实验二MATLAB数值计算二阶电路的时域分析分析解析Word下载.docx

1、若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，否则就是非线性微分方程，例如方程就是非线性的。2常微分方程的解及MATLAB指令一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已知一个n阶常微分方程（显式）： （2）若令，可将上式化为n个一阶常微分方程组：（3）（3）式称为状态方程，y1, y2, ,yn（即y, y, y, , y（n-1） ）称为状态变量，其中y1（即y）就是常微分方程（2）式的解。（3）式中右边的函数f1、f2、fn代表各个状态变量的一阶导数的函数表达式，对于具体的方程它们有具体的形式，例如下列二阶非线性微分方程：，可将其改写成2个一阶微分方程组（状态方程）的形式：因此

2、。解析解只有少部分的线性常微分方程可以解析地求解（即可以算出精确的解表达式），例如一阶常系数常微分方程可以通过直接积分解出，而多数微分方程尤其是非线性方程则很难得到解析解。有解析解的方程虽然可以手算解出，但是MATLAB也提供了dslove指令来求方程的解析解，其使用格式：S = dsolve （方程1, 方程2,初始条件1，初始条件2 ,自变量）方程用字符串表示，自变量缺省值为t。1阶导数用D表示，2阶导数用D2表示，以此类推。S用于返回方程解析解的表达式。如果是求解方程组，则S为一个结构体数组，它的每个域存放方程组每一个解的表达式。例1：求下列微分方程的解析解 s=dsolve（D2y=s

3、in（2*x）-y,y（0）=0,Dy（0）=1,x）; simplify（s） %以最简形式显示sans =-1/3*sin（x）*（-5+2*cos（x） % 方程的解（符号表达式）数值解对于没有解析解的方程主要依靠计算机进行数值求解（得到的是近似解），例如方程就须通过计算机数值求解（结果是一系列解的数值而非表达式）。考虑n阶微分方程（2）式的数值求解，它等价于一阶常微分方程组（3）式。现将（3）式写成矩阵形式：其中 为n个分量的列向量（Column vector），也称状态向量 n个分量的列向量，其每个元素分别为（3）式右边的函数表达式 我们知道，微分方程要有唯一的确定解，必须给定初值条

4、件。因此方程（4）式要有确定的解必须给定初值条件（t0为初始时刻）： （7）Matlab提供了ode45指令（ode是常微分方程的英文缩写）来求解方程（4）的数值解（近似解）。基本使用格式：tout, Yout =ode45 （odefun, tspan, Y0,options） 其参数说明如下： odefun 一般是用M文件编写的函数，odefun代表函数名，由用户自己定义。函数返回值为（4）式右边的F（t,Y）=（f1, f2 , fn）T。故odefun函数的返回值应是列向量，其最简单的编写格式为： function F = odefun （t, Y） 【 作用是计算并返回4式中的F（t

5、, Y） 】其中 t 时间变量，为标量，代表计算进程中的某时刻点Y 代表状态变量的列向量（即5式）F 返回值F（t, Y），为列向量（见6式）ode45求解指令在计算时将会不断地在各个时间点调用odefun函数，并自动给输入参数t和Y赋值。 tspan 指定方程的求解区间t0, tf，t0是初始时刻。 Y0 用户给定的初值条件，为n个分量的列向量，见（7）式。 options 可选项。一般情况下可缺省即可，若用户有特殊要求则须使用odeset指令设置options选项，具体用法可使用help odeset命令查询，此处不做要求。 tout 列向量，输出求解过程中区间t0, tf上各个计算点的时

6、刻，即, t0, tf上计算点的数目是由Matlab自动生成。 Yout 输出矩阵，其排列格式如下：Yout的第1列代表的是状态变量y1在（依次为tout的每个元素）各个时刻的值，由于y1=y，所以Yout的第一列就是待求方程的数值解，它显然是一系列离散的y（t）值：；将Yout第一列提取出来并用plot（tout,Yout（:,1）指令即可绘制解y（t）的函数图像。Yout的第2列是y的一阶导数的数值解，第3列是y的二阶导数的数值解。三、实验内容1. 二阶线性电路RLC回路的零输入响应当电路中含有二个动态元件（如电感、电容）时，建立的电路方程为二阶微分方程，这样的电路称为二阶电路，如果微分方

7、程是线性的，则为线性电路，若为非线性方程，则是非线性电路，如范德堡电路。所谓零输入响应指的是电路中无外加的激励源，仅由动态元件初始储能所产生的响应。 考虑如图所示的RLC电路，假设电容原已充电，根据电路理论，此二阶电路的零输入响应可用如下二阶线性微分方程描述：其中uc代表电容电压。给定初值条件：元件参数L=0.5H, R=12.5 , C=0.02F。要得到t0时的零输入响应，就必须求解（9）式。A. 解析解方程（9）可以直接求解，因此有解析解。下面改用MATLAB中的dsolve指令来求方程（9）的解析解，程序如下：S=dsolve（D2u=-R/L*Du-1/L/C*u,u（0）=1Du（

8、0）=0t）; % S为字符型数组（字串），其值为方程9的解表达式L=0.5;C=0.02;R=12.5; % 元件参数t=0:0.01:1; % 定义区间0,1上的时间序列y=eval（S）; % eval串演算函数，计算字串S（即9式的解）在t时刻的值plot（t,y） % 绘制电压波形，即uc（t）的零输入响应B. 数值解 方程（9）虽然可以解析求解，但也可以使用ode45指令来近似计算。令y1= uc, y2= duc/dt,则方程9改写成如下状态方程：上式也可以写成（4）式的形式，因此状态向量 Y=（y1，y2）T， F =（f1，f2）T =（y2，1/L/C*y1R/L*y2）T

9、 （12）第一步：通过M文件创建ode函数，函数名circuit_2order_odefun。function F=circuit_2order_odefun（t,Y）global L C R % 定义全局变量L、C、R，以实现参数在MATLAB的基本工作空% 间和函数的专用空间之间数据的传递F=Y（2）;-1/L/C*Y（1）-R/L*Y（2）; % 函数返回值F, 列向量，见（12）式注意，函数创建完后，必须存盘，存储文件名和函数名应一致！第二步：创建M脚本文件circuit_2order.m C=0.02; R=12.5;Y0=1;0; % 列向量，初值条件tspan=0,1; % 定义

10、求解区间0,1tout,Yout=ode45（circuit_2order_odefun,tspan,Y0）;plot（tout,Yout（:,1）; % 绘电压波形，即uc（t）的零输入响应2.二阶非线性电路范德堡（Van de Pol）电路范德堡电路由一个线性电感、一个线性电容和一个非线性电阻构成，如图（a）所示。非线性电阻的伏安特性如图（b）所示，可很明显看出电阻是非线性的。范德堡电路的特性可由一个二阶非线性微分方程描述（参见邱关源的电路第5版P463-P465）：上式就是著名的范德堡方程。该方程很难解析求解，必须借助计算机数值求解。令，将范德堡方程改写成一阶微分方程组（状态方程）的形式

11、：上式也可以写成（4）式的形式。因此状态向量Y和F分别为， （15）假定参数 =0.1，求解区间0, 100，以及初值条件请仿照实验内容1，利用ode45指令求解范德堡方程，并绘制电流iL的波形（即电流的零输入响应图）。四、实验任务1. 输入实验内容1中提供的程序上机练习，熟悉dslove指令以及ode45指令的使用方法，并尝试解答思考题1。2. 在任务1的基础上，独立编制实验内容2的计算程序，并尝试解答思考题3。五、思考题1. 在实验内容1中，若使用ode45指令解方程9式，如何得到电流的零输入响应波形？2. 在实验内容1中，试研究R=1 ，2 ，3 ，10 时电压Uc（t）的响应波形，并把

12、它们绘制在一张图上。3. 从任务2的电流波形图 （如下图） 中，你能得到什么结论？如何绘制范德堡电路的uc iL函数图像（称为相图）？ （提示：）附：实验任务2的参考图实验二思考题1函数circuit_2order_odefun.mglobal L C R脚本circuit_2order.mplot（tout,-C*Yout（:,2）;2. 函数circuit_2order_odefun.m脚本circuit.mglobal L C R;for R=1:10hold on;end3.任务二函数VandePol_3order_odefun.mfunction F=VandePol_2order_odefun（t,Y）global aa*（1-Y（1）*Y（1）*Y（2）-Y（1）;脚本VandePol_3orde.mglobal a;a=0.1;Y0=0;1;tspan=0,100;VandePol_3order_odefunplot（tout,Yout（：，1）；u-i图像u_i.mu=1/a*Yout（:,2）+1/3*Yout（:,1）.3-Yout（:,1）;plot（Yout（:,1）,u）