数学技术与概率论的发展Word文件下载.docx

1、处理观测结果的方法，特别是估计观测中出现的误差，成为数学家研究的课题。哲学思想影响了概率论的早期发展。偶然性和必然性之间的相互关系，规律和因果关系等问题都是古代研究的对象，长期以来列在哲学家的研究议程。 只有概率的估计出现在人类活动的各个领域，且数学技术达到一定先进程度时，概率论方能出现。1494年，意大利数学家帕乔利（Luca Pacioli, 约1445-1517） 在其所著算术、几何、比与比例集成一书中提出，两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s 局就算赢。现在一个人赢了a局（as） ，另一个人赢了b局（b0，当n趋于无穷时，有即随着试验次数的增加，某事件出现的频率会集中在该事件的概率附近。由于

2、当时的数学技术还不够先进，伯努利仅是应用代数分析方法给出其不精确的证明。伯努利大数定理从理论上刻画了大量经验观测中呈现的稳定性，其意义在于揭示了因偶然性的作用而呈现的杂乱无章现象中的一种规律性。伯努利为这个发现而自豪：“这个问题我压了20年没有发表，现在我打算把它公诸于世了。它又难又新奇，但它有极大用处，以至在这门学问的所有其他分支中都有其高度价值和位置。”伯努利定理作为大数定理的最早形式，在概率论发展史上占有重要地位，因此，1913年12月圣彼得堡科学院举行庆祝大会，纪念大数定理诞生200周年。 猜度术标志着概率概念漫长形成过程的终结与数学概率论的肇始，该书鼓舞了一些学者转向这门诱人的学科。

3、棣莫弗（A. De Moivre, 1667 -1754）、蒲丰（G. L. L. Buffon, 1707- 1788）、拉普拉斯（P. S. M. de L ap lace, 1749- 1827）、泊松（S. D.Po isson, 1781- 1840）、高斯（Carl F riedrich Gauss,1777- 1855） 等对概率论做出了进一步的奠基性贡献。棣莫弗在1718 年把抽签的计算修改扩充为机会论，其中首次定义了独立事件的乘法定理，给出二项分布公式，讨论了“赌徒输光”、“点数问题”等掷骰子问题。然而，棣莫弗考虑到游戏者具有不同技巧的情况（例如，A要4点就获胜，B要6点获胜

4、，A赢得一点的机会与B赢得一点的机会之比等于3比2） ，也考虑到有三个游戏者参加的情况，尤其是导出的关于n!的渐近公式：并以此证明了概率为1/2时的二项分布收敛于正态分布的棣莫弗-拉普拉斯定理。 突破有限个等可能事件的限制，把等可能思想应用于无穷多个事件的情形， 就产生了几何概率。蒲丰于1777 年发表的或然性试验，首先提出并解决了现在著名的“蒲丰投针问题”（用现代术语）： 长为l 的针“随机地”投到相距为d 的一组平行线上（d l），求针与平行线相交的概率是多少？设x为针的中点与离它最近的一条平行线的距离，U为针与此平行线所成的锐角。（x，U） 完全决定针所落的位置，它们分别在（0, d/2

5、）和（0, /2） 上均匀分布，这样可得所求概率为。 蒲丰对问题的解答暗含着概率假定包含了现在对“随机地”这一短语的正确认识。后许多数学家把该问题推广到投掷小薄圆片或投入到被分为若干个小正方形的矩形域中或连续曲线上。这些问题都被称为“蒲丰问题”，研究的是具有“等可能性”的事件，而其试验结果为无限个。如果重复n次投针，设m为针与直线相交的次数，则当n很大时，相交的频率m/n 近似等于上面的概率，则可利用投针问题的结果来计算P的近似值，而当时人们普遍关注P的近似计算，因此, 投针问题特别受到重视，成为几何概率的典型例子。随后的几十年里几何概率分别在英国和法国获得独立发展。 1809年, 高斯从误差

6、函数角度，再次发现了正态分布，以致19世纪的数理统计学成为正态分布的统治时代。这一时期提出了许多经典问题和重要概率思想，但还未系统化，概率论只是一些有趣而特殊的问题的堆砌，其数学技术主要以代数分析方法、组合方法为主, 以无穷级数、无穷连分数和差分方程等来求解相应概率问题。三、分析概率论和数学分析方法 自牛顿（ I. N ew ton, 1643 - 1727） 和莱布尼兹（G. W. L eibn iz, 1646- 1716） 创立微积分以来，18世纪的数学家对这一领域进行了深入的研究并取得了光辉的成就。随着数学分析的蓬勃发展，微分方程、特征函数、反演公式、母函数和积分等分析工具逐步成为研究

7、概率论的数学技术，其标志性著作是拉普拉斯于1812 年出版的分析概率论。 分析概率论开创了概率论发展的新阶段，实现了概率论研究由组合技巧向分析方法的过渡。该书明确地给出了概率的古典定义（事件的概率等于有利于事件的结果数与所有可能的结果数之比）；独立事件的加法、乘法法则；推广了伯努利在大数定理方面的工作；导出了二项分布渐近于正态分布的中心极限定理。 极限定理在概率论中占据很重要的地位。现实中影响事件结果的随机因素很多，虽每一个因素对结果的影响都不大，若把这些因素综合起来就会有明显的作用，因而需要研究这些随机变量的和。中心极限定理就是随机变量的和渐近于正态分布的规律性，它可把许多无法了解或了解得很

8、少的随机事件的概率分布归结为已知的正态分布，则可对知之甚少的事物作进一步的研究。拉普拉斯应用极限定理解释了某一国家注册结婚数目的稳定性死信数目的稳定值，解决了和年金有关的问题。拉普拉斯所提出的某些问题预示着概率论的新分支或新定理。 A，B两个坛子里各有n个球，其中有n个白球，n个黑球，每个坛子有n个球。把这些球一个接一个地从一个坛子到另一个坛子循环移动，那么移动完r圈之后, 坛子A 有x个白球的概率是多少？ 这个问题和著名的Ehrenfest模型是一致的，被看作是随机过程的起源。拉普拉斯在人口统计、养老金、估计寿命、审判调查等方面广泛地应用了概率论。在概率的哲学导论中他提出观点：概率论终将成为

9、人类知识中最主要的组成部分，因人类生活中最重要的问题绝大部分是概率问题。今天概率论的发展已经证实了拉普拉斯的预言。 泊松从法庭审判问题来研究概率论。在1837年的论文关于刑事案件和民事案件审判概率的研究中，他继续研究拉普拉斯曾考虑的问题，并提出了描述随机变量的泊松分布。泊松认识到了大数定理的重要性。他认为，大数定理的本质在于大量随机变量的算术平均值与它们的期望近似相等。 虽然拉普拉斯、高斯已使用了随机变量的概念，但常常与观测误差理论的问题有关。泊松第一个尝试把该概念与这些问题相分离，他把随机变量看作与所有自然科学的一般概念同等重要。他提到以相应的概率分别取值a1, a2, , aK 的“任意事

10、物”，这其实和现代离散随机变量概念相一致。在论观测的平均结果的概率中，他也尝试用同样的方法考虑连续随机变量及其分布函数。但他的随机变量理论，本质上并没有与他的前辈或同代人所掌握的知识有何不同。 狄利克雷（P. G. L. Dirich let, 1805- 1859）在概率论历史上很少被提及，可能是在其著作中极少的概率论注记不值得研究，但他对概率论的研究体现了当时用分析方法来研究概率论的特点。1829-1850年间，狄利克雷在柏林讲授概率论课程, 其内容包括误差理论和最小二乘法。狄利克雷对概率问题的兴趣与其说源自在应用上的重要性，不如说是其解析特征。对他而言，概率论首先是积分的应用，因为它有助

11、于“最终结果的表示”，尤其是有助于处理“大量事件”，因此他把概率论放在定积分课程里讲授。他所讨论概率问题的方式从某种程度上表明了从古典概率论转向分析概率论的趋势。 狄利克雷和俄罗斯数学家切比雪夫（ P. L.Chebyshev, 1821- 1894）是好朋友。比较他们的概率论讲义，可发现在积分的使用方面有着同样的结构，反映了两位数学家对概率极限定理的推导中所用特殊分析方法有着相似的兴趣。狄利克雷最喜爱极限定理和最小二乘法问题，这是古典概率论的惟一主题，它们在19世纪后30年到20世纪初成为概率论研究的主题之一。 由于拉普拉斯和泊松在数学技术尚不完备的条件下，滥用概率论于社会现象， 导致概率论

12、在法国受到来自数学家和哲学家极大的抨击，险些毁灭了概率论学科。正是彼得堡数学学派把濒临危机的概率论挽救出来，这是该学派对人类做出的重大贡献。彼得堡数学学派的奠基者之一布尼亚科夫斯基（V. Ya.Buniakovsky, 1804- 1889） 的数学概率理论是俄罗斯的第一部概率论著作，该书继承和发展了古典概率，而且引进了一套概率论的俄文术语，所创造的不少词汇成为了标准术语。在他的影响下一些彼得堡数学学派的成员开始研究概率论。在概率论萧条的年代里，彼得堡数学学派的工作无疑起到了振聋发聩的引导作用。 彼得堡数学学派的主要奠基者切比雪夫在极限理论方面做出了重要贡献，使概率论进入了崭新的阶段。他在概率

13、论中最重要的两类主题：大数定理、中心极限定理上取得了相当大的进展。他第一个意识到数学技术的重要性，发展了矩方法来严格证明极限定理，并尽可能精确地确定偏离极限的估计量，这在方法论方面引起了巨大变化。在切比雪夫的基础上，马尔可夫（A. A. Markov, 1856- 1922） 第一次给出中心极限定理的严格证明。然而由于定理条件过于苛刻，其证明有些复杂。李雅普诺夫（A.M. Lyapunov，1857- 1918）另辟新径改用特征函数法再次证明了中心极限定理，此举既降低了定理的条件，又给出概率论的一个常用工具。这再次表明先进的数学技术对概率论的发展是何等重要！以切比雪夫、马尔可夫、李雅普诺夫等为

14、代表的彼得堡数学学派变革了一系列概率论研究方法，开拓了概率论的现代化领域，使俄罗斯逐步成为世界概率论研究的中心。这种领先地位一直保持到20世纪中叶乃至现在。四、现代概率论与公理化方法 由于19世纪的分析没有严格化，以其为研究工具的概率论的严格化就成了空中楼阁。虽后来分析的基础严密化了，但测度论尚未发明。因此，20世纪前的概率论明显缺乏数学的严格化和严密性，甚至连庞加莱（J. H. Poincare，1854- 1912） 也不能把概率论演绎成逻辑上严密完美的学科。诸如“贝特朗悖论”以及概率论在物理、生物等领域的应用都需要对概率论的概念、原理做出解释。正是这些问题促使人们思考概率论的基础问题及概

15、率论所依赖的数学技术问题。1900 年，希尔伯特（D.H ilbert, 1862- 1943） 在巴黎国际数学家大会上所作报告中的第六个问题，就是呼吁把概率论公理化。很快该问题就成为当时数学乃至整个自然科学界亟待解决的问题之一。 最早对概率论严格化进行尝试的是俄罗斯数学家伯恩斯坦（C. H.Bern stein, 1880- 1968） 和奥地利数学家米泽斯（R.vonMises, 1883- 1953）。1917年伯恩斯坦发表了题为“论概率论的公理化基础”的论文，随后的几年里他仍致力于研究概率论公理化。1927年其概率论第一版问世，最后一个版本即第四版出现于1946 年。伯恩斯坦在书中给出

16、了一个详细的概率论公理体系。定义随机事件、概率等概念后，伯恩斯坦引进了三个公理。基于这三个公理构造出整个概率论大厦,但其理论体系并不令人满意。正如柯尔莫哥洛夫所言，第一个系统的概率论公理化体系是伯恩斯坦所给，其建立的基础是依据随机事件的概率对事件做定性比较的思想。在定性比较思想中概率的数值似乎是推导而来，而不是基本概念。 米泽斯的主要工作是概率论的频率定义和统计定义的公理化。在概率，统计和真理（1928）一书中，他建立了频率的极限理论，强调概率概念只有在大量现象存在时才有意义。虽然频率定义在直观上易于理解，易为实际工作者和物理学家所接受，便于在实际工作中应用，但像某个事件在一独立重复试验序列中

17、出现无穷多次这一事件的概率，米泽斯理论是无法定义的。因此，没有先进数学技术的概率论公理理论都不尽如人意。 测度论的诞生给概率论的公理化带来了勃勃生机。从1920年开始，概率论的研究类型在很大程度上由集合论和函数论的思想所决定。通过对概率论基本概念随机事件和概率的本质分析，发现随机事件的运算与集合的运算完全类似，概率与测度具有相同的性质，这就建立了构建概率论逻辑基础的正确道路。随着大数定理研究的深入，概率论与测度论的联系也愈来愈明显。强、弱大数定理中的收敛性对应于测度论中的几乎处处收敛与依测度收敛。因此度量函数的思想愈来愈渗透到概率论理论体系之中。 1933年，柯尔莫戈洛夫以德文出版的概率论基础

18、是概率论的一个里程碑。他建立了在测度论基础上的概率论的公理化体系，奠定了近代概率论的基础。书中建立起了集合测度与事件概率的类比，积分与数学期望的类比，函数正交性与随机变量独立性的类比等等。这种广泛的类比终于赋予了概率论以演绎数学的特征。 这样，概率论就从半物理性质的科学变成严格的数学分支，和所有其他数学分支一样建立在同样的逻辑基础之上。当然，概率论公理化体系的构造并没有解决所有原则问题。关于随机性本质这个基本问题仍未解决。随机性与确定性的界限在何处，是否存在? 这个哲学性质的问题值得关注。柯尔莫戈洛夫为此付出了许多努力，试图从复杂性、信息和其他概念等方面来解决这个问题。他提出研究确定性现象的复

19、杂性和偶然性现象的统计确定性的宏伟目标，其基本思想是：有序王国和偶然性王国之间事实上并没有一条真正边界，数学世界原则上是一个不可分割的整体。五、结束语 分析表明，数学技术是概率论发展的保证。概率论的发展虽源于多种因素，但总脱离不了先进的数学技术。从数学技术角度分析，概率论可分为三个发展阶段：（1） 1654- 1812年，数学技术以代数分析方法、组合方法为主，主要研究离散型随机变量，称之为“古典概率论”；（2） 1812- 1932年，数学技术以数学分析方法为主，以特征函数、微分方程、差分方程等为工具， 主要研究连续型随机变量， 称之为“分析概率论”；（3） 1933年后，数学技术以集合论和测

20、度论为主，概率论呈多元化发展趋势，称之为“现代概率论”。 现今概率论又作为数学技术来推动其他学科的发展。作为科学探索的特色方法，概率推理的显著功效已引起相关理论研究和应用研究的爆炸性增长。概率思想是统计学的理论基础，是物理学、遗传学和信息论的重要工具，是金融学、地球科学、神经学、人工智能和通讯网络等学科的常用方法。概率论愈来愈大的影响已引起科学家愈来愈高的重视， 概率思想的研究已成为数学家和数学史家关注的热点之一。六、参考文献1 L E. M aist rov. P robability theo ry: a h isto rical sketchM . N ew Yo rk:A cadem

21、ic P ress, 1974. 2 胡作玄. 20 世纪的数学A . 20 世纪科学技术简史（第二版） C . 北京: 科学出版社, 1999. 2962298. 3 斯科特. 数学史M . 侯德润, 译. 桂林: 广西师范大学出版社, 2002. 188.4 E Seneta, K H. Parshall and F. Jongmans. N ineteen2th2century developments in geomet ric p robability: J. J.Sylvester,M. W. Crofton, J 2E Barbier and J. Bert rand J . A

22、 rch ives fo r h isto ry of exact science, 2001, 6（55） : 5012524. 5 A N. Ko lmogo rov, A. P. Yushkevich. M athemat ics ofthe 19th Century: M athemat ical Logic A lgebraN umber Theo ry P robability Theo ry M . Basel:B irkha user V erlag, 1992. 2312232.6 Hans F ischer. D irich lets cont ribut ions to mathema2t ical p robability theo ry J . H isto ria M athemat ica,1994, 1 （21） : 39263.