5-期权定价.ppt

1、5 期权定价期权定价 记记一一只只证证券券 期期的的支支付付为为 期期的的价价格格为为 S 。【定义定义定义定义5.15.1】欧式看涨（欧式看涨（European call）（看跌看跌（put）期权给予期权购买者在未来某一给定日期、期权给予期权购买者在未来某一给定日期、以某一确定价格以某一确定价格 K 从（向）期权出售者处买入（卖出）从（向）期权出售者处买入（卖出）单位股票的权利。单位股票的权利。5.1 5.1 期权期权 期权购买者可以执行其权利的日期叫做期权购买者可以执行其权利的日期叫做到期日到期日到期日到期日（maturity date），），K 叫做叫做执行价格执行价格执行价格执行价格（

2、exercise price）。）。期权赋予购买者以买入（对于看涨期权）或卖期权赋予购买者以买入（对于看涨期权）或卖出（对于看跌期权）证券的权利，这里证券的叫做出（对于看跌期权）证券的权利，这里证券的叫做标的证券标的证券标的证券标的证券（underlying security）。）。:为欧式看涨期权为欧式看涨期权 期的支付，期的支付，:欧式看跌期权欧式看跌期权 期的支付。期的支付。我们有我们有 （5.1）这里这里 。KXSS-KOKXSK-SO 看涨期权看涨期权 看跌期权看跌期权图图图图 5.1 5.1 欧式期权的支付与欧式期权的支付与欧式期权的支付与欧式期权的支付与标的资产价格标的资产价格标

3、的资产价格标的资产价格 【定义定义定义定义5.25.2】执行价为执行价为 K、到期日为、到期日为 t 的美式的美式看涨看涨看涨看涨（跌）期权（跌）期权（跌）期权（跌）期权赋予期权购买者在到期日前任一日期（包赋予期权购买者在到期日前任一日期（包括到期日）、以某一确定价格括到期日）、以某一确定价格 K 从（向）期权出售者从（向）期权出售者处买入（卖出）单位股票的权利。处买入（卖出）单位股票的权利。:欧式看涨期权欧式看涨期权 期的价格，期的价格，:欧式看跌期权欧式看跌期权 期的价格；期的价格；:相应的美式期权的价格。相应的美式期权的价格。5.2 期权价格的性质和界期权价格的性质和界【定理定理定理定理

4、5.15.1】和和 是非负的。是非负的。【定理定理定理定理5.25.2】对对 K 非增，非增，对对 K 非减。非减。【证明证明证明证明】。因此，。因此，由无套利原理有由无套利原理有 （见定理（见定理4.5）。）。【定理定理定理定理5.35.3】与与 是是 K 的凸函数。的凸函数。不失一般性，设不失一般性，设 同号时，等同号时，等式成立；异号时不等式严格成立。即式成立；异号时不等式严格成立。即 是是 K 的凸的凸函数。同理可证函数。同理可证 也是也是 K 的凸函数。的凸函数。由由 是线性算子可知，是线性算子可知，也是也是 K 的凸函数。的凸函数。【证明证明证明证明】以及以及 【定定定定理理理理5

5、.45.4】记记 为为由由 N 只只证证券券组组成成的的组组合合，价格向量为价格向量为 以及执行价格向量为以及执行价格向量为 。那么。那么因此，以组合资产为标的的期权价值要小于以组合中因此，以组合资产为标的的期权价值要小于以组合中的单个证券为标的资产的相应期权的组合的价值。的单个证券为标的资产的相应期权的组合的价值。这这里里，不不等等式式来来自自于于支支付付函函数数的的凸凸性性。因因为为不不等等式式的的右右边边恰恰好好就就是是期期权权组组合合的的支支付付，由由无无套套利利原原理理得得知定理成立。知定理成立。【证明证明证明证明】以组合为标的资产的期权的支付为：以组合为标的资产的期权的支付为：【证

6、明证明证明证明】首先，首先，如，如图图5.2所示。所示。而而 。由无套利原理，由无套利原理，。【定理定理定理定理5.55.5】。图图图图5.25.2 欧式期权的价格上限欧式期权的价格上限欧式期权的价格上限欧式期权的价格上限 XKO 【定定定定理理理理5.65.6】如如果果存存在在无无风风险险证证券券，收收益益率率为为 ，那么那么 【证证证证明明明明】考考虑虑这这样样一一个个组组合合，买买入入一一份份股股票票同同时时卖卖空空 K 份无风险证券。其现值为份无风险证券。其现值为 。它它 在在 1 1 期期 的的 支支 付付 为为 。因因 为为 ，如，如图图5.3所示，所以所示，所以并且我们知道并且我

7、们知道 。综合这两个结果可以得到。综合这两个结果可以得到 。XKXO图图5.3 欧式期权的价格下限欧式期权的价格下限 欧式看涨期权价格的上界和下界：欧式看涨期权价格的上界和下界：（5.2）【定理定理定理定理5.75.75.75.7】（Put-Call Parity）如果存在无风险证券且利率为如果存在无风险证券且利率为 ，那么，那么 【证明证明证明证明】考虑如下的两个组合：考虑如下的两个组合：买入买入 l 份执行价格为份执行价格为 K 的看涨期权和的看涨期权和 K 份无份无风险证券；风险证券；买入买入 l 份执行价格为份执行价格为 K 的看跌期权和的看跌期权和 l 份股票。份股票。让我们来比较它

8、们在让我们来比较它们在 l 期的支付：期的支付：显然，组合显然，组合1和组合和组合2在在1期的支付完全一样。因此，期的支付完全一样。因此，它们在今天的成本也一定相等，即（它们在今天的成本也一定相等，即（5.3）式成立。）式成立。组合1 组合25.3 美式期权以及提前执行美式期权以及提前执行 对于美式期权来说，提前执行（对于美式期权来说，提前执行（early exercise）只是）只是权利而非义务。美式期权的价格永远不会低于相应的欧式权利而非义务。美式期权的价格永远不会低于相应的欧式期权的价格。这也就是说，期权的价格。这也就是说，（5.4）如果提前执行可能发生的话，那么不等式严格成立。如果提前

9、执行可能发生的话，那么不等式严格成立。提提前前执执行行在在看看涨涨期期权权和和看看跌跌期期权权之之间间有有很很大大差差异异，下面分别处理。下面分别处理。考虑看涨期权考虑看涨期权考虑看涨期权考虑看涨期权 没有股利时，美式看涨期权将不会提前执行没有股利时，美式看涨期权将不会提前执行没有股利时，美式看涨期权将不会提前执行没有股利时，美式看涨期权将不会提前执行。注意到提前执行所得到的注意到提前执行所得到的支付支付支付支付为为 。但是，。但是，A A 无股利时的提前行权无股利时的提前行权无股利时的提前行权无股利时的提前行权 即提前执行看涨期权所得到的价值不会高于把它即提前执行看涨期权所得到的价值不会高于

10、把它当作欧式看涨期权卖出所得到的价值当作欧式看涨期权卖出所得到的价值 。因为在某些状态下严格不等式成立，因此提前执因为在某些状态下严格不等式成立，因此提前执行是次优的。行是次优的。有两个因素决定提前执行的成本：有两个因素决定提前执行的成本：有两个因素决定提前执行的成本：有两个因素决定提前执行的成本：货币的时间价值货币的时间价值 如果提前执行，就得立即支付执行价格而不是等到如果提前执行，就得立即支付执行价格而不是等到以后。当利率大于以后。当利率大于 0 时，同样的付出越晚越好。这就是时，同样的付出越晚越好。这就是上式中的第一个不等式所反映的。上式中的第一个不等式所反映的。考虑如下的行权策略：到期

11、日时无论股票价格如何考虑如下的行权策略：到期日时无论股票价格如何都执行期权。这样所得到的支付为都执行期权。这样所得到的支付为 ，即付出，即付出 K 而得到而得到 ，它的现值是，它的现值是 。这显然优于立即执行所带来的价值，因为执行价格这显然优于立即执行所带来的价值，因为执行价格是在到期日支付而不是现在。是在到期日支付而不是现在。如果在到期日、当如果在到期日、当 低于低于 K 时可以选择不执行，时可以选择不执行，那么所带来的支付那么所带来的支付 显然优于无论如何都执行所显然优于无论如何都执行所带来的支付带来的支付 。这就是上式中第。这就是上式中第 2 个不等式的来个不等式的来源。源。上述两个因素

12、给出了提前执行的代价。因此如果没上述两个因素给出了提前执行的代价。因此如果没有股利，美式看涨期权将不会提前执行。有股利，美式看涨期权将不会提前执行。在到期日不执行的权利在到期日不执行的权利在到期日不执行的权利在到期日不执行的权利 美式看跌期权的情形美式看跌期权的情形美式看跌期权的情形美式看跌期权的情形 没有股利，提前执行美式看跌期权可能是最优的。没有股利，提前执行美式看跌期权可能是最优的。提前执行的成本是放弃了对支付有了更多了解后可能选提前执行的成本是放弃了对支付有了更多了解后可能选择不执行的权利；而提前执行的收益是执行价格的时间择不执行的权利；而提前执行的收益是执行价格的时间价值。如果提前执

13、行期权，持有者现在就可以得到执行价值。如果提前执行期权，持有者现在就可以得到执行价格而不是在将来。我们注意到：价格而不是在将来。我们注意到：如果如果 ，则提前执行是，则提前执行是最优的。即当最优的。即当 时应提前执行。当时应提前执行。当 时（这时时（这时 很小），即看跌期权深度实值（内在很小），即看跌期权深度实值（内在价值远大于零）时，上述不等式成立。价值远大于零）时，上述不等式成立。B B 有股利时的提前执行有股利时的提前执行有股利时的提前执行有股利时的提前执行 假假设设股股票票在在 期期时时支支付付股股利利 D ，记记 S 为为发发放放股股利利后后的的股股价价。美美美美式式式式看看看看涨涨

14、涨涨期期期期权权权权的的持持有有者者在在 期期有两个选择：有两个选择：支支付付 K 执执行行期期权权，获获得得股股利利后后马马上上抛抛出出股股票票，得到总额为得到总额为 的支付，或者的支付，或者 持有期权直至到期日持有期权直至到期日 期期很明显，在最优执行策略下：很明显，在最优执行策略下：其中，其中，是发放股利前美式看涨期权的价值。是发放股利前美式看涨期权的价值。对于对于看跌期权看跌期权看跌期权看跌期权有：有：由（由（5.4）式，我们有）式，我们有 和和 因此，对于美式期权来说，股利促使持有者因此，对于美式期权来说，股利促使持有者提提提提前执行看涨期权、推迟执行看跌期权前执行看涨期权、推迟执行

15、看跌期权前执行看涨期权、推迟执行看跌期权前执行看涨期权、推迟执行看跌期权。在在有有有有股股股股利利利利时时，看看涨涨期期权权和和看看跌跌期期权权之之间间的的平平价价关关系系也也会受到影响。会受到影响。考虑如下两个组合：考虑如下两个组合：买入买入 1 份执行价格为份执行价格为 K 的看涨期权和现值的看涨期权和现值 为为 的无风险证券，的无风险证券，买入买入 1 份执行价格为份执行价格为 K 的看跌期权和的看跌期权和 1 份股票。份股票。比较它们在比较它们在 l 期的支付：期的支付：组合1 组合2 显显然然，组组合合 1 和和组组合合 2 在在 l 期期的的支支付付完完全全相相同同。因因此此，它它

16、们们在在今今天天的的成成本本一一定定相相等等，即即如如果果有有股股利利，欧式看涨期权和看跌期权之间的平价关系变为欧式看涨期权和看跌期权之间的平价关系变为 5.4 完全市场中的期权定价完全市场中的期权定价 如如果果证证券券市市场场是是完完全全的的，那那么么存存在在唯唯一一的的状状态态价价格格向量：向量：。记记 为标的资产在状态为标的资产在状态 时的支付。那么时的支付。那么 这里，这里，Q 是风险中性测度。是风险中性测度。记记 S 为股票现在的价格。二叉树过程假设下期股价为股票现在的价格。二叉树过程假设下期股价有两个可能：有有两个可能：有 p 的概率上升到的概率上升到 ，有，有 1-p 的概率的概率下降到下降到 。不失一般性，我们假设不失一般性，我们假设 。我们可以用下面的。我们可以用下面的二叉树来表示这样的股价过程：二叉树来表示这样的股价过程：SuS,概率为pdS,概率为1p例子：例子：例子：例子：股票价格的二叉树股票价格的二叉树股票价格的二叉树股票价格的二叉树过程过程过程过程 假假设设证证券券市市场场中中存存在在无无风风险险证证券券，利利率率是是 。令令它它在在 1 期期的的支支付付为