlab绘图命令查看插值函数图像与原函数图像的逼近效果。1.3 计算结果当阶数为5阶时，插值图像与原函数图象如下所示（红色曲线为插值函数曲线，蓝色为原函数曲线）表1（迭代数据）i

2、XiYi1-5.0000 25.000026-2.50006.2693510 10.0000711.0000 1015.0000由图象可以看出，除了在插值点附近的拟合效果还可以，其他的点都差距比较大，总的来说效果不是很好。当阶数为7阶时图象如下：表2（迭代数据）17-3.400011.560033-1.8000 2.883249-0.2000 5.2312651.40003.0219 813.00008.9991 974.600021.1600由此图象可以看出，利用7阶插值来进行计算，在0值附近的拟合不是很好，但总得来说比5阶函数较好。当阶数为10阶时，图象如下：表3（迭代数据）12-3.90

3、0015.210023-2.8000 7.840534-1.7000 2.5554. 893.800014.4400 1004.900024.0100利用10阶函数进行插值计算时，在函数的两端会出现相比于原函数偏离比较大的点，这就是runge（龙格）现象，但不是很明显。当阶数为20阶时，图象如下：表4（迭代数据）6-4.500020.250011-4.0000 16.000016-3.5000 12.2500 914.0000 964.5000由此图像可以看出，runge（龙格）现象已经非常明显了，由于在两端的龙格现象太明显，所以此图是在去除了两端偏离比较大的点。1.4 总结利用拉格朗日插值函

4、数构造插值多项式是比较常用的插值计算的方法之一，其解决了不需要求解方程组的问题，它也有一定的缺点：（1）从实验中可以看出，并不是拉格朗日的插值阶数越高，其插值效果越好，虽然在一些局部拟合的效果较好，但是当阶数超过7阶时就容易出现runge现象，由上图中的阶数n=20时就可以看出；（2）但是当插值阶数太少时，插值的效果又不是很好，由上图中阶数n=5时可以看出，插值效果非常不好；（3）由上面的图象可以分析，利用拉格朗日进行插值计算时，所选取的插值点并不是在区间里平均选取最好，根据不同的函数曲线，应当用不同的方法选点。实验二2.1 题目松弛因子对SOR法收敛速度的影响。用SOR法求解方程组Ax=b,

5、其中要求程序中不存系数矩阵A,分别对不同的阶数取w=1.1, 1.2, .,1.9进行迭代，记录近似解x（k）达到|x（k）-x（k-1）|10-6时所用的迭代次数k，观察松弛因子对收敛速度的影响，并观察当w0或w2会有什么影响？2.2 松弛思想分析SOR法（松弛法），是由高斯-塞德尔迭代方法演变来的。高斯-塞德尔迭代方法的迭代格式为，而松弛法的迭代格式为，通过大量的实验发现，的取值很关键，如果取了好的，迭代方程的收敛速度会加快，根据理论基础可以知道，当02时松弛法才能够收敛。2.3问题的求解分别取不同阶数系数矩阵和不同松弛因子进行计算，结果如下图所示：当取阶数为5时，=1. 1时：迭代次数：

6、迭代过程：x = 0.8250 0.7769 0.7636 0.7600 1.0340x = 0.9561 0.9453 0.9426 1.0176 1.0014x = 0.9893 0.9868 1.0069 1.0005 1.0000x = 0.9974 1.0025 1.0001 1.0000 1.0000x = 1.0010 1.0001 1.0000 1.0000 1.0000x = 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000当阶数n=6，=1. 3时：x = 0.9750 0.96

7、69 0.9642 0.9634 0.9631 1.2880x = 0.9967 0.9973 0.9979 0.9983 1.1041 0.9474x = 1.0001 1.0002 1.0001 1.0344 0.9629 1.0037x = 1.0000 1.0000 1.0111 0.9812 1.0062 1.0009x = 1.0000 1.0036 0.9917 1.0050 1.0000 0.9997x = 1.0012 0.9966 1.0030 0.9995 0.9997 1.0000x = 0.9985 1.0015 0.9994 0.9999 1.0000 1.0000

8、x = 1.0009 0.9997 1.0000 1.0001 1.0000 1.0000x = 0.9996 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = 1.0001 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000x = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000当阶数n=5时，=-1时：请输入阶数n：5请输入w的值：-1num= 1, error=2.53e+000num= 2, error=3.93e+000num= 3, error=7.35e+000num= 4, error=1.80e+0

9、01num= 5, error=4.84e+001num= 6, error=1.32e+002num= 7, error=3.63e+002num= 10; error=1.00e+003num= 11, error=2.77e+003num= 12, error=7.68e+003num= 13, error=2.12e+004num= 14, error=5.87e+004num= 15, error=1.62e+005num= 16, error=4.47e+005num= 17, error=1.23e+006num= 20, error=3.38e+006num= 21, erro

10、r=9.27e+006num= 22, error=2.54e+007num= 23, error=6.96e+007num= 24, error=1.90e+008num= 25, error=5.20e+008num= 26, error=1.42e+009num= 27, error=3.87e+009num= 30, error=1.06e+010num= 31, error=2.88e+010num= 32, error=7.84e+010num= 33, error=2.13e+011num= 34, error=5.81e+011num= 35, error=1.58e+012n

11、um= 36, error=4.29e+012x = 1.0e+012 * -0.3019 0.8370 -1.5384 2.1285 -1.9856由数据中可以分析得出，当=-1时,迭代是不收敛的。当阶数n=5时，=2.5时2.5num= 1, error=1.38e+001num= 2, error=2.11e+001num= 3, error=2.58e+001num= 4, error=2.80e+001num= 5, error=4.63e+001num= 6, error=6.61e+001num= 7, error=8.74e+001num= 10, error=1.38e+00

12、2num= 11, error=1.72e+002num= 12, error=2.63e+002num= 13, error=4.26e+002num= 14, error=8.10e+002num= 15, error=1.51e+003num= 16, error=2.52e+003num= 17, error=3.58e+003num= 20, error=4.46e+003num= 21, error=6.34e+003num= 22, error=9.29e+003num= 23, error=1.25e+004num= 24, error=1.83e+004num= 25, er

13、ror=2.82e+004num= 26, error=3.74e+004num= 27, error=6.20e+004num= 30, error=1.18e+005num= 31, error=1.96e+005num= 32, error=2.94e+005num= 33, error=4.09e+005num= 34, error=5.63e+005num= 35, error=7.87e+005num= 36, error=1.24e+006 1.0e+005 * 0.4613 1.5993 -1.4788 1.3274 -2.6027由数据中可以分析得出，当=2.5时,迭代也是不

14、收敛的。2.4 总结（1）在本题中，迭代次数和矩阵的未知数有以及的取值有一定的联系，不一定是未知数多迭代次数就多，也有可能在取相同时，未知数多迭代次数反而较少，这和SOR法的迭代原理有关。（2）当0或2.0，SOR法不收敛，这是必要条件。实验三3.1 题目用Runge-Kutta 4阶算法对初值问题y/=-20*y，y（0）=1按不同步长求解，用于观察稳定区间的作用，推荐两种步长h=0.1,0.2。注：此方程的精确解为：y=e-20x3.2 Runge-Kutta法的基本思想Runge-Kutta法的基本思想是通过f （x, y）某些点函数值的适当线性组合替换Euler 法中的f（xk,yk）

15、，可能使得方法的精确度更高。由于有了这种思想，因此标准的四阶Runge-Kutta的算法如下（h为求解步长）：K1=hf（xk,yk）如果yk某种方法第k步的近似值，y（xk）是其准确值，其绝对误差为k，即有k=y（xk）-yk。假定第k步之后的计算不再有舍入误差，只是由k引起的扰动m，都有mk，则称此方法是绝对稳定的。数值解法的稳定性一般与步长h以及f（x,y）有关。3.3 问题的求解给定初值x为0，我选定迭代终点为1，,分别选取h=0.1、h=0.2进行计算，并对迭代过程和迭代图像进行分析。计算结果如下：当h=0.1时请输入a的值：请输入b的值：请输入步长h：0.1x 1=0.000000

16、 y 1=1.000000 yi 1= 1.000000 error 1= 0.000000x 2=0.100000 y 2=0.333333 yi 2= 0.135335 error 2= 0.197998x 3=0.200000 y 3=0.111111 yi 3= 0.018316 error 3= 0.092795x 4=0.300000 y 4=0.037037 yi 4= 0.002479 error 4= 0.034558x 5=0.400000 y 5=0.012346 yi 5= 0.000335 error 5= 0.012010x 6=0.500000 y 6=0.004

17、115 yi 6= 0.000045 error 6= 0.004070x 7=0.600000 y 7=0.001372 yi 7= 0.000006 error 7= 0.001366x 8=0.700000 y 8=0.000457 yi 8= 0.000001 error 8= 0.000456x 9=0.800000 y 9=0.000152 yi 9= 0.000000 error 9= 0.000152当h=0.2时由图象和数据中可以看出，当步长为0.2时，迭代是不收敛的。3.4问题的总结（1）用标准的四阶 Runge-Kutta 算法计算常微分方程时，不同的步长算法的稳定性有影

18、响。不够稳定的步长下面的计算，误差会越来越大，结果失真严重。（2）一般情况下，步长越小，标准的四阶 Runge-Kutta 算法的稳定性越高，精度也越高。总结通过此次数值分析上机实习，认识到了计算机编程在数值分析课程中的重要性。也让我意识到了学习编程语言的重要性。要想要将数学应用于实际工程中，特别是对于工科的学生来讲，这是一门非常重要的实践课程。在此次报告中，首次接触了Matlab这门软件，之所以选这门，是因为很多工程中对数据的处理需要使用，这对我本身的专业是非常重要的。本学期学习的数值分析方法，让我在对数学的理解上又有了新的认识。在一连串看似杂乱无章的数据中，用数值分析进行处理，有了很多的收

19、获。在学习的过程中，意识到了这门课对我专业的重要性，让我对自己的专业有了更好的发挥。对我写论文以及解决实际工程问题有很大的帮助。最后，感谢老师给我这样的机会去接触这门语言，虽然只了解了皮毛，可是仍然收获颇多。由于初次接触这门软件，在报告中仍难免会有不完善甚至错误的地方，望谅解！附录实验一程序function yy=L（xi） f=fopen（xk.txt,r）; x=fscanf（f,%f g=fopen（yk.txt y=fscanf（g, n=input（请输入插值函数阶数： s=0; xi=-3.5:0.1:3.5; for i=1:fix（101/（n-1）: t=ones（1,len

20、gth（xi）; for j=1: if j=i t=t.*（xi-x（j）/（x（i）-x（j）; end s=s+t*y（i）; yy=s; plot（x,y,b,xi,yy,）实验二程序n=input（ w=input（for i=1:n if i=j a（i,j）=-4; elseif （i=j+1|i=j-1） a（i,j）=1; else a（i,j）=0;end if （i=1|i=n） b（i）=-3; b（i）=-2; x=zeros（1,n）; for num=1:30 error=0; xb=x（i）; if i=j,s=s+a（i,j）*x（j）; x（i）=w*（b（

21、i）-s）/a（i,i）+（1-w）*x（i）; error=error+abs（x（i）-xb）; fprintf（num=%3.o, error=%7.2en,num,error） if error/30.000001,break; x 实验三程序a=input（b=input（h=input（x=a:h:b;y（1）=1;yi（1）=exp（-20*x（1）;error（1）=0;n=（b-a）/h+1;for i=2: k1=-20*y（i-1）*h; k2=-20*（y（i-1）+k1/2）*h; k3=-20*（y（i-1）+k2/2）*h; k4=-20*（y（i-1）+k3）*h; y（i）=y（i-1）+（k1+2*k2+2*k3+k4）/6; yi（i）=exp（-20*x（i）; error（i）=y（i）-yi（i）;x%2.0f=%10.6f y%2.0f=%10.6f yi%2.0f=%10.6f error%2.0f=%10.6fn,i-1,x（i-1）,i-1,y（i-1）,i-1,yi（i-1）,i-1,error（i-1）plot（x,y,g,x,yi,