重点高中数学选修22微积分基本定理Word格式.docx

1、（2）用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？答案（1）不唯一.（2）把被积函数f（x）变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；用求导公式找到F（x），使得F（x）f（x）；利用微积分基本定理求出定积分的值.题型一求简单函数的定积分例1计算下列定积分.（1）3dx；（2）（2x3）dx；（3）（4xx2）dx；（4）（x1）5dx.解（1）因为（3x）3，所以3dx（3x）32313.（2）因为（x23x）2x3，所以（2x3）dx（x23x）2232（0230）10.（3）因为4xx2，所以（4xx2）dx.（4）因为（x1）5，所以（x1）5dx（x1）6（2

2、1）6（11）6.反思与感悟（1）用微积分基本定理求定积分的步骤：求f（x）的一个原函数F（x）；计算F（b）F（a）.（2）注意事项：有时需先化简，再求积分；若F（x）是f（x）的原函数，则F（x）C（C为常数）也是f（x）的原函数.随着常数C的变化，f（x）有无穷多个原函数，这是因为F（x）f（x），则F（x）CF（x）f（x）的缘故.因为f（x）dxF（x）C|F（b）CF（a）CF（b）F（a）F（x）|，所以利用f（x）的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C了.跟踪训练1求下列函数的定积分：（1）2dx；（2）（1）dx.解（1）2dxdxx2dx2dx

3、dxx3+2x+（2313）2（21）.（2）（1）dx（x）dx题型二求分段函数的定积分例2求函数f（x）在区间0,3上的定积分.解由定积分的性质知：f（x）dxf（x）dxf（x）dxf（x）dxx3dxx2dx2xdx.反思与感悟（1）分段函数在区间a，b上的定积分可分成几个定积分的和的形式.（2）分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以.跟踪训练2求下列定积分：（1）|x21|dx；（2）dx.解（1）y|x21|x21|dx（1x2）dx（x21）dx2.（2）dx|sinxcosx|dx（cosxsinx）dx（sinxcosx）dx（sinxcosx）

4、（cosxsinx）1（1）22.题型三定积分的简单应用例3已知f（a）（2ax2a2x）dx，求f（a）的最大值.解2ax2a2x，（2ax2a2x）dxaa2，即f（a）aa22，当a时，f（a）有最大值.反思与感悟定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用.跟踪训练3已知f（x）ax2bxc（a0），且f（1）2，f（0）0，f（x）dx2，求a、b、c的值.解由f（1）2，得abc2.又f（x）2axb，f（0）b0，而f（x）dx（ax2bxc）dxabc，abc2，由式得a6，b0，c

5、4.1.dx等于（）A.2（1） B.1C.1 D.2答案C解析结合微积分基本定理，得dx（cosxsinx）dx（sinxcosx）1.2.下列定积分的值等于1的是（）A.xdx B.（x1）dxC.1dx D.dx解析xdxx2，（x1）dx1，1dxx1，dxx.故选C.3.dx.答案解析dxx2dxxdx.4.设函数f（x）则f（x）dx.解析f（x）dx（x21）dx（3x）dx.5.已知函数f（x）为偶函数，且f（x）dx8，则f（x）dx.答案16解析因为函数f（x）为偶函数，且f（x）dx8，所以f（x）dx2f（x）dx16.1.求定积分的一些常用技巧（1）对被积函数，要先化

6、简，再求积分.（2）若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.（3）对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1.函数ycosxdx的导数是（）A.cosxB.sinxC.cosx1D.sinx答案A解析（sinx）cosx，cosxdxsinxsinx，故选A.2.若F（x）x2，则F（x）的解析式不正确的是（）A.F（x）x3B.F（x）x3C.F（x）x31D.F（x

7、）x3c（c为常数）答案B解析若F（x）x3，则F（x）3x2，这与F（x）x2不一致，故选B.3.|x2|dx等于（）A.（x2）dxB.（x2）dxC.（x2）dx2（x2）dxD.（x2）dx（x2）dx答案D解析|x2|x2|dx（x2）dx（x2）dx.故选D.4.已知f（x）则1f（x）dx的值为（）A.B.C.D.解析f（x）dxx2dx1dxx|101，故选B.5.sin2dx等于（）A. B.1C.2 D.解析sin2dxdx0，故选D.6.若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为（）A.S1S2S3 B.S2S1S3C.S2S3S1 D.S3S

8、2S1解析S1x2dxx3S2ln21，S3exdxexe2ee（e1），所以S2S1S3，选B.二、填空题7.（x）dx.解析（x）dxdxxdx，根据定积分的几何意义可知dx等于半径为1的半圆的面积，即dx，xdxx2|0，（x）dx.8.若x2dx9，则常数T的值为.答案3解析x2dxT39，即T327，解得T3.9.设函数f（x）ax2c（a0），f（x）dxf（x0），0x01，则x0.解析由f（x）dxf（x0），得（ax2c）dxacaxc，ax，a0，x，又0x01，x0.故填.10.设f（x）若ff（1）1，则a.答案1解析因为x10，所以f（1）lg10.又x0时，f（x）

9、x3t2dtxt3xa3，所以f（0）a3.因为ff（1）1，所以a31，解得a1.三、解答题11.设f（x）是一次函数，且f（x）dx5，xf（x）dx，求f（x）的解析式.解f（x）是一次函数，设f（x）axb（a0），则f（x）dx（axb）dxaxdxbdxab5，xf（x）dxx（axb）dx（ax2）dxbxdxab.由得即f（x）4x3.12.若函数f（x）求f（x）dx的值.解由积分的性质，知：x3dxdx2xdx.13.求定积分|xa|dx.解（1）当a4即a4时，原式（xa）dx7a.（2）当4a3即3a4时，原式（xa）dx（xa）dx4a8a2a.（3）当a3即a3时，原式（xa）dx7a.综上，得|xa|dx