裂项相消法求和附答案解析docx.docx

1、裂项相消法求和附答案解析docx.裂项相消法利用列 相消法求和 ， 注意抵消后并不一定只剩下第一 和最后一 ， 也有可能前面剩两 ， 后面剩两 ， 再就是通 公式列 后， 有 需要 整前面的系数，使列 前后等式两 保持相等。（ 1 ）若是 a n 等差数列， 11 .( 11 ) ,11 .( 11 )anan 1d anan 1an an 22d anan 2（ 2 ）111n（n1） nn1（ 3 ）1k)1 ( 1n1)n(nknk（ 4 ）11 (11)（2n 1（)2n 1） 2 2n 1 2n 1（ 5 ）n(n12)11(n11)( n2n(n 1)1)(n2)（ 6 ）1n1n

2、nn1（ 7 ）11nkn)nnk(k1. 已知数列 的前 n 和 ， （1 ）求数列 的通 公式；（2 ） ，求数列 的前 n 和 解析 (1) ., 得 :即 3 分在中令, 有, 即，5 分故 2. 已知 a n 是公差 d 的等差数列，它的前 n 和 Sn， S4=2S 2 +8 （）求公差 d 的 ；（）若 a 1 =1 ， Tn 是数列 的前 n 和，求使不等式 T n 所有的n N* 恒成立的最大正整数 m 的 ； 解析 （） 数列 a n 的公差 d ， S4 =2S 2 +8 ，即 4a 1 +6d=2(2a 1 +d) +8 ，化 得： 4d=8 ，解得 d=2 4 分（）

3、由 a 1=1 ， d=2 ，得 a n =2n-1 ， 5 分 = 6 分. Tn = ，8 分又 不等式n 所有的 n N* 恒成立，T ，10 分化 得： m 2 -5m-60 ，解得： -1 m 6 m 的最大正整数 6 12 分3.) 已知各 均不相同的等差数列 a n 的前四 和 S4 =14, 且 a 1 ,a3 ,a7 成等比数列 .( ) 求数列 a n 的通 公式 ;( ) Tn 数列 的前 n 和 ,求 T 2 012 的 . 答案 ( ) 公差 d, 由已知得(3 分)解得 d=1 或 d=0( 舍去 ), a1 =2. (5 分 )故 a n =n+1. (6 分 )

4、( ) = = - ,(8 分 ).T n= - + - + + -= -=. (10 分 )T 2 012 = . (12 分 )4.) 已知数列 a是等差数列 ,- =8n+4, 数列 |an| 的前 n 和 S ,数列的前 nnn和 T n .(1)求数列 a n 的通 公式 ;(2)求 : Tn 1. 答案 (1) 等差数列 a n 的公差 d, an =a 1 +(n-1)d. (2 分 )- =8n+4,(a n+1 +a n )(a n+1 -a n )=d(2a 1 -d+2nd)=8n+4.当n=1,d(2a 1 +d)=12;当n=2,d(2a 1 +3d)=20.解方程

5、得 或 (4 分) 知 ,an =2n 或 a n =-2n 都 足要求 .a n =2n 或 a n =-2n. (6 分 )(2) 明 : 由 (1) 知 :a n =2n 或 a n =-2n.|a n |=2n.Sn =n(n+1). (8 分 ) = = - .T n=1- + - + + - =1- . (10 分 ) Tn 1. (12 分 )5. 已知等差数列 a n 的公差 2, 前 n 和 Sn ,且 S1,S2 ,S4 成等比数列 .( ) 求数列 a n 的通 公式 ;( ) 令 b n =(-1) n-1 ,求数列 b n 的前 n 和 T n . 答案 看解析 解析

6、 ( ) 因 S1 =a 1 ,S2=2a 1 + 2=2a 1 +2,S =4a1+2=4a1+12,4由 意得 (2a 1+2) 2 =a 1 (4a 1+12),解得 a 1 =1,所以 a n =2n-1.( )b n =(-1) n-1 =(-1) n-1=(-1) n-1当 n 偶数 ,Tn = -=1-=.当 n 奇数 ,Tn = -.所以 T n =.+ + -+ - + + + =1+ =6. 已知点 的 象上一点，等比数列的首 ，且前 和.( ) 求数列 和 的通项公式；( ) 若数列 解析 解： ( )因为的前项和为，问，所以的最小正整数，是多少？所以，又数列是等比数列，

7、所以，所以，又 公比，所以，因为，又所以数列所以所以，所以 ，所以构成一个首项为 1 ，公差为，当 时，. （ 6 分），1 的等差数列，.( ) 由( ) 得，（10 分）由得，满足的最小正整数为 72.（ 12 分）7. 在数列，中，且成等差数列，成等比数列（） .（）求，及，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；（）证明：. 解析 （）由条件得，由此可得.猜测. （ 4分）用数学归纳法证明：当 时，由上可得结论成立 .假设当 时，结论成立，即 ，那么当 时，.所以当 时，结论也成立 .由，可知 对一切正整数都成立 . （ 7 分）（）因为 .当 时，由（）知 .所以.综上所述，原不等式

8、成立 . (12 分）8. 已知数列 的前 项和是 ，且 （）求数列 的通项公式；（） 设 ， ，求使 成立的最小.的正整数 的 解析 （ 1 ） 当 ， ，由 ， 1分当 ， 是以 首 ， 公比的等比数列 4 分故 6 分（2 ）由（ 1 ）知 ， 8 分，故使 成立的最小的正整数 的 . 12 分.9.己知各 均不相等的等差数列 a n 的前四 和 S4=14 ，且 a 1 ， a 3， a 7 成等比数列（I）求数列 a n 的通 公式；（ II ） Tn 数列 的前 n 和，若 T n 恒成立， 求 数 的最小 解析 122.解得（） 公差 d. 由已知得，所以3 分6 分（） ， 9

9、 分 恒成立，即 恒成立10.又 的最小 已知数列 前 和 ，首 ，且 ， ， 成等差数列 .12 分.（）求数列 的通 公式；（ II ）数列 足 ，求 ： ， 解析 （） 成等差数列 , ，当 ， ,两式相减得： .所以数列 是首 ，公比 2 的等比数列， . （ 6 分）( )， （ 8 分），. （ 12 分）11. 等差数列 a n 各 均 正整数 , a 1 =3, 前 n 和 Sn, 等比数列 b n 中 , b 1=1, 且b 2 S2 =64, 是公比 64 的等比数列 .( ) 求 a n 与 b n ;( ) 明 : + + + . 答案 ( ) a n 的公差 d, b n 的公比 q, d 正整数