第一章随机事件及其概率习题可编辑修改word版Word格式文档下载.docx

1、2 16则 P（ A） =0.25？ .10.已知随机事件 A 的概率 P（ A） = 0.5 ，随机事件 B 的概率 P（B） = 0.6 ，及条件概率P（B | A） = 0.8 ，则和事件 A + B 的概率 P（ A + B） = 0.7 .12.假设一批产品中一、二、三等品各占 60%、30%、10%，从中随机取一件结果不是2三等品，则取到一等品的概率为 .313.已知 P（ A） = a, P（B | A） = b, 则P（AB）= a - ab .14.一批产品共 10 个正品,2 个次品,任取两次,每次取一件（取后不放回）,则第 2 次抽取为次品的概率 1 .62 1 215.

2、甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是 ,率为 2/5 ., ，三人中恰好有两人合格的概2 516.一次试验中事件 A 发生的概率为 p, 现进行 n 次独立试验, 则 A 至少发生一次的概率为 1-（1- p）n； A 至多发生一次的概率为（1- p）n + np（1- p）n-1 .17.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被击中，则它是甲中的概率为 0.75 .二、选择题1.以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件 A 为（D）.（A）“甲种产品畅销，乙种产品滞销”; （B）“甲、乙两种产品均畅销”;（C）“甲种产品滞销”;

3、 （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.2.对于任意二事件 A和B, 与A B = B不等价的是（D）.（ A）A B; （B）B A; （C）AB = ; （D）AB = .3.如果事件 A，B 有 BA，则下述结论正确的是（C）.（A） A 与 B 同时发生; （B）A 发生，B 必发生；（C）A 不发生 B 必不发生； （D）B 不发生 A 必不发生.4.A 表示“五个产品全是合格品”，B 表示“五个产品恰有一个废品”，C 表示“五个产品不全是合格品”，则下述结论正确的是（B）.A = B;A = C;B = C;（D）A = B - C.5.若二事件 A 和 B 同时出现的概率 P（

4、AB ）=0 则（C）.（A） A 和 B 不相容； （B） AB 是不可能事件；（C） AB 未必是不可能事件； （D）P（ A ）=0 或 P（ B ）=0.6.对于任意二事件 A 和 B 有 P（ A - B） =（C ）.（A） P（ A） - P（B） ; （B） P（ A） - P（B） + P（ AB） ;（C） P（ A） - P（ AB） ; （D） P（ A） + P（B） + P（B） - P（ AB） .8.设 A , B 是任意两个概率不为 0 的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D）.（A）A与B 不相容; （B） A与B 相容; （C） P（AB）=P（A）P（

5、B）; （D） P（AB）=P（A）.9.当事件 A、B 同时发生时，事件 C 必发生则（B）.（C）P（C） P（ A） + P（B） -1;P（C） = P（ AB）;P（C） P（ A） + P（B） -1;P（C） = P（ A + B）.10.设 A, B 为两随机事件，且 B A ，则下列式子正确的是 （A ）.（A） P（ A + B） = P（ A） ; （B） P（ AB） = P（ A） ;P（B | A） = P（B） ;P（B - A） = P（B） - P（ A） .11.设 A、B、C是三随机事件，且P（C） 0, 则下列等式成立的是（ B）. （ A） P（ A

6、| C） + P（ A | C） = 1; （B） P（ A B | C） = P（ A | C） + P（B | C） - P（ AB | C）;（C） P（ A | C） + P（ A | C） = 1; （D） P（ A B | C） = P（ A | C）P（B | C）.12.设 A, B 是任意两事件, 且 A B, P（B） 0 , 则下列选项必然成立的是（B）.P（ A） P（ A） P（ A | B）;P（ A） P（ A | B）.13.设 A, B 是任意二事件,且 P（B） 0 , P（ A | B） = 1 ,则必有（ C ）.P（ A + B） P（ A） ; P（

7、B） ;P（ A + B） = P（ A） ;P（ A + B） = P（B） 14.袋中有 5 个球，其中 2 个白球和 3 个黑球，又有 5 个人依次从袋中任取一球，取后不放回，则第二人取到白球的概率为（D）. （ A）1 ; （B） 2 ; （C） 1 ; （D） 2 .4 4 5 515. 设0 P（ A） 1, 0 P（B） 1, P（ A | B） + P（ A | B ） = 1,则（D）.（A）事件 A和B 互不相容； （B） 事件 A和B 互相对立；（C） 事件 A和B 互不独立； （D） 事件 A和B 相互独立.16. 某人向同一目标重复射击，每次射击命中目标的概率为 p

8、（0 p 0, y 0, z 0, x + y + z = 1 其中 x, y, z 分别表示三段之长.2.设 A, B, C 为三事件，用 A, B, C 运算关系表示下列事件：（1） A 发生, B 和C 不发生； （2） A 与 B 都发生, 而C 不发生；（3） A, B, C 均发生； （4） A, B, C 至少一个不发生；（5） A, B, C 都不发生； （6） A, B, C 最多一个发生；（7） A, B, C 中不多于二个发生； （8） A, B, C 中至少二个发生.解 （1） ABC 或 A （AB+AC）或 A （B+C）；（2） ABC 或 ABABC 或 ABC

9、；（3）ABC ；（4） A + B + C ；（5） ABC 或 A + B + C ；（6） ABC + ABC + ABC + ABC ；（7） ABC ；（8） AB + AC + BC .3.下面各式说明什么包含关系？（1）AB = A （2）A + B = A ； （3）A + B + C = A解 （1） A B ； （2） A B ； （3） A B + C4. 设 = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, A = 2,3,4, B = 3,4,5, C = 5,6,7 具体写出下列各事件： AB ， （2）A + B ， （3）A B ， （4）ABC ， （5） A（

10、B + C） .解 （1）5； （2） 1,3,4,5,6,7,8,9,10； （3） 2,3,4,5；（4） 1,5,6,7,8,9,10； （5） 1,2,5,6,7,8,9,10.5. 从数字 1,2,3，10 中任意取 3 个数字，（1）求最小的数字为 5 的概率;记“最小的数字为 5”为事件 A10 10 个数字中任选 3 个为一组：选法有C3 种，且每种选法等可能.又事件 A 相当于：有一个数字为 5，其余 2 个数字大于 5。这种组合的种数有1 C 21 C 2 1 P（ A） = 5 = .10 12（2）求最大的数字为 5 的概率。4记“最大的数字为 5”为事件 B，同上 1

11、0 个数字中任选 3 个，选法有C3 种，且每种选法等可能，又事件 B 相当于：有一个数字为 5，其余 2 数字小于 5，选法有1 C 2 种P（B） = 4 = .10 206.从 5 双不同鞋子中任取 4 只，4 只鞋子中至少有 2 只配成一双的概率是多少？ 记 A 表“4 只全中至少有两支配成一对”则 A 表“4 只人不配对” 从 10 只中任取 4 只，取法有10 种，每种取法等可能。 要4 只都不配对，可在5 双中任取4 双，再在4 双中的每一双里任取一只。取法有 5 24C 4 24 8 P（ A） = 5 =10 21P（ A） = 1 - P（ A） = 1 -8 = 13 .

12、21 217.试证 P（AB + AB）= P（A）+ P（B）- 2P（AB）.。8.已知 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样， 求下列事件的概率。（1）两只都是正品 ；（2）两只都是次品 ；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。解 （1）C 2p = 8 =28 ;45（2）C 2 1p = 2 =10 45C 1C 1p = 8 2 =16 ;（4）p4 = 1 - p2= 1 -1 = 44 .45 459.把 10 本书任意放在书架上，求其中指定的 5 本书放在一起的概率。解 所求概率p = 6! 5! = 1 .10! 4210

13、.某学生宿舍有 8 名学生，问（1）8 人生日都在星期天的概率是多少？（2）8 人生日都不在星期天的概率是多少？（3）8 人生日不都在星期天的概率是多少？1 1 8p1 = 78 = 7 ;68 6 8p2 = 78 = （3） p3 = 1- 78 = 1- 7 . 11.从 0 9 中任取 4 个数构成电话号码（可重复取）求：（1）有 2 个电话号码相同，另 2 个电话号码不同的概率 p ；（2）取的至少有 3 个电话号码相同的概率 q .C 1 C 2 A2p = 10 4 9 = 0.432 ；104C 1 C 3 A1 + C 1q = 10 4 9 10 = 0.037.12.随机

14、地将 15 名新生平均分配到三个班中，这 15 名新生有 3 名优秀生.求（1）每个班各分一名优秀生的概率 p （2）3 名优秀生在同一个班的概率 q .解 基本事件总数有15！ 种5！（1）每个班各分一名优秀生有 3! 种, 对每一分法,12 名非优秀生平均分配到三个班中分法总数为12！ 种, 所以共有3！. 所以 p = 4！4！= 25 .种分法 91（2）3 名优秀生分配到同一个班, 分法有3 种, 对每一分法,12 名非优秀生分配到三个班中3 12！分法总数为 , 共有 3 12！, 所以 q = 2！= 6 .2！种13.在单位园内随机地取一点 Q，试求以 Q 为中点的弦长超过 1

15、 的概率.解: 在单位园内任取一点 Q，并记 Q 点的坐标为（x，y），由题意得样本空间 = （x, y） x2 + y2 ，即 A = x, y x + y1 与 P （AB）1 矛盾）.从而由加法定理得P （AB）=P （A）+P （B）P （AB） （*）（1）从 0P（AB）P（A）知，当 AB=A，即 AB 时 P（AB）取到最大值，最大值为P（AB）=P（A）=0.6，（2）从（*）式知，当 AB= 时，P（AB）取最小值，最小值为P（AB）=0.6+0.71=0.3 .15.设 A，B 是两事件,证明:P AB + AB = PA） + P（B） - 2P（ AB）证 P（AB

16、+ AB）= P（AB） + P（ AB） - P（ ABAB） = P（ A - B） + P（B - A）= P（ A） - P（ AB） + P（B） - P（ AB） = P（ A） + P（B） - 2P（ AB） .16.某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为 80%，通过笔试的概率为 65%，至少通过两者之一的概率为 75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？解 A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则 P（A）=0.8, P（B）=0.65, P（A+B）=0.75P（AB）=P（A）+P（B）P（A+B）=0.8+0.650.75=0.70即该学

17、生这门课结业的可能性为 70%.17.某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有 20%读甲报，16%读乙报，14%读丙报， 其中 8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有 2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率.解 设A，B，C分别表示读甲，乙，丙报纸P（ A + B + C）= P（ A） + P（B） + P（C） - P（ AB） - P（ AC） - P（BC） + P（ ABC）= 0.2 + 0.16 + 0.14 - 0.08 - 0.05 - 0.04 + 0.02 = 0.35 .18. 已知 P（ A） = P（B） = P（C） = 1 , P（

18、 AB） = 0, P（ AC） = P（BC） = 14 16，求事件 A, B, C 全不发生的概率.解 P（ A B C） = P（ A + B + C） = 1 - P（ A + B + C）= 1 - P（ A） + P（B） + P（C） - P（ AB） - P（ AC） - P（BC） + P（ ABC） = 1 - 3 - 1 = 3 4 8 8 .19.某厂的产品中有 4%的废品，在 100 件合格品在有 75 件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率.解 令 A =“任取一件是合格品”，B =“任取一件是一等品”P（ AB） = P（ A）P（B | A） = （1

19、 - 0.04） 0.75 = 0.72 .20.在 100 个次品中有 10 个次品 ，每次从任取一个（不放回），求直到第 4 次才取到正品的概率.解 Ai =“第i 次取到正品” i=1，2，3，4. P（ A1 A2 A3 A4 ） = P（ A1 ）P（ A2 | A1 ）P（ A3 | A1 A2 ）P（ A4 | A1 A2 A3 ）= 10 9 8 90 = 0.00069100 99 98 9721.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？记 H 表拨号不超过三次而能接通, Ai 表第 i 次拨号能接通.注意：第一次拨号

20、不通，第二拨号就不再拨这个号码. H = A1 + A1 A2 + A1 A2 A3 P（H ） = P（ A1 ） + P（ A1 ）P（ A2 | A1 ） + P（ A1 ）P（ A2 | A1 ）P（ A3 | A1 A2 ）= 1 +9 1 +9 8 1 = 3 .10 10 9 10 9 8 1022. 若 P（ A） 0, P（B） 0 ，且 P（ A | B） P（ A） ，证明 P（B | A） P（B） .证 因为P（ A | B） P（ A）, 则P（ AB） P（ A） P（ AB） P（ A）P（B） P（B）所 以 P（B | A） = P（ AB） P（ A）P（

21、B） = P（B） .P（ A） P（ A）23.证明事件 A 与 B 互不相容，且 01,则 P（A | B）=P（A） 。1 - P（B）证 P（A | B） = P（ AB） =P（B）P（ A） . 。24.设一仓库中有 10 箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有 5 箱、3箱、2 箱，三厂产品的废品率依次为 0.1、0.2、0.3，从这 10 箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率.解 设 A =取得的产品为正品，Bi , i = 1, 2, 3 分别为甲、乙、丙三厂的产品P（B1 ） = 0.5， P（B2 ） = 0.3 ，P（B3 ） = 0.2

22、，P（ A | B1 ） = 0 .9 ，P（ A | B2 ） = 0 .8 , P（ A | B3 ） = 0.7所 以 P（A）= i =1P（B ）P（AB ） = 0.83.25.某一工厂有 A, B, C 三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的 25 %、35 %、40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的 5 %、4 %、2 %， 如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是 A, B, C 车间生产的概率.解 A、B、C 分别表示 A、B、C 三车间生产的螺钉， D =“表示次品螺钉”P（A）= 25%P（D | A）= 5%P（B）= 35%

23、P（D | B）= 4%P（C）= 45%P（D | C）= 2%P（A D）= P（A）P（D A）P DP（A）P（D A）25 5 25= P（A）P（D A）+ P（B）P（D B）+ P（C ）P（D C ） = 25 5 + 35 4 + 40 2 = 69同理 P（B | D）= 2869 P（C | D）= 16 .26.已知男人中有 5 %的色盲患者，女人中有 0.25 %的色盲患者，今从男女人数中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解 B =从人群中任取一人是男性， A =色盲患者因为 P（B）= P（B）= 0.5P（ A | B） = 5%，P（ A | B） = 0.25%P（ A） = P（B）P（ A | B） + P（B）P（ A | B） = 0.5 0.05 + 0.5 0.0025 = 0.02625所以 P（B | A） = P（B）