极限知识拓展Word格式.docx

1、N 时，有 |a-b|=|a-a” a” -b|_|a-a”| |a” -b|，： ； ； = 2； 因为a与b是常数，2&是任意小的正数，所以 只有a=b，上述不等式才能成立，即数列啲极 限是惟一的.定理2:（有界性）若数列式收敛，则玄:有 界，即存在正数 M对任意自然数n有|a”|_M.设lim an =a，根据数列极限的定义，取 定.=1 （可以根据需要任意选取），存在自然数 N，当 nN 时，有 |an-a|：1.因为 |an|-|a|an -al，所以 当 nN 时，有 |an|-|a|_|an -a|“ 或耳|十| 1,即在数列&冲不满足不等式|an |a| 1的项充其量不 过是前

2、N项：ag, ,aN.令M = max*ai |,|a2 |,|aN |,|a|+1.于 是，对任意自然数n,有|a”|_M.定理2指出收敛的数列必有界.反之，有界 数列不一定收敛.例如，已知数列匚-1n :是有界的， 但它却是发散的.换句话说，有界是数列收敛的 必要条件而不是充分条件.2.什么是有界数列？定义：若存在两个数A，B（设A0）都是的上界这表明上界并 不是惟一的，下界也是如此.（2）对于数列N 时，总有A % SB,我们就说数列往后有界要 注意，往后有界一定是有界的，这是因为在N项 之前只有有限多个数XN?,Xn,在这有限个数中必 有最大的数和最小的数，设=min x,x2/ ,x

3、”，:=max Xi,X2, ,Xn ）那么 min（A, a ）和 max（B, （3）就 是整个数列妆”：的下界和上界.（3）有界数列也可以这样叙述：若存在一个 正数M使得|x”|_M n =1,2,，就称:xn 1是有界数列.或 者也可以这么说，若存在原点O的一个 M邻域0 （O, M）,使得所有xOO,M ,就称妆”；是有界数列， 这种叙述和上面所给出的定义显然是等价的.3.什么是单调有界数列？设n 是一个数列，如果Xi X2 X3-Xn f,我 们就说这个数列是单调增加 （上升）的如果X1 _X2 -X3 -Xn -我们就说这个数列是单调减少 （下降）的.例如就是一个单调减少的数列.

4、如 果在上面数列中等号都不成立，就称它是严格单 调增加或严格单调减少的.4 数列的收敛判别法有哪法？方法1 若存在自然数 N,当nN,总有 an -bn -Cn，且忡玄”=叩6 =1，贝忡5 =1.注：方法1被称为夹挤定理.例1计算思路启迪于是由 n2 n ： n2 2n 1 = n 1,方法2 单调有界数列存在极限.例 2 证明数列，a, . a . a ； , a . a a； a 0 收敛，并求它的极限.思路启迪首先对于这种随n的增大，数列 的项有规律变化的情况可以用数学归纳法证明 该数列单调并且有界.这样该数列必存在极 限可以设极限为i，则根据第n+1项与第n项 的关系列出关于I的等式

5、就可以求出I.规范证法 设Sn = .a .a . . a ,有 Sn d Sn ,用归纳法证明数列Si是单调增加的，又是有上界 的.显然S : S2 ,设Sk Sk 1 （k是自然数）有 a Sk : a Sk 1 a Sk V Ja Sk 1 ,艮卩 S k 1 - Sk 2 , 则数列En 是单 调增加的.显然，当n=1时，有Si=、aa 1 .设 n=k时,有Sk.a 1 .当 n=k+1时，也有 Sk+ = Ja+Sk c 耳a Za +1 Ja + 2a +1 = Ja +1，即数列 0 知，I不能是负数，则数列0啲极限是. 1 4a .5 函数极限有哪些性质和数列极限性质完全相仿

6、，函数极限也具有 以下几个性质：性质 1 .若 lim f x =A, lim g x =B,，且 AB,则存在8 0,使当 0：|xx|时，f（x）g（x）.取；=A2B,那么存在1 0,当0 ：|x Xo卜：、1时， 有fx AAyB ；同时又存在、2 o ,当0 ：时， 有 g x :B； .rAyB ,现在，令“二 min、i,、2 ,那么当0 ：| x x | ： 时，就有 g x : AyB : f x性质 2 .若 lim f （x ）=A, lim g（x ）=B,且存在 8 0,使当 xt 0 0ix -X。卜:时,f（x）g（x），贝V AB（A0, xx0使当 0 町xx

7、 卜、时,f（x）B（f（x）B, 由性质1知道，存在8 0,当0和“|时，有 f（x）f（x） 矛盾，这就证明了 A=B性质5.若存在8 0,使当0十卜.时，f（x） g（x） h（x），并且 lim f x =A,lim h x =A,贝U lim g x = A.xx性质6 .（局部有界性）若limf（x）=A，则存在着 8 0,使得f（x）在区间X0SX0和X0,X0、内有界，亦即在不等式0 |X-Xo |所表示的区间内有界.注：若函数f（x）在某个区间Z内满足AW f（x） 0, A- a都 是f（x）的下界，同样对任何3 0, B+B都是f（x） 的上界.这个定义也可以这样叙述：设

8、函数f（x） 在某个区间Z内满足|f（x）| 0，当 0|x-x,时，有Xx0A-1f（x）0，在（1- 3，1）和（1，1+3 ）内，J有界.但是这个函数在它X 1抛物线，但除去x=1，可见在（-8, 1）和（1 , + 8 ）内是无界的.6.连续函数有哪些性质？若函数f（x）和g（x）均在点xo处连续，则函 数 f（x） g（x） , f（x） g（x） , f（x）/g（x） gx。=o 在 点xo处也连续.若函数y=f（u）在点Uo处连续，U = X在点Xo连 续，且 xo =Uo ,则复合函数y=fl：x在点xo连续.若 函数y=f（x）在区间a，b上单调、连续，且f（a）= a，f

9、（b）= 3，则其反函数y=fx在区间a， 3 或3，a 上单调、连续.基本初等函数（包括幂函数、三角函数、反 三角函数、指数函数与对数函数）在它们各自的 定义域上皆连续.由函数在一点Xo处连续的定义及limx=xo，有 lim f x =f Xo limx x 这就是说，对于连续函数，极Xxo xxo限符号与函数符号可以交换，仞H 求 lim sin x.思路启迪由于函数y=sinx是初等函数， 所以它在其定义域（-8, +8 ）上是连续函数，这样就可以利用Jirn f x =fx =f Jirn x这个等式.规范解法因已知y=sinx在实数域上的任 意一点都连续，所以有lim sinx 二sin（lim x）二sin 1.x2： x2： 2有时我们只讨论函数 f（x）在xo的左侧或右侧的连续情况，有下面的左、右连续的概念：定乂：若lim_fxi；=fxo，称函数f（x）在xo左连xo续若lim f x = f xo，称函数f（x）在xo右连续显Xo然，函数f（x）在xo连续的充分必要条件是，函数 f（x）在xo既左连续又右连续.