高数在经济学中的应用Word下载.docx

1、2、实利率与虚利率由例1知，年利率相同，而一年计息期数不同时，一年所得之利息也不同。当年利率为8，一年计息1期，确实按8计算利息；一年计息2期，实际上所得利息是按8.16计算的结果；一年计息4期，实际上所得利息是按8.243计算；一年计息12期，实际上是按8.3计算；一年计息100次，实际所得利息是按8.325计算利息。这样，对于年期以下的复利，我们称年利率8为虚利率或名义利率，而实际计算利息之利率称为实利率。如8.16为一年复利2期的实利率，8.3为一年复利12期的实利率，8.329为一年连续复利的实利率。记r为名义年利率，rm为一年计息m期的实利率，本金A0，按名义利率一年计息m期，一年末

2、将增值到A0（1+）m，按实利率计息，一年末将增值到A0（1+rm）。于是，有1+rm（1+）m，即是离散情况下实利率与虚利率之间的关系式。若记rm为连续复利的实利率，由于所以，实利率与虚利率之间的关系为。3、数e的经济解释设年利率为100%，连续复利计息，一元本金到年末的本利和为这就是说，按名义利率100%，连续复利计息，一元本金年末将增长到e元。这可作为数e的经济解释。由于，所以，这是的实利率大约为172。4、贴现问题我们已经知道，初时本金A0，年利率r，t年末的本利和At，以年为期的复利公式是，一年均分为m期的复利公式是 ，连续复利公式是若称A0为现在之，At为未来值，一只现在值求未来值

3、是复利问题，与此相反，若已知未来值At求现在值A0，则称贴现问题，这时利率r称为贴现率。由复利公式，容易推得：离散的贴现公式为 连续的贴现公式为 例2 设年利率为6.5，按连续复利计算，现投资多少元，16年之末可得1200元。这里，贴现率r=6.5，未来值At=1200，t=16。所以，现在值增长率设变量y是时间t的函数y = f （t），则比值为函数f （t）在时间区间上的相对改变量；如果f （t）可微，则定义极限为函数f （t）在时间点t的瞬时增长率。对指数函数而言，由于，因此，该函数在任何时间点t上都以常数比率r增长。这样，关系式 （*）就不仅可作为复利公式，在经济学中还有广泛的应用。如

4、企业的资金、投资、国民收入、人口、劳动力等这些变量都是时间t的函数，若这些变量在一个较长的时间内以常数比率增长，都可以用（*）式来描述。因此，指数函数中的“r”在经济学中就一般的解释为在任意时刻点t的增长率。如果当函数中的r取负值时，也认为是瞬时增长率，这是负增长，这时也称r为衰减率。贴现问题就是负增长。例3 某国现有劳动力两千万，预计在今后的50年内劳动力每年增长2%，问按预计在2056年将有多少劳动力。由于未来值A0=2000，r=0.02，t=50，所以，50年后将有劳动力例4 某机械设备折旧率为每年5，问连续折旧多少年，其价值是原价值的一半。若原价值为A0，经t年后，价值为，这里r=-

5、0.05。由，若取，易算出t=13.86（年），即大约经过13.86年，机械设备的价值是原价值的一半。二、级数应用举例1、银行通过存款和放款“创造”货币问题商业银行吸收存款后，必须按照法定的比率保留规定数额的法定准备金，其余部分才能用作放款。得到一笔贷款的企业把它作为活期存款，存入另一家银行，这银行也按比率保留法定准备金，其余部分作为放款。如此继续下去，这就是银行通过存款和放款“创造”货币。设R表示最初存款，D表示存款总额（即最初存款“创造”的货币总额），r表示法定准备金占存款的比例，ru，每单位时间内净增加存货为P-u，到时刻t1终了库存出现一个顶点，这时，库存量为t1（P-u）。由于经历时

6、间t1到货总量为Q，因此，从而最大库存量为这种库存模型的库存水平变动情况如图3所示。这样，在一个计划期内，平均库存量应为最大库存量之半，因而库存费为本问题中，因为生产准备费或订购费与“成批到货，不许短缺”库存模型一样，因此，存货总费用E与每批数量Q的函数关系，即目标函数是为决策变量Q，由极值的必要条件和充分条件，容易算得，经济批量这时，库存总费用的最小值最优批量Q*的表达式（6）也可由下式得到：例2 同例1，但产品陆续存入仓库，每月到货200台，试确定经济批量和最佳费用。解 已知条件是：由（5）（6）（7）可得经济批量为327.3台，这时最佳费用为30550元。（三）成批到货，允许短缺的模型前

7、面讨论的两个库存模型是不允许缺货。允许缺货是指，缺货时未能满足的需求，在下一批货物到货时要予以满足，而且缺货时的需求直接输出而不经过库存。其它情况同模型一。如果缺货带来的损失很小，且不会因暂时缺货而失去销售机会，缺货现象是允许存在的。允许缺货情况，库存水平变动情况见图4。图中的t是一个存贮循环延续时间，从前一批到货至库存量减少为0的时间为t1，从库存是0至下一批货物到达的时间为t2。这里尚需补充假设B：库存得到补充之前的允许缺货量；C3：在一个计划期内，缺一件产品的损失费。需要注意的是每批投产或每次订购的数量Q包括了最大的允许缺货量B。本库存模型中，生产准备费与订购费与前面模型相同：库存费：因

8、有货时间t1占一个存贮循环时间的比率为，所以，在一个机会期内，有货时间所占比率也为有货时，最大库存量为Q-B，从而平均库存量为，由图4中 相似三角形易知因此，在一个计划期内，库存费为缺货费：在缺货时间t2占一个存贮循环时间的比率为，在一个计划期内，缺货总时间所占比例也为最大缺货量为B，因此，平均缺货量为，由图4的相似三角形得知因此，在一个计划期内，缺货量为.综上，在一个计划期内，库存总费用或写作这是该问题的目标函数。现在的问题是决策两个变量Q和B，以使目标函数取极小值。根据（8）式，由二元函数极值存在的必要条件，有解该方程组，可得 可以验证极值存在的充分条件满足：， 因此，将 代入（8）式，可

9、得存货总费用的最小值：比较（9）式和（3）式，如果缺一件产品的损失费C3为无穷大，因，则（9）式就是（3）式，这表明：不允许缺货可视为缺货损失为无穷大的情况。此式，又因，由（10）式知，恰有缺货量B*=0。例3 某厂，一年劳动日为300天，生产率（单位时间内的产量）固定，一年可组装机床1500台；若组装一台机床的零部件价值14400元，而一年的保管费为其价值的22，因缺零部件而停工，少装一台机床的损失费为零部件价值的50；又每次订购零部件的手续费为7500元，为使一年存货总费用最小，试就下列各种情况决策最优批量和允许缺货量（如果允许缺货的话）并计算最佳费用：（1）不管每次订购数量为多少，都可立

10、即到货，不允许停工待料；（2）若订货后，每天可到货30台机床的零部件，不允许停工待料；（3）不管每次订货多少，都可立即到货，允许停工待料，但缺料时未完成的任务，当到货后，可不占劳动日就能完成。解 由题设知 （1）这是成批到货，不许缺货的情况。目标函数为：，由（2）式得最优批量84.27，可取Q*=84台；由目标函数可得最佳费用E*266985元。（2）这是陆续到货，不许短缺的情况。目标函数为由（6）式得最优批量92.3，取Q*=92台；最佳费用E*243723元。下面，比较成批到货和陆续到货两种情况：成批到货陆续到货最优批量最大库存水平一年订购次数一年总费用Q=84N=18（实为17.85）E=266985Q=92Q=77N=17（实为16.3）E=243723显然，陆续到货总费用减少，这是因为一年订购次数减少且平均库存量减少。（3）这是成批到货，允许短缺的情况。目标函数由（9）式和（10）式可分别得到最优批量和最大缺货量：由此知，允许停工待料的情况，取，最佳费用E222487元。这种情况也比第一种情况节省存货总费用。 温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！