中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题及详细答案docx.docx

1、中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题及详细答案docx中考数学压轴题专题初中数学 旋转的经典综合题及详细答案一、旋转1操作与证明：如图 1，把一个含 45角的直角三角板 ECF和一个正方形 ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点 C 重合，点 E、 F 分别在正方形的边 CB、 CD 上，连接 AF取 AF中点 M， EF的中点 N，连接 MD、 MN（1）连接 AE，求证： AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（ 1）的条件下，请判断 MD 、MN 的数量关系和位置关系，得出结论结论 1： DM、 MN 的数量关系是 ；结论 2： DM、 MN 的位置关系是 ；拓展与

2、探究：（3）如图 2，将图 1 中的直角三角板 ECF绕点 C 顺时针旋转 180，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由【答案】（ 1）证明参见解析；（ 2）相等，垂直；（ 3）成立，理由参见解析 .【解析】试题分析：（ 1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出 CE=CF，继而证明出ABE ADF，得到 AE=AF，从而证明出 AEF是等腰三角形；（ 2） DM 、 MN 的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论 .位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对

3、应角相等即可得出结论；（ 3）成立，连接 AE，交 MD 于点 G，标记出各个角，首先证明出MN AE， MN= AE，利用三角形全等证出 AE=AF，而 DM= AF，从而得到 DM ， MN 数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到 DMN= DGE=90从而得到 DM 、 MN 的位置关系是垂直 .试题解析：（ 1） 四边形 ABCD是正方形， AB=AD=BC=CD， B= ADF=90， CEF是等腰直角三角形， C=90， CE=CF， BC CE=CD CF，即 BE=DF， ABE ADF， AE=AF， AEF是等腰三角形；（

4、 2） DM 、 MN 的数量关系是相等，DM 、 MN 的位置关系是垂直； 在 Rt ADF 中 DM 是斜边 AF 的中线， AF=2DM， MN 是 AEF的中位线， AE=2MN， AE=AF， DM=MN ； DMF= DAF+ADM ，AM=MD ， FMN= FAE， DAF= BAE， ADM= DAF= BAE， DMN= FMN+ DMF=DAF+ BAE+ FAE= BAD=90 ， DM MN ；（ 3）（ 2）中的两个结论还成立，连接 AE，交 MD 于点 G， 点 M 为 AF 的中点，点 N 为 EF的中点，MN AE，MN= AE，由已知得， AB=AD=BC=

5、CD， B= ADF，CE=CF，又BC+CE=CD+CF，即 BE=DF， ABE ADF， AE=AF，在 Rt ADF 中， 点 M 为 AF 的中点， DM= AF， DM=MN ， ABE ADF， 1= 2， AB DF， 1=3，同理可证： 2= 4， 3= 4， DM=AM ， MAD= 5， DGE= 5+ 4= MAD+ 3=90 ， MN AE， DMN= DGE=90 ， DM MN 所以（ 2）中的两个结论还成立 .考点： 1.正方形的性质； 2.全等三角形的判定与性质； 3.三角形中位线定理； 4.旋转的性质2（操作发现）（1）如图 1， ABC为等边三角形，先将三

6、角板中的60角与 ACB重合，再将三角板绕点 C 按顺时针方向旋转（旋转角大于点 D，在三角板斜边上取一点 F，使0且小于 30），旋转后三角板的一直角边与CF=CD，线段 AB 上取点 E，使 DCE=30，连接AB 交于AF，EF 求 EAF的度数；DE与 EF相等吗？请说明理由；（类比探究）（2）如图 2， ABC为等腰直角三角形， ACB=90，先将三角板的 90角与 ACB 重合，再将三角板绕点 C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0且小于 45），旋转后三角板的一直角边与 AB 交于点 D，在三角板另一直角边上取一点 F，使 CF=CD，线段 AB 上取点 E，使DCE=45 ，连接

7、AF， EF请直接写出探究结果： EAF的度数； 线段 AE， ED， DB 之间的数量关系【答案】（ 1） 120 DE=EF；（ 2）90 AE 2+DB2=DE2 【解析】试题分析：（ 1） 由等边三角形的性质得出 AC=BC， BAC= B=60，求出ACF= BCD，证明 ACF BCD，得出 CAF= B=60 ，求出 EAF=BAC+CAF=120 ； 证出 DCE= FCE，由 SAS证明 DCE FCE，得出 DE=EF即可；（2） 由等腰直角三角形的性质得出 AC=BC， BAC= B=45，证出 ACF= BCD，由SAS证明 ACF BCD，得出 CAF= B=45 ，

8、AF=DB，求出 EAF= BAC+ CAF=90 ； 证出 DCE= FCE，由 SAS证明 DCE FCE，得出 DE=EF；在 Rt AEF中，由勾股定理得出 AE2+AF2=EF2 ，即可得出结论试题解析：解：（ 1） ABC是等边三角形， AC=BC，BAC=B=60 DCF=60 ， ACF= BCD在 ACF和 BCD中， AC=BC， ACF= BCD， CF=CD， ACF BCD（SAS）， CAF=B=60 ， EAF= BAC+ CAF=120 ； DE=EF理由如下： DCF=60 ， DCE=30 ， FCE=60 30 =30 ， DCE= FCE在 DCE和 F

9、CE 中， CD=CF， DCE= FCE， CE=CE， DCE FCE（ SAS）， DE=EF；（2） ABC是等腰直角三角形， ACB=90， AC=BC，BAC=B=45 DCF=90 ， ACF= BCD在 ACF和 BCD中， AC=BC，ACF= BCD，CF=CD， ACF BCD（ SAS）， CAF= B=45 ，AF=DB， EAF= BAC+ CAF=90 ；AE2+DB2=DE2，理由如下： DCF=90 ， DCE=45 ， FCE=90 45 =45 ， DCE= FCE在 DCE和 FCE 中， CD=CF， DCE= FCE， CE=CE， DCE FCE（

10、 SAS）， DE=EF在 Rt AEF 中， AE2+AF2=EF2，又 AF=DB， AE2+DB2=DE23（ 12分）如图1，在等边 ABC中，点D， E分别在边AB， AC 上， AD=AE，连接BE，CD，点M 、N、P 分别是BE、 CD、 BC的中点（1）观察猜想：图1 中， PMN 的形状是；（2）探究证明：把 ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2 的位置， PMN的形状是否发生改变？并说明理由；（3）拓展延伸：把 ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=1，AB=3，请直接写出 PMN 的周长的最大值【答案】 (1) 等边三角形； (2) PMN 的形状不发生改变，仍

11、然为等边三角形 ,理由见解析；（3） 6【解析】分析：（ 1）如图 1，先根据等边三角形的性质得到 AB=AC， ABC= ACB=60，则BD=CE，再根据三角形中位线性质得1CE，PN AD， PN=1PM CE， PM=BD，从而得到22PM=PN， MPN=60 ，从而可判断 PMN 为等边三角形；（ 2）连接 CE、BD，如图 2，先利用旋转的定义，把 ABD 绕点 A 逆时针旋转 60可得到CAE，则 BD=CE， ABD= ACE，与（ 1）一样可得PM=PN， BPM= BCE，CPN= CBD，则计算出 BPM+CPN=120 ，从而得到 MPN=60 ，于是可判断 PMN

12、为等边三角形（ 3）利用 AB ADBDAB+AD（当且仅当点 B、 A、 D 共线时取等号）得到 BD 的最大值为 4，则 PN 的最大值为 2，然后可确定 PMN 的周长的最大值详解：（ 1）如图 1ABC为等边三角形， AB=AC， ABC= ACB=60 AD=AE， BD=CE点 M 、 N、P 分别是 BE、 CD、 BC的中点，1 1PM CE，PM= CE， PN AD， PN= BD，2 2PM=PN， BPM=BCA=60 ， CPN=CBA=60 ， MPN=60 ， PMN 为等边三角形；故答案为等边三角形；（2） PMN 的形状不发生改变，仍然为等边三角形理由如下：连

13、接 CE、 BD，如图 2AB=AC， AE=AD， BAC= DAE=60 ，把 ABD 绕点 A 逆时针旋转 60 可得到 CAE，BD=CE， ABD= ACE，与（ 1）一样可得 PM CE， PM=11CE， PN AD， PN=BD，22PM=PN， BPM=BCE， CPN=CBD， BPM+ CPN= CBD+ CBD=ABC ABD+ ACB+ ACE=60 +60 =120 ， MPN=60 ， PMN 为等边三角形1（ 3） PN= BD， 当 BD 的值最大时， PN 的值最大2 AB ADBDAB+AD（当且仅当点 B、 A、 D 共线时取等号） BD 的最大值为 1+3=4， PN 的最大值为 2， PMN 的周长的最大值为 6点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等边三角形的判定