高考数学一轮复习几何证明选讲1相似三角形的判定及有关性质课时提升作业理选修Word格式.docx

1、又因为ECB=DEC=ADE,BEC=EAD,所以BECEAD,所以ECAD=BCED.所以SDCESADE=SBCESCDE,于是SCDE=.3.（xx大同模拟）如图,在ABC中,ABAC,点D为BC的中点,DEBC交AC于点F,交BA的延长线于点E.求证:AD2=DEDF.【证明】因为ABAC,点D为BC的中点,所以AD=BC=DC,所以2=C.因为ABAC,DEBC,所以C+B=90,E+B=90.所以C=E,所以2=E.又因为1=1,所以DAEDFA.所以=,即AD2=DE【加固训练】如图,在ABC中,ABAC,ADBC,E为AC的中点,ED延长线交AB延长线于点F.ABAF=AC【证

2、明】因为ABAC,ADBC,所以ABDCAD,所以=,1=C.因为E是AC的中点,所以DE=AC=EC,所以C=2.因为2=3,所以1=3.又因为F=F,所以FBDFDA,所以=,所以=,即AB4.（xx唐山模拟）如图,在ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线上一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE,CF.AF=CE.（2）若AC=EF,试判断四边形AFCE是什么样的四边形,并证明你的结论.（1）在ADF和CDE中,因为AFBE,所以FAD=ECD.又因为D是AC的中点,所以AD=CD.因为ADF=CDE,所以ADFCDE,所以AF=CE.（2）若AC=EF,则四

3、边形AFCE是矩形.由（1）知AFCE,所以四边形AFCE是平行四边形.又因为AC=EF,所以四边形AFCE是矩形.【加固训练】如图,在ABC中,点D是AC的中点,点E是BC延长线上一点,过A作AHBE.连接ED并延长交AB于点F,交AH于点H.如果AB=4AF,EH=8,求DF的长.【解析】因为AHBE,所以=.因为AB=4AF,所以=.因为HE=8,所以HF=2.因为AHBE,所以=.因为D是AC的中点,所以=1.因为HE=HD+DE=8,所以HD=4,所以DF=HD-HF=4-2=2.5.已知,如图,在矩形ABCD中,点G为BC延长线上一点,连接DG,过点B作BHDG于点H,且GH=DH

4、,点E,F分别在AB,BC上,且EFDG.（1）若AD=3,CG=2,求DG的长.（2）若GF=AD+BF,求证:EF=DG.（1）在BHG与DCG中,因为BGH=DGC,BHDG,DCBG,所以BHGDCG,所以=,因为AD=3,CG=2,所以BG=5,因为GH=DH,即=,所以DG=2,即DG的长为2.（2）因为GF=AD+BF,所以FC+GC=BF+FC+BF,即GC=2BF,因为EFDG,所以BFE=CGD,所以RtBEFRtCDG,所以EFDG=BFGC=12,所以EF=DG.【加固训练】如图,在正方形ABCD中,点E为AB的中点,BFCE于点F,求SBFCS正方形ABCD的值.【解

5、析】设正方形ABCD的边长为2a,因为E是AB的中点,所以BE=a,所以CE=a,因为BFCE,所以EBC=BFC=90,因为ECB=BCF,所以BCFECB.因为BCEC=2.所以SBFCSEBC=45.因为S正方形ABCD=4SEBC,所以SBFCS正方形ABCD=15.6.如图,点C,D在线段AB上,且PCD是等边三角形.（1）当AC,CD,DB满足怎样的关系时,ACPPDB.（2）当PDBACP时,试求APB的度数.（1）当CD2=ACDB时,ACPPDB,因为PCD是等边三角形,所以PCD=PDC=60所以ACP=PDB=120若CD2=ACDB,由PC=PD=CD可得PCPD=AC

6、即=,则根据相似三角形的判定定理得ACPPDB.（2）当ACPPDB时,APC=PBD.因为PDB=120,所以DPB+DBP=60所以APC+BPD=60所以APB=CPD+APC+BPD=120即APB的度数为120【加固训练】1.如图所示,在平行四边形ABCD中,点E是CD的延长线上一点,DE=CD,BE与AD交于点F.ABFCEB.（2）若DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.（1）因为四边形ABCD是平行四边形,所以BAF=BCD,因为ABCD,所以ABF=CEB,所以ABFCEB.（2）因为四边形ABCD是平行四边形,所以ADBC,ABCD,所以DEFCEB,DEFABF.

7、所以=,=.又DE=CD=AB,所以CE=DE+CD=DE+2DE=3DE.所以=,=.因为SDEF=2,所以SCEB=18,SABF=8.所以平行四边形ABCD的面积S=SABF+SCEB-SDEF=8+18-2=24.2.如图,在梯形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,EFAD,假设EF做上下平行移动.（1）若=,求证:3EF=BC+2AD.（2）若=,试判断EF与BC,AD之间的关系,并说明理由.（3）请你探究一般结论,即若=,那么你可以得到什么结论?【解析】过点A作AHCD分别交EF,BC于点G,H.（1）因为=,又EGBH,所以=,即3EG=BH.又EG+GF=EG+AD=EF,

8、从而EF=（BC-HC）+AD,所以EF=BC+AD,即3EF=BC+2AD.（2）EF与BC,AD的关系式为5EF=2BC+3AD,理由和（1）类似.（3）因为=,所以=.又EGBH,所以=,即EG=BH.所以EF=EG+GF=EG+AD=（BC-AD）+AD,即（m+n）EF=mBC+nAD.2019-2020年高考数学一轮复习几何证明选讲2直线与圆的位置关系课时提升作业理选修1.（xx开封模拟）如图,AB是O的直径,弦CA,BD的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F,连接FD.求证:（1）DEA=DFA.（2）AB2=BEBD-AEAC.【证明】（1）连接AD,因为AB为圆的直径

9、,所以ADB=90又EFAB,AFE=90则A,D,E,F四点共圆,所以DEA=DFA.（2）连接BC.由（1）知ADBEFB,即BDBE=BABF,又ABCAEF,AF=AEAC,所以BEAC=BABF-ABAF=AB（BF-AF）=AB2.【加固训练】（xx广东高考改编）如图,AB为圆O的直径,点E为AB的延长线上一点,过点E作圆O的切线,切点为点C,过点A作直线EC的垂线,垂足为点D.若AB=4,CE=2,求AD的长度.【解析】连接C,则CDE,因为ADDE,所以CAD,由切割线定理得:CE2=BEAE,所以BE=12,即BE2+4BE-12=0,解得: BE=2或BE=-6（舍去）,所

10、以AD=3.安阳模拟）如图,直线PQ与O相切于点A,AB是O的弦,PAB的平分线AC交O于点C,连接CB,并延长与直线PQ相交于点Q,若AQ=6,AC=5.QC2-QA2=BCQC.（2）求弦AB的长.（1）因为PQ与O相切于点A,由切割线定理得:QA2=QBQC=（QC-BC）QC,所以QC2-QA2=BC（2）由（1）可知,QA2=QBQC=（QC-BC）QC.因为PQ与O相切于点A,所以PAC=CBA,因为PAC=BAC,所以BAC=CBA.所以AC=BC=5,又知AQ=6,所以QC=9.由QAB=ACQ知QABQCA,所以AB=.临汾模拟）如图,CF是ABC边AB上的高,FPBC,FQ

11、AC.（1）证明:A,B,P,Q四点共圆.（2）若CQ=4,AQ=1,PF=,求CB的长.（1）连接QP,由已知C,P,F,Q四点共圆,所以QCF=QPF.因为A+QCF=CPQ+QPF=90所以A=CPQ.则四点A,B,P,Q共圆.（2）CF2=CQCA=45=20,在RtCPF中,CP=,又CPCB=CF2,所以CB=6.遵义模拟）如图,在正ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F,连接DE.A,E,F,D四点共圆.（2）若正ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.（1）因为AE=AB,所以BE=AB.因为在正ABC中,AD=AC,所以

12、AD=BE.又因为AB=BC,BAD=CBE,所以BADCBE,所以ADB=BEC.即ADF+AEF=,所以A,E,F,D四点共圆.（2）如图,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE.因为AE=AB,所以AG=GE=AB=.因为AD=AC=,DAE=60所以AGD为正三角形,所以GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=.所以点G是AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.保定模拟）如图所示,已知O1与O2相交于A,B两点,过点A作O1的切线交O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交O1,O2于点D,E,DE与AC相交于点P.ADE

13、C.（2）若AD是O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.（1）连接AB,因为AC是O1的切线,所以BAC=D,又因为BAC=E,所以D=E,所以ADEC.（2）因为PA是O1的切线,PD是O1的割线,所以PA2=PBPD,所以62=PB（PB+9）,所以PB=3,在O2中由相交弦定理,得PAPC=BPPE,所以PE=4.因为AD是O2的切线,DE是O2的割线,所以AD2=DBDE=916,所以AD=12.【加固训练】如图,AB是圆O的直径,且AB=6,CD是弦,BA,CD的延长线交于点P,PA=4,PD=5,求COD的大小.【解析】由割线定理得,PAPB=PC因为PA=4,P

14、D=5,所以410=5PC,所以PC=8,所以CD=8-5=3,所以CDO是等边三角形,所以COD=605.（xx郑州模拟）如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.（1）BE=EC.（2）ADDE=2PB2.（1）连接AB,AC.由题设知PA=PD,故PAD=PDA.因为PDA=DAC+DCA,PAD=BAD+PAB,DCA=PAB,所以DAC=BAD,从而=.因此BE=EC.（2）由切割线定理得PA2=PBPC.因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.由相交弦定理得ADDE=BDDC,所以AD6

15、.如图,点A是以线段BC为直径的O上一点,ADBC于点D,过点B作O的切线,与CA的延长线相交于点E,点G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,连接AF并延长与CB的延长线相交于点P.BF=EF.（2）求证:PA是O的切线.（1）因为BE是O的切线,所以EBBC.又因为ADBC,所以ADBE.可知BFCDGC,FECGAC,所以=,=,又因为G是AD的中点,所以DG=AG,所以BF=EF.（2）如图,连接AO,AB.因为BC是O的直径,所以BAC=90在RtBAE中,由（1）得知F是斜边BE的中点,所以AF=FB=EF.所以FBA=FAB.又因为OA=OB,所以ABO=BAO.因为BE

16、是O的切线,所以EBO=90所以EBO=FBA+ABO=FAB+BAO=FAO=90,所以PA是O的切线.【加固训练】1.（xx郑州模拟）如图,已知圆O是ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是圆O的直径.过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.ACBC=ADAE.（2）若AF=2,CF=2,求AE的长.（1）连接BE,由题意知ABE为直角三角形.因为ABE=ADC=90AEB=ACB,ABEADC,AC=AD又AB=BC,所以AC（2）因为FC是圆O的切线,所以FC2=FAFB,又AF=2,CF=2,所以BF=4,AB=BF-AF=2,因为ACF=FBC,又CFB=AFC,所以

17、AFCCFB,得AC=,所以ABC为等腰三角形,过B作BHAC于点H,则cosACD=,所以sinACD=sinAEB,所以AE=.邢台模拟）如图,ABO三边上的点C,D,E都在O上,已知ABDE,AC=CB.直线AB是O的切线.（2）若AD=2,且tanACD=,求O的半径r的长.（1）如图所示,连接OC.因为ABDE,所以=.因为OD=OE,所以OA=OB.因为AC=CB,所以OCAB,所以直线AB是O的切线.（2）延长AO交O于点F,连接CF.由（1）可得ACD=F.因为tanACD=,所以tanF=.因为ACDAFC,所以=,而AD=2,所以AC=4.由切割线定理可得:AC2=AD（A

18、D+2r）,所以42=2（2+2r）,解得r=3.3.如图,直线AB为圆的切线,切点为点B,点C在圆上,ABC的平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.DB=DC.（2）设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求BCF外接圆的半径.（1）连接DE交BC于点G.由弦切角定理得ABE=BCE,而ABE=CBE,故CBE=BCE,BE=CE.又因为DBBE,所以DE为直径,DCE=90由勾股定理得DB=DC.（2）由（1）知,CDE=BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=.设DE的中点为O,连接BO,则BOG=60从而ABE=BCE=CBE=30所以CFBF,故RtBCF的外接圆的半径等于.