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1、图4-1受轴向载荷变截面轴 图4-2变截面轴的分解（2）假设三个节点的节点位移Ax1、Ax2：、Ax3，为基本未知量，并列出方程对于单元，其受力与变形的关系遵循虎克定律： （4-1）同样单元有： （4-2）两个方程三个未知数无法求解，原因在于未考虑边界条件。（3）引入边界条件求解方程边界条件： （4-3）三个方程三个未知数，求解方程组有：（4）用节点位移表示任意位置x处的位移单元中： 单元中：另外由各点位移可方便地求出相应的应变和应力。以上求解过程最值得注意的一点是，原结构由于它的不规则性，不方便直接用方程对其行为进行描述，为此，把原结构分成两个单元，而分完后的两个单元最突出的特征就是形状规则

2、，便于方程的描述。这正是有限单元法的核心思想之一：将复杂结构分解成形状简单、便于方程描述的规则单元，列出方程组并求解。以固体力学位移法为例，有限单元法（The Finite Element Method）就是用一个由有限个具有一定形状规则的、仅在节点相互连接、仅在节点处承受外载和约束的单元的组合体，来代替原来具有任意形状的、承受各种可能外载和约束的连续体或结构；然后对于每个单元、根据分块近似的思想，选择一个简单的函数来近似地表示其位移分量的分布舰律，并按弹塑性理论建立单元节点力和节点位移之间的关系；最后，把所有单元的这种特性关系集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解之可以求出原

3、有物体有限个点处位移的近似值，并可进一步求得其他物理参数（应力、应变等）的一种数值求解工程问题的方法。简单地说，有限单元法的基本思路可以用“一分一合”来概括：“分”：用有限个规则单元代替原来的各种各样的连续系统，并用近似方程对每个单元的行为（如节点力与节点位移的关系）加以描述。“合”：根据一定的规则，把关于单元的方程组合起来构成方程组，并引入外载及约束条件进行求解。4.1.2 有限单元法的特点及分类4.1.2.1有限单元法的优点A对于复杂几何形状的适应性有限单元法的基本思想是用规则单元来代替连续系统，物理对象几何形状的复杂性只会增加单元的个数，使求解规模变大，却不影响基本单元的复杂性。这使得有

4、限单元法的实际应用随计算机计算能力的增强而变得越来越不受对象几何形状的限制（图4-3）。B对于各种物理问题的可适用性有限单元法的应用是从线性结构的稳静态强度问题开始的，但是，由于它在理论上存在通用性，目前它可以解决几乎所有的连续介质和场的问题，包括热传导、电磁场、流体动力学、地质力学、原子工程和生物医学等各个方面，而且，对于具体物理场行为的适应性也大大加强，如材料各向异性，特征值问题，瞬态问题，屈曲问题，以及各种非线性问题如塑性、断裂、蠕变、接触、碰撞等（图4-4）。C适合计算机实现的高效性有限单元法的思想其实早在20世纪40年代就已经提出，但其实际应用却是在电子计算机出现以后才开始的，原因在

5、于，有限单元法需要借助矩阵算法才能求解方程组，计算工作量巨大，不是手工计算可以承受的。另一方面，有限单元法原理简单而通用，又正可以发挥计算机强大计算能力的优点，随着近年来计算机求解能力的飞速发展，有限单元法的高效性也日渐明显。4.1.2.2有限单元法分类在有限单元法的算式推导中并不一定要取节点位移为基本未知量，也可以取节点力为未知量。由于所取未知量的不同，有限单元法可以分为：位移法以节点位移作为基本未知量：力法以节点力作为基本未知量；混合法以一部分节点位移，一部分节点的力作为基本未知量。由于位移法的基本未知量为位移分量，比力法的基本未知量应力分量的数量少，使用经典力学的基本方程就可以求解，而且

6、位移法得出的方程组和计算程序也简单，故得到广泛应用。从公式推导方法来看，有限单元法也可以分为三类：直接法把各个单元的节点力与节点位移的关系式，按照一定的次序进行迭加，而求出整个物体的方程组的方法，称为直接法。这种方法比较直观，易于理解。但仅适用于求解比较简单的问题。直接刚度法就是其典型代表。变分法应用变分原理，把有限单元法归结为求泛函的极值问题。对于固体力学来讲，就是应用最小能量原理来求整个物体的方程组。变分原理的应用，使有限单元法建立在更加坚实的数学基础上，并扩大了其应用范围。加权余数法即迦辽金法。这种方法可以直接从基本微分方程导出有限元列式，而不需要利用泛函的概念。因此，对于不存在泛函的工

7、程领域也可采用，从而进一步扩大了有限单元法的应用范围。4.1.3有限元法在现代设计过程中的作用4.1.3.1应力和变形的计算，有利于提高产品的安全可靠性传统设计方法中，一般采用安全系数法来保证结构使用的安全性，这样做的原因有三个：设计时对象的真实载荷无法准确把握；由于问题的复杂性，传统设计解析法无法对给定载荷条件下的应力分布及水平进行准确计算；真实结构的材料物理性能可能跟设计计算值有出入。传统安全系数法的不足在于，一方面计算误差大，造成浪费；另一方面又不能确保安全。有限单元法的最初应用，主要解决的是给定载荷条件下求取结构的应力场及应力水平的问题。显然，有限元法的应用，一方面消除了设计过程中的一

8、个不确定环节，另一方面，在准确把握载荷与应力应变关系的基础上，又可以适当地采用小的安全系数来进行设计，从而有效降低成本。4.1.3.2产品性能与结构优化仿真分析，缩短新产品开发周期与研制费用一般地，新产品的开发过程，都有样机试制及样机性能实验环节，而且需要进行多次试制才能找到最佳方案。而采用有限单元法进行产品性能、结构优化仿真研究并与物理仿真相结合的方法则可有效减少性能测试样品的数量以及方案寻优的次数，从而有效缩短新产品开发周期与研制费用。如汽车的碰撞性能模拟等。4.1.3.3工程问题的理论性研究，为产品的设计与产品使用提供理论依据有限单元法适用于各种物理问题仿真的强大功能，使其成为到目前为止

9、工程问题理论研究最强大的工具之一，也是现代设计过程及产品使用获得理论依据的最重要的手段之一。例如，轧钢过程的仿真研究（图4-5），一方面是轧机设计过程载荷及工艺参数确定的基础，另一方面又是设备运行的工艺参数优化的基础。4.1.4有限单元法的发展历史与前沿技术4.1.4.1有限单元法的发展历史运用固体力学理论（包括结构力学、弹性力学、塑性力学等）对结构进行强度和刚度分析，是工程设计的重要内容之一。随着科学技术的进步和生产的发展，工程结构的几何形状和载荷情况日益复杂，加上新材料不断出现，使得寻找结构分析的解析解十分困难，甚至不可能。因此，人们转向寻求它的近似解。图4-5 H型钢轧制过程仿真分析19

10、08年，里兹（WRitz）提出一种近做解法，具有重要意义。它利用带未知量的试探函数将势能泛函近似，对每一个未知量求势能泛函的极小值，得到求解未知量的方程组。里兹法大大促进了弹性力学在工程中的应用。里兹法的限制是试探函数必须满足边界条件。对于几何形状比较复杂的结构来说，寻找满足整个边界条件的试探函数也非易事。1943年，库兰特（RCourant）对里兹法作了极重要的推广。他在求解扭转问题时，将整个截面划分成若干个三角形区域。假设翘曲函数在各个三角形区域内近似线性分布，从而克服了以前里兹法要求整个近似函数满足全部边界条件的困难。库兰特这样应用里兹法与有限单元法的初期思想是一致的。但是这种近似解法要

11、进行大量数值计算，在当时还是个难题，因此未能得到发展。在1946年电子计算机诞生以后，首先采用它来进行数值计算的是杆系结构力学。其理论依据是由结构力学位移法和力法演变成的矩阵位移法和矩阵力法，统称结构矩阵法。它采用矩阵代数运算，不仅能使算式书写简明，而且编制计算机程序非常方便。结构矩阵法的力学概念清楚，全部理论公式按结构力学观点讲都是准确的。仅在数值运算过程中，由于计算机实数存贮位数有限，造成舍人误差。1956年，特纳（MJTurner）、克劳夫（RWClough）、马丁（HCMartin）和托普（LJTopp）在纽约举行的航空学会年会上介绍一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题

12、。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。同期，阿吉里斯（JHArgyris）在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文（19541955年），他将弹性结构的基本能量原理作了概括、推广并予以统一，发展了矩阵方法，还导出由平面应力板和四个边缘件组成的矩形板格的单元刚度矩阵。他们对连续体有限单元法的形成做了开创性工作。1960年克劳夫在论文“平面应力分析的有限单元法”中首次提出有限单元法这一术语。有限单元法开始成为连续体离散化的一种标准研究法。在有限单元法的初期发展阶段，人们是从直观概念出发进行探索，缺乏足够的理论基础

13、，解决实际问题的范围比较窄，而且有时用得并不成功。大概在1963年前后，经过贝塞林（JFBesseling，1963）、梅荣歇（RJMel。sh，1963）、约内士（REJones，1964）、格拉菲尔（RHGallagher，1964）、卞学璜（THHPian，1964）、维别克（BFraeijs d. Veubeke，1964）等许多人的工作，认识到有限单元法就是变分原理里兹近似法的一种变态，发展了用各种不同变化原理导出的有限单元计算公式。1965年，监凯维奇（0CZienkiewicz）和张佑启（YKCheung）在求解拉普拉斯和泊松方程时发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用和固

14、体力学有限单元法的同样步骤求解。然而有限单元法的公式不一定要求建立在变分原理的基础上。1969年，斯查白（BASzabo）和李（GCLee）指出可以用加权余量法特别是迦辽金（Calerkin）法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。由于人们可以自觉地依据各种变分原理建立有限单元法的算式，各种结构分析用的单元模式纷纷出现。与此同时，有限单元法的数学基础受到很大重视。求解大型线性方程组的数值方法和特征值问题的解法得到发展，子结构技术和模态综合技术得到采用，有限单元法的收敛性和误差分析也开始得到研究。随着计算机功能日益增强和有限单元法显示出解决工程实际问题的巨大威力，许多高等学校、研究机构和软件公

15、司得到各工业部门（如航空、宇航、建筑、造船、汽车、石油等）的大量资助，陆续研制出各种通用有限元程序，进一步推动有限单元法的理论研究和实际应用。这些有限元通用软件一般采用FORTRAN语言编写，规模从几万条到几十万条语句，由几百到几千个子程序组成，数据文件结构和数据传递方式都较复杂，研制周期达几年，程序功能非常强。例如，可以对飞机、汽车、船舶整体结构进行静动力分析和稳定性分析，并考虑温度影响。可以对海洋平台整体进行大变形非线性分析。这些有限元通用软件大都带有前后处理程序包，能够自动剖分单元网格，显示和绘制网格结构图、变形图和应力图。这些功能使有限单元计算前的数据准备和查错、计算后的数据处理比较方

16、便。随着有限单元法理论基础研究的深入，计算机技术的发展及通用程序的研究、开发，有限单元法已经日益成熟、应用范围也不断扩大：（1）由弹性力学平面问题扩展到空间问题和板壳问题。可对拱坝、涡轮叶片、飞机、船体、冶金机械等复杂结构进行应力分析。（2）由平衡问题扩展到稳定性问题与动力问题。可对结构在地震力与波浪力作用下的动力响应进行分析。（3）由弹性问题扩展到弹塑性与黏弹性问题，土为学与岩石力学问题、疲劳与脆性断裂问题。（4）由结构计算问题扩展到结构优化设计问题。（5）由固体力学扩展到流体力学、渗流与固结理论、热传导与热应力问题、磁场问题（例如感应电动机的磁场分析）以及建筑声学与噪声问题。（6）由工程力

17、学扩展到力学的其他领域，例如冰川与地质力学、血管与眼球力学等。从20世纪50年代开始，我国力学工作者就对结构分析的近似计算方法很重视，为有限单元法的初期发展做出很多贡献，其中著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法）、钱令希（余能原理）、钱伟长（广义变分原理）、胡海昌（广义变分原理）、冯康（有限单元法理论）等。60年代中后期，我国的研究工作受到阻碍。70年代初期各单位根据工作的需要陆续编制过一些中小型有限元程序。1976年以后有限单元法的学习、使用和研究工作得到迅速发展。不少单位组织力量编制大中型通用有限元程序。著名的大型程序有：JICFEX（结构分析程序，大连工学院工程力学研究所）和HAJIF -I、

18、（航空结构静力、动力、非线性分析程序系统，航空工业部623研究所等）。1979年后我国从国外引进各种大中型通用程序，如SAP5、SAP6、SAP7、NONSAP、NFAP，ADINA、ASKA、MARC、ANSYS、ABAQUS、FEAP等，经过消化、推广和应用，在国家的经济建设中已经发挥很大作用。有的经过改进提高后，形成新的功能更强的通用程序，如LISA程序、CAD程序系统、SAP5和SAP6微机程序、SAP84微机程序等。现在国内外学术交流频繁，各种先进的电子计算机比较普及，我国的有限单元法理论研究和结构分析程序研制应用正处于蓬勃发展的新时期。4.1.4.2有限元技术的发展趋势由于有限单元

19、法的科学性、实用性，其使用范围的不断扩大、使用群体日益普及，处理对象也不断增加，这就要求其软件功能、运行性能等不断提高以适应科学技术的发展及用户高效、精准、便利的使用要求。总的来说有限元分析软件正朝集成化、网络化和智能化方向发展。主要表现在如下几个方面。A分析功能不断丰富有限单元法原来主要用于单个对象单一物理问题的研究分析，现已能进行可变形体与多体耦合分析、多相多态介质耦合分析、多物理场耦合分析、多尺度耦合分析、集仿真与优化于一体的从材料设计到工程产品设计系统研究及微机电系统分析等。（1）可变形体系与多体耦合分析形体变化与荷载并发状态下可变形体系的动力与振动分析。例如，卫星天线、机器人、起落架

20、等。多体耦合状态下的静力、动力与振动分析：多体接触分析，多体耦合动力分析与多体耦合振动分析。例如，车辆与路轨，车辆与桥梁等。（2）多相多态介质耦合与多物理场耦合分析复杂的工程产品大都是处在多物理场与多相多态介质非线性耦合状态下工作，其行为绝非是多个单一问题的简单迭加。它涉及多物理场（力场、渗流场、温度场、电磁场等）非线性耦合分析和多相与多态（液、固、气）介质耦合分析等。 （3）多尺度耦合分析从基本材料的组分与构造到复合材料，从复合材料做成构件，再由构件装配成工程产品，存在着从微观、介观到宏观的多尺度现象；不同的尺度服从于不同的物理、力学模型；通过对宏观模型的细分，不能导致介观和微观模型；相反，

21、通过微观和介观模型的无限迭加，也难导致宏观模型。困此，在工程产品的精细分析中，客观地会遇到多尺度模型的耦合问题。目前的CAE软件，都是仅限于宏观物理、力学模型的工程产品分析。 （4）多重强耦合对于多物理场的强耦合问题、多相多态介质耦合问题，特别是多尺度耦合问题，目前还没有成熟可靠的理论，尚处于基础性前沿研究，它们已经成为国内外科学家主攻的目标。由于其强烈的工业背景，基础研究的任何突破，都会被迅速纳入CAE软件，以支持新兴工程工业产品的技术创新。 （5）从材料设计到工程产品设计、集仿真、优化于一体的CAE系统随着计算材料科学的发展，不远的将来，计算机辅助于材料设计将会纳入CAE软件，实现从材料性

22、能的预测、仿真，到构件与整个产品的设计、性能预测、系统仿真，形成集计算机辅助于材料设计、制备，到工程或产品的设计、仿真、优化于一体的新一代CAE系统。 （6）微机电系统分析随着多物理场、多相多态介质耦合理论与亚微米、纳米科学的发展，以及微机电系统开发的强烈需求，专门用于微机电系统设计计算和系统仿真的CAE软件正在开发，不久将会问世。B性能不断增强（1）适应于超级计算机和机群并行计算的CAE系统 每秒千万亿次的计算机与机群系统的诞生为提高有限单元软件的性能提供了物质基础，适应这些大规模并行计算平台的新型高精度和高效率算法正迅速发展。新一代的CAE系统将能够解算上千万阶方程组，能够实现对复杂工程产

23、品的实时三维仿真。（2）基于网格计算的CAE系统 互联网已经将千万台各类计算机连接在一起，人们正在开发将互联网上所有计算机硬件、软件、数据库以及连接的实验设备统一和有效使用的网格计算技术。随着这一技术的成熟，将会出现基于网格计算的CAE系统。（3）基于互联网的集成化与支持协同工作的CAE系统 随着分布式对象集成技术和网格计算技术的发展，大型工程和复杂产品开发中实施并行工程，以及研究集团的联合攻关，未来的用户将不再需要单一的CAD、CAE、CAM、CAPP、PDM和ERP产品，它们需要基于互联网（ JAVA）的、具有行业特色的、集成化与支持协同工作的套装系统。（4）基于互联网的集成化与支持协同工

24、作的CAE系统大型工程和复杂产品，例如发电厂、化工厂、飞机、轮船及机车车辆等，它们由数万到数百万个构件和数以千计的设备组成，其设计、分析、安装模拟和运行过程仿真，都要涉及数个到数十个专业领域的专业技术人员。因此，基于Internet和Grid computing的异地、异构系统下的计算分析，实现对大型工程复杂产品的全面分析和运行仿真，将成为CAE的另一个重要发展方向。C 最新软件技术得到应用（1）真三维图形处理与虚拟现实随着DSP芯片的发展，计算机图形处理能力近年来有了上百倍的提高，再加上三维图形算法、图形运算和参数化建模的发展，快速真三维的虚拟现实技术已经成熟。因此，CAE软件的三维实体建模

25、，复杂的静态、动态物理场的虚拟现实技术亦得到快速发展。（2）基于Internet和Grid computing的面向对象的I程数据库管理系统及工程数据库高性能价格比的大容量的存贮器及其高速存取技术在迅速发展，PC机的硬盘容量很快将由GB达到TB量级。用户将要求把更多的计算模型、设计方案、标准规范和知识性信息纳入CAE软件的数据库中。Internet和Grid computing环境下的数据库管理系统，必须能够管理多用户并发存取的、与时间空间相关的、大量非结构化的、各种类型的数据。高性能的、基于网格环境的、面向对象的工程数据库管理系统将会出现在新一代的CAE软件中。Internet和Grid c

26、omputing环境下的数据库管理系统应该具有关系型数据库，面向对象数据库及其管理技术的优点，支持抽象数据模型定义，分布式、异构、虚拟计算环境与多用户并发I/O状态下的数据管理，Internet和Grid computing环境下的高级存储与查询语言，访问权限与数据所有权的保护，异构数据库的时空一致性和有效性检验，系统异常状态下的数据一致性恢复等。D用户界面更加友好（1）多媒体用户界面计算机图形技术正在迅猛发展，狭义的语音输入输出已成现实，计算机视觉系统已能在一定范围内分析体态、眼神和手势，隐含信息请求的数据发掘技木也已冒泡，会听、看、说、写和学习的计算机即将问世，这些多媒体技术一定会使未来C

27、AE软件的用户界面具有更强的直观、直感和直觉性，给用户带来极大便利。（2）智能化用户界面CAE软件是一个多学科交叉的、综合性的知识密集型产品，它由数百到数千个算法模块组成，其数据库存放着众多的设计方案、标准构件，行业性的标准、规范，以及判定设计和计算结果正确与否的知识性规则。怎么使用软件，怎么判定计算结果，支持用户有效地使用这些软件的专家系统，将成为用户界面的重要组成部分。E集成化、专业化与属地化随着实施并行工程，加入WTO和互联网的发展，科研人员和中、小企业用户将不再需要单一的CAD、CAE、CAM、PDM产品。他们需要具有专业特色的、集成化的套装支持系统。满足专业化属地用户的需求，即国外C

28、AD/CAE/CAM/PDM软件中国化，以及中国出口软件的属地化，应该成为CAE软件开发商的经营之道。4.1.4.3有限元法的前沿技术有限单元法发展要依靠基础科学的突破、工程技术进步和计算机技术的发展。就目前来讲，上述发展趋势中，最为突出和重要的集中表现为如下几项核心技术：（1）协同与集成技术随着CAX技术的发展，作为其中一部分的CAE程序，必须不断发展与其他模块的协同。同时，多场耦合的问题越来越多地出现，要求CAE程序必须有强大的耦合功能。主要包括：CAE贯穿于产品整个设计开发流程；多种CAD、CAE或其他信息管理系统之间的整合。在这些技术中最重要最关键的是与CAD软件的无缝集成。当今有限元

29、分析软件的一个最大发展趋势就是与通用CAD软件的集成使用，即在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，能直接将模型传送到CAE软件中进行有限元网格划分并进行分析计算，如果分析的结果不满足设计要求则重新进行设计和分析，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。为了满足工程炳快捷地解决复杂工程问题的要求，许多商业化有限元分析软件都开发了和著名的CAD软件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。有些CAE软件为了实现和CAD软件的无缝集成而采用了CAD的建模技术，如ADINA软件由于采

30、用了基于Parasolid内核的实体建模技术，能和以Parasolid为核心的CAD软件（如Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks）实现真正无缝的双向数据交换。另外，多种企业数据和信息的整合、交换和共享；整个设计研发过程中不同人员与业务的协同；设计与仿真数据共享和协同，设计优化技术的融合等，也是有限元分析软件发展上的重点。（2）复杂非线性问题的求解技术随着科学技术的发展，线性理论已经远远不能满足设计的要求，许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能解决，必须进行非线性分析求解，例如薄板成形就要求同时考虑结构的大位移、大应变（几何非线性）和塑性（材料非线性）；而对塑料、橡胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析或需考虑材料的塑性、蠕变效应时则必须考虑材料非线性。众所周知，非线性问题的求解是很复杂的，它不仅涉及到很多专门的数学问题，还必须掌握一定的理论知识和求