函数方程不等式综合应用.docx

1、函数方程不等式综合应用2011年中考复习二轮材料函数、方程、不等式综合应用专题李建敏一、专题诠释函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。函数是贯穿在中学数学中的一条主线；函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识，函数概念、性质、图象的灵活应用等。函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在初中阶段，应该深刻认识函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学生学习的基本指导思想，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。而新课程标准中把这个联系提到了十分明

2、朗、鲜明的程度。因此，第二轮中考复习，对这部分内容应予以重视。这一专题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本

3、图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。二、解题策略和解法精讲函数与方程、函数与不等式密不可分，紧密联系。利用kx+b=0或ax2+bx+c=0可以求函数与x轴的交点坐标问题，利用与0的关系可以判定二次函数与x轴的交点个数等。等式与不等式是两种不同的数量关系，但在一定条件下又是可以转化的，如一元二次方程有实数根，可得不等式0等。一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a0）的解，所对应的坐标（b/a，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标

4、，反过来也成立；直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b0（a0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b0（a0）的解一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。两条直线的位置关系与二元一次方程组的解：（1）二元一次方程组 有唯一的解 直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1k2 （2）二元一次方程组 无解 直线y=k1x+b1直线y=k2x+b2 k

5、1=k2，b1b2 （3）二元一次方程组 有无数多个解 直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合 k1=k2，b1=b2在复习中，本专题应抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系，以期在综合运用中灵活把握。三、考点精讲考点一：函数与方程（组）综合应用例1（2010广西梧州）直线y2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b0的解是x_【分析】直线y2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则x2时，y0，关于x的方程2x+b0的解是x2。【解答】2 【评注】本题考察的灵活运用所学的一次函数知识解决问题的能力，方法可以不同

6、，但直接把函数转化为方程，理解它们之间的对应关系，无需求b值，就会加快解题速度。例2（2010青海）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克（1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？【分析】（1）根据利润的等量关系，列出方程，再根据题意，舍掉x1（2）代入即可【解答】解：（1）设每千克应涨价x元，列方程得：(5+x)(200x)=1500解得：x1=10 x2=5 因

7、为顾客要得到实惠，510所以 x=5答：每千克应涨价5元（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得y=( x +5)(20010x)= 10x2+150x500当x=时,y有最大值.因此，这种水果每千克涨价7.5元时，能使商场获利最多【评注】（1）中列方程解应用题关键是找出相等关系, 根据实际情况，解答的取舍很关键，这是个易错点（2）中二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的最值即可解题考点二：函数与不等式（组）综合应用例1（2010江苏镇江）深化理解 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为即：当n为非负整数时，如果则n如：0，1，2

8、，4，试解决下列问题： （1）填空： （为圆周率）； 如果3，则实数x的取值范围为 ； （2）当；举例说明不恒成立； （3）求满足的所有非负实数x的值； （4）设n为常数，且为正整数，函数yx2x的自变量x在nxn1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a；满足的所有整数k的个数记为b. 求证：ab2n. 【分析】(1)第一空：3，所以填3；第二空：根据题中的定义得3-2x13+，解这个不等式组，可求得x的取值范围；（2）根据定义进行证明和举反例；（3）用图象法解，可设y，y，在直角坐标系中画出这两函数的图象，交点的横坐标就是x的值（4）根据在nxn1范围内y随x的增大而增大，所以可得出y的取

9、值范围，从而求出y的整数解的个数，同样地由定义得，把此式两边平方可得k与y的取值范围一致所以ab.【解答】（1）3； （2）证明： 法一设n，则nxn，n为非负整数； 又(nm)xm(nm)，且mn为非负整数， nmm 法二设xkb，k为x的整数部分，b为其小数部分1）当0b0.5时，kmx(mk)b，mk为mx的整数部分，b为其小数部分mkm2）当b0.5时，k1则mx(mk)b，mk为mx的整数部分，b为其小数部分mk1m综上所述：m举反例：112，而1， 不一定成立 （3）法一作的图象，如图 （注：只要求画出草图，如果没有把有关点画成空心点，不扣分）y的图象与y图象交于点(0，0)、x0

10、， 法二x0， 为整数，设k，k为整数则x，k， 0k2，k0，1，2x0， （4）函数yx2x(x)2，n为整数，当nxn1时，y随x的增大而增大，(n)2y(n1)2即(n)2y(n)2， n2nyn2 n，y为整数y n2n1，n2n2，n2n3，n2n2n，共2n个y.a 2n （8分）则 比较，得：ab2n 【评注】这是一道创新题，要求学生读懂定义，能用定义解决简单的实际问题，然后能更进一步地结合已经学过的知识进行拓展，是一道不易的压轴题，学生要在短时间解决此问题，要求平时的学习要有一定的创新思维，特别是自学习能力的培养显得尤为重要就这题而言，对不等式组，及不等式组的整数解的应用要掌

11、握得非常熟练，还有二次函数式的变形能力也要求较高例2（2010湖北荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1=170-2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系. （1）直接写出y2与x之间的函数关系式； （2）求月产量x的范围； （3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）用待定系数法，根据图形容易求解

12、；（2）根据题意列不等式组，可求得月产量x的范围；（3）利用利润=总售价-总成本，根据二次函数的性质求解.【解答】解：（1）y2=500+30x.（2）依题意得： 解得：25x40（3）W=xy1-y2=x(170-2x)-(500+30x)=-2x2+140x-500,W=-2(x-35)2+1950.而253540, 当x=35时，.即月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元 【评注】本题是一次函数、二次函数的综合运用的最优方案设计问题，是中考的热点题型，也是代数知识部分的核心知识.考点三：方程（组）与不等式（组）综合应用例1（2010四川内江）已知非负数a，b，c满足条件ab7

13、，ca5，设Sabc的最大值为m，最小值为n，则mn.【分析】把ab7和ca5两式相加，即可得bc12，所以Sabca12，故确定S的最大值和最小值的关键就是确实a的取值范围.由ab7得b7a，根据a0，b0,有7a0，所以0a7；由ca5，得c5a，因为c0，所以5a0，即a5，由于a0，所以一定有a5，所以0a7，所以m71219，n01212，从而mn707.【解答】7【评注】代数式的最值问题是中学数学中比较常见的问题，这类问题解法多样，灵活性较强，常用的方法有：配方法、计算法、消元法、构造法、换元法、利用基本不等式法，等等.例2（2010福建福州）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购

14、买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元用124元恰好可以买到3个书包和2本词典 （1）每个书包和每本词典的价格各是多少元? （2）郑老师计划用l000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后余下不少于lOO元且不超过120元的钱购买体育用品共有哪几种购买书包和词典的方案?【分析】利用购买3个书包和2本词典的总价及二者单价间的关系可用一元一次方程求出书包和词典的单价；而在（2）中，根据购买书包和词典的价格范围列一元一次不等式组求出书包的范围，再根据书包的取值为正整数求出方案【解答】（1）解：设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为(x8)元根据题意得： 3 x +2(x8)124 解得：x28 x820 答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元 （2）解：设昀买书包y个，则购买词典(40y)