第二章作业Word格式.docx

1、（注：各种方法均以精确到小数点后10位为标准）1、二分法设函数，显然f（h）关于h单调递减。易求f（1.5）0，f（2.5）es） if f（mid）=0 break; elseif f（mid）*f（low）es if f（poi）=0 elseif f（poi）*f（low） if f（x）=0 else temp=x; x=f（x）; vx=vpa（x,11）; disp（vx）迭代次数26次，最终计算结果为2.0269057283，与标准值吻合。函数和h的图像如下：（2）方式2：将方程变换为hf（h）=（9*h2-90/pi）（1/3）;x=5;这种变换方式在所要求的值2.026905

2、7283处不收敛，而是收敛在方程的另一零点8.6139066566处，所以不管怎么变换初始点的取值，都不能得到所要的结果。具体的关于收敛性的判断准则在第3次上机作业中已描述，此处不再赘述。4、Newton-Raphson方法Newton-Raphson方法主要使用了泰勒级数的前两项近似来求根。，令，则，即将函数图像在当前点的切线与x轴的交点作为下一个迭代点。计算程序如下：df（h）=diff（f）; %derived function of f（h） x=x-f（x）/df（x）; vpa（x,11）该方法只迭代了5次，便得到最终值2.0269057283，收敛速度远优于之前的各种方法。下面用

3、line函数画出迭代过程示意图：line（temp,x,f（temp）,0,hold online（temp,temp,0,f（temp）,第2次迭代的局部放大图如下：第3,4,5次迭代之后的迭代图像太密，就不一一画出了。从图像中也可明显看出，在本例中，Newton-Raphson方法的收敛速度非常快，主要还是因为用泰勒级数前两项近似原函数具有很高的精度。5、割线法割线法的思想类似于Newton-Raphson方法，不过使用了差分来估计斜率，其迭代方法为，计算代码如下：x1=4;x2=3; %the initial estimate of zero point valuewhile abs（x

4、1-x2） if f（x2）=0 temp=x2; %store x2 x2=x2-f（x2）*（x2-x1）/（f（x2）-f（x1）; x1=temp; vpoi=vpa（x2,11）; disp（vpoi）;迭代次数为5次，迭代次数也很快，最终值为2.0269057283，与标准值吻合。小结：1. 对于二分法和试位法，均属于划界法，但是试位法的收敛速度还是明显要快于二分法，结合前面的图形和分析，这是因为在根附近的位置，函数图像接近于直线，此时使用试位法可以很快地收敛到真值附近，而二分法并不考虑区间端点对应的函数值。即若函数在所求值附近的二阶导数越越接近于0，函数图像在所求值附近就越接近直线，收敛也就更快。2. 不动点迭代法的收敛性与收敛时的优劣性与所选取的变换方式相关。对于是否收敛可根据不动点定理判断，而不同的变换方法可能有不同的收敛速度，一般单调收敛优于振荡收敛，在不同的方法中可择优选取。3. Newton-Raphson方法在单根附近是二次收敛的，误差大致与前一次迭代的误差平方成正比，所有收敛速度远优于前面三种方法。4. 割线法使用了差分代替了Newton-Raphson方法中的导数，所以收敛速度稍弱于Newton-Raphson方法，但是还是很快。