四边形与证明经典难题Word格式.docx

1、证明：（1）如图8-2，四边形ABCD是平行四边形，1=C，AD=CB，AB=CD.点E、F分别是AB、CD的中点，AE=AB，CF=CD.AE=CF.ADECBF.（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形.如图8-2.四边形ABCD是平行四边形，ADBC.AGBD，四边形AGBD是平行四边形.四边形BEDF是菱形，DE=BE.AE=BE，AE=BE=DE.1=2，3=4.1+2+3+4=180，22+23=180.2+3=90即ADB=90四边形AGBD是矩形.【例2】已知:在O中，CD平分ACB，弦AB、CD相交于点E，连结AD、BD.图8-3（1）写出图8-3中3对相似的三角

2、形；（2）找出图8-3中相等的线段，并说出理由.解析：由图可以看出:ACEDBE，AEDBEC，ADECDA.同时还可以看到AD=BD.CD平分ACB，ACD=BCD，AD=BD.【例3】已知：在ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图8-4中的两对相似三角形（不需证明）；图8-4（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.结合图形的有关性质，可以证明四边形AQMP为矩形，故其周长为2a.解：（1）PMAB，QMAC四边形AQMP为平行四边形且1=C，2=B，又AB=

3、AC=a.B=C，1=B=C=2.QB=QM，PM=PC.四边形AQMP的周长为：AQ+QM+MP+PA=AP+QB+PC+PA=AB+AC=2a；（2）ABCQBMPMC；（三对中写出任意两对即可）（3）如图8-5当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为菱形.理由：当M为BC中点时.图8-5PMAB.QMAC.PM=AB=QM=AC=PM=QM.由（1）知：四边形AQMP为平行四边形.四边形AQMP为菱形.二、与圆有关的综合证明本考点为圆的有关性质和圆中的一些定理、判定的基本应用.这是整个初中数学的核心之一.往往作为中考的压轴题，主要考查的数学思想很多：数形结合的思想、分类讨论的思想、转化化

4、归的思想，以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括等数学 方法.与圆有关的证明多数是结合三角形、四边形、相似形、函数等知识为主的压轴题.以“提供新材料，创设新情境，提出新问题”等新题型较多.在解题方法中要做到稳中有变、变中求新、新中求好的思想.充分发挥学生的能力.【例4】如图8-6，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CHAB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.点F是BD中点；（2）求证：CG是O的切线；（3）若FB=FE=2，求O的半径.图8-6图8-7通过观察图形结合圆中的基础知识，运用相似三角形的

5、性质、切线的判定方法以及直角三角形中的勾股定理，可以证明线段相等、切线及有关线段的长度.（1）证明：CHAB，DBAB，AEHAFB，ACEADF.，HE=EC，BF=FD.（2）证明：方法一：如图8-7连接CB、OC，AB是直径，ACB=90.F是BD中点，FC=BD=FB.BCF=CBF=90-CBA=CAB=ACO.OCF=90,CG是O的切线.方法二：可证明OCFOBF.（3）解：由FC=FB=FE得：FCE=FEC.可证得：FA=FG，且AB=BG.由切割线定理得：（2+FG）2=BGAG=2BG2.在RtBGF中，由勾股定理得：BG2=FG2-BF2,由得：FG2-4FG-12=0

6、,解之得：FG1=6，FG2=-2（舍去）.AB=BG=O半径为2.【例5】已知：O1与O2相交于点A、B，过点B作CDAB，分别交O1和O2于点C、D.（1）如图8-8（1），求证：AC是O1的直径；（2）若AC=AD，如图8-8（2），连结BO2、O1O2，求证：四边形O1CBO2是平行四边形；若点O1在O2外，延长O2O1交O1于点M，在劣弧上任取一点E（点E与点B不重合）. EB的延长线交优弧于点F，如图8-8（3）所示.连结AE、AF.则AE_AB（请在横线上填上“、”这四个不等号中的一个并加以证明.（1）（2）（3）图8-8（1）CDAB，ABC=90AC是O1的直径（2）证明1：

7、CDAB，ABD=90AD是O2的直径.AC=AD.CDAB，CB=BD.O1、O2分别是AC、AD的中点.O1O2CD且O1O2=CD=CB.四边形O1C BO2是平行四边形.证明2：AC=AD.CDAB，CB=BD.B、O2分别是CD、AD的中点.BO2AC且BO2=AC=O1C，证明3：O1O2CD.CDAB，CB=BD.B是CD的中点.O2BO1C.证明4：CDAB，ABD=90O1C=O2B.C=D.O2B=O2D，O2B D=D .C=O2B D.AEAB证明1：当点E在劣弧上（不与点C重合）时，AC=AD，ACD=ADC，AEB=ACD=ADC=AFB，AE=AF.记AF交BD为

8、GABCD，AFAGAB，当点E与点C重合时，AE=ACAB，上（不与点B重合）时，设AE交CD与H，AEAHAB综上，AEAB.连结EC、DF，AD是O2的直径，即AFD=90EAC=EBC=DBF=DAF.AC=AD直角AFD直角AEC.AE=AF.DBF=DAF.ADF+DBF=90又DBF=EBC.ABE+EBC=90ADF=ABE.ABE=ACE.ADF=ACE.AC=AD，直角AFD直角AEC.【例6】如图8-9，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且ACBD顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2

9、D2如此进行下去得到四边形AnBnCnDn.图8-9四边形A1B1C1D1是矩形；（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；（4）求四边形A5B5C5D5的周长.通过题目中所给条件，充分应用三角形的中位线定理结合矩形的判定定理，从而比较容易的得出证明.（1）证明:点A1，D1分别是AB、AD的中点，A1D1是ABD的中位线.A1D1BD，A1D1=BD，同理：B1C1BD，B1C1=BD.A1D1B1C1，A1D1=B1C1，四边形A1B1C1D1是平行四边形.ACBD，ACA1B1，BDA1D1，A1B1A1D1,即B1A1D1=

10、90四边形A1B1C1D1是矩形.（2）四边形A1B1C1D1的面积为12；四边形A2B2C2D2的面积为6；（3）四边形AnBnCnDn的面积为24；（4）方法一：由（1）得矩形A1B1C1D1的长为4，宽为3；矩形A5B5C5D5矩形A1B1C1D1；可设矩形A5B5C5D5的长为4x,宽为3x，则4x3x=24,解得x=4x=1,3x=矩形A5B5C5D5的周长=2（1+）=矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积=（矩形A5B5C5D5的周长）2/（矩形A1B1C1D1的周长）2即12=（矩形A5B5C5D5的周长）2142矩形A5B5C5D5的周长=历年真题一、选择题1

11、如图8-10，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，则CDE的周长是（）图8-10A.6B.8C.9D.10答案：B有平行四边形的性质可得：AB=CD=3，AD=BC=5.结合垂直平分线的性质得AE=CE.所以CDE的周长为AD+CD=8.2如图，8-11已知O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD边相切，若正方形的边长为2，则圆的半径为（图8-11A.B.C.D.1有图形的性质可过点O分别作出AB、BC的垂线，利用垂径定理和切割线定理可求出圆的半径.3.如图8-12，在矩形ABCD中，EFAB，GHBC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（图8

12、-12A.3对B.4对C.5对D.6对A应用矩形的有关性质、面积的计算方法可以任意的证明四边形AGPE的面积等于PFHC，四边形AGHD的面积等于四边形FEDC，四边形ABFE的面积等于四边形BGHC，共3对.二、填空题4.如图8-13，已知弦AB的长等于O的半径，点C是上一点，则ACB=_度.图8-1330由AB的长等于半径，则弦AB所对的弧的度数为60度，所以ACB的度数为60=30度.5如图8-14，O为ABC的外接圆，直径AB=10，弦BC=8，则弦AC=_.图8-146由AB为直径，则C=90，所以由勾股定理可计算出弦AC=6.6.如图8-15，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上

13、一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于D.若AC=8 cm，DE=2 cm，则OD的长为_.图8-153点E为弧AC的中点，DEAC，由垂径定理可知AD=CD=4 cm.在直角三角形中用勾股定理可求出OD=3 cm.7.如图8-16，已知A=30，点B，C是AD上的三等分点，分别以AB，BC，CD为直径作圆，圆心分别为E，F，G，AP切G于点P，交F于M，N，则弦MN的长是_.图8-168连结GP，过F点作FH垂直于MN于H.则AGPAFH，所以，所以FH=3，连结FM，在直角三角形FMH中由勾股定理得MH=4，所以MN=8.三、解答题8.已知：如图8-17，直线ABCD，直线EF分别交AB，

14、CD于点E，F，BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P.求证：P=90图8-17ABCD，EFD+FEB=180.EP、FP分别平分BEF、DFE，FEP+EFP=90.P=909.如图8-18，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8 cm，BC=6 cm，C=90，EG=4 cm，EGF=90，O是EFG斜边上的中点.如图8-18，若整个EFG从图的位置出发，以1 cm/s的速度沿射线AB方向平移，在EFG平移的同时，点P从EFG的顶点G出发，以1 cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，EFG也随之停止平移.

15、设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）.图8-18（1）当x为何值时，OPAC ?（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围.（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.（参考数据：1142=12 996，1152=13 225，1162=13 456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）（1）RtEFGRtABC，FG=3 cm.当P为FG的中点时，OPEG，EGAC，OPAC.x=3=1.5（s）.当x为1

16、.5s时，OPAC.（2）在RtEFG中，由勾股定理得：EF=5 cm.EGAH，EFGAFH.AH=（ x+5），FH=（x+5）.过点O作ODFP，垂足为D.点O为EF中点，OD=EG=2 cm.FP=3-x，S四边形OAHP=SAFH-SOFP=AHFH-ODFP（x+5）（x+5）-2（3-x）+3（0x3）.（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324.则S四边形OAHP=SABC+3=66x2+85x-250=0.解得x1=，x2=（舍去）.0x3，当x=（s）时，四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324.10已知：如图8-19，平行四边形ABCD

17、的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.求证：四边形AFCE是菱形.图8-19EF垂直平分AC，EFAC，且AO=CO.证得：AOECOF.四边形AECF是平行四边形.由ACEF可知：四边形AECF是菱形.11如图8-20：MON = 90，在MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B1是ON上的任意一点，在MON的内部作正方形AB1C1D1.图8-20（1）连结D1D，求证：ADD1=90（2）连结CC1，猜一猜，C1CN的度数是多少？并证明你的结论；（3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在MON的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合

18、（1）（2）的结论，请你再做出一个合理的判断.四边形AOCD、AB1C1D1为正方形，OAD=B1AD1=90，OA=AD=AB1=AD1.OAB1=DAD1.AOB1ADD1.ADD1= 90（2）解：C1CN=45如右图作C1HON于H.AOB1=C1HB1=90，AB1=B1C1.又AB1O+C1B1H=90，AB1O+OAB1=90C1B1H=OAB1.AOB1B1HC1.B1H=OA，C1H=OB1.OA=OC，OC=B1H.OB1=CH，CH=C1H，C1CN=45作图略.推得：（ADD2=90、C2CN=45、D、D1、D2在一条直线上、C、C1、C2在一条直线上.）12.已知A

19、OB=90，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E.当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图8-21），易证：OD+OE=2OC.当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图8-21、图8-21这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.图8-21图2结论：OD+OE=OC.过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q.CPDCQE，DP=EQOP=OD+DP，DQ=OE-EQ又OP+OQ=OC，即OD+DP+O

20、E-EQ=OCOD+OE=图3结论：OE-OD=13.如图8-22，已知，等腰RtOAB中，AOB=90，等腰RtEOF中，EOF=90，连结AE、BF.图8-22求证：（1）AE=BF；（2）AEBF.证明线段相等的方法，通常是通过证明两个三角形全等来证明.而证明线段垂直的方法是通过直角三角形的两锐角互余等方法证明.（1）在AEO与BFO中，RtOAB与RtEOF是等腰直角三角形，AO=OB，OE=OF，AOE=90-BOE=BOF，AEOBFO，AE=BF；（2）如图延长AE交BF于D，交OB于C，则BCD=ACO，OAC=OBF，BDA=AOB=90AEBF.14.如图8-23，已知：M是AB的中点，MC=MD，1=2.AC=BD.图8-23M是AB的中点,MA=MB.MC=MD,1=2,AMCBMD.AC=BD.评述：证明线段相等