必修四三角函数的图象与性质讲义Word下载.docx

1、（ 3，0） ， （2，1） 三、正、余弦函数的性质f（x） sinx h（x）cosxf（x）sinxh（x）cosx定义域R1，1当 x 2k时， f（x）max 1 1， 1时， f（x）max 1值域当 x2k 时， f（x）min 1时， f（x）min 12 k， 2 k单增，2 k 单减单调区间 32 k ， 2 k 2 单增 单减对称轴x k对称中心（k， 0）周期性sin（2 k） sincos（2 k） cos最小正周期为 2奇偶性sin（ ） sin奇函数cos（例 1：求下列函数的定义域。（1） f（x） sin x（2） f（x） cos x变式练习 1：求下列函数的

2、定义域（1） f（x） lg（sinx）（ 2） f（x） 2cos x7（ 3） f（x） 2 sin2 x sin x 1变式练习 2：已知 cos x 1 ，且 x 0， 2 ，则角 x 等于 （）A ： 2或 4B：或 1C： 5D：或 116【解析】 A变式练习 3：当 x时 0， 2 ，满足 sin（ x） 1 的 x 的取值范围是 （A： 0， 2 4， 2 C：0， 2 4， 2 2， 4【解析】 C例 2：下列函数图象相同的是 y sin x 与 y sin（x ycos x 与 y sin（ x） ysin x 与 y sin（ x） y sin（2 x）与 y sin x

3、【解析】 By 1sin x， x 0， 2 的图象与直线y 2 交点的个数是 （ 0 1 3解析B函数 y sin（ x）， x 0， 2的简图是 （.函数 y 2sin x 与函数 y x 图象的交点 _个。【解析】在同一坐标系中作出函数 y2sin x 与 y x 的图象可见有 3 个交点。3个变式练习 4：.若函数 y 2cos x（0x 2 ）的图象和直线 y 2 围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为 _。【解析】：图形 S1 与 S2， S3 与 S4 是两个对称图形，有 S1 S2， S3S4，因此函数 y 2cos x 的图象与直线 y 2 所围成的图形面积可以转化为

4、求矩形 OABC 的面积。因为 |OA| 2， |OC|2，所以 S 矩形 OABC 22 4故.所求封闭图形的面积为 4.四、正切函数的图象与性质 【三点两线】定义域： x k k Z值域： R周期性：最小正周期T 单调递增区间： （k ， k ）奇偶性： tan（ x） tanx 奇函数对称中心： （ k，0）例 3：求函数 f（x） tan（2x ）的定义域，最小正周期、单调区间以及对称中心。例 4：若直线 l 过点 M（2 ，2）且与以点 P（ 2， 3）、Q（1 ，0）为端点的线段恒相交，则直线 l 的斜率的范围是 _ 。 5 k 24变式练习： 若直线 l 过点 M（0 ，2） 且

5、与以点 P（ 2， 3） 、Q（1 ，0） 为端点的线段恒相交，则直线 l 的斜率的范围是 _ 。 k 2， k5五、函数 y sin（ x ） 的图象与性质（一）由 ysinx 的图象通过变换法作 yAsin（x ）的图象0时向左，（0时向右）平移个单位得到1、先平移后伸缩： y sinxy sin（x ）1时缩短（ 01伸长）到原来的1 倍得到y sin（x ）A 1时伸长（ 0 A1缩短）到原来的A倍得到yAsin（x2、先伸缩后平移 ：1时缩短（ 01伸长）到原来的ysin0 时向左，（y sin（x）例 5：把函数 y sin（2x ）的图象向右平移8个单位， 再把所得图象上各点的纵

6、坐标缩短到原来的 1 ，则所得图象的函数解析式为（ y sin（4x y sin4xsin2x yD将函数 y sin（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍 （纵坐标不变） ，所得图象的函数解析式是 y cos2x ysin（2x ysin（y sin（ x选 D已知函数 f（x） sin（）（ 0）的最小正周期为，则函数 f（x） 的图象可以由函数y sin2x 的图象 （向左平移个单位长度B ：向右平移D ：【解析】选 A要得到函数 y 2cos（2x）的图象，只要将函数y 2cos2x 的图象 （向左平行移动向右平行移动12【解析】选 D） 的图象，只需将函数 y cos（2x）

7、的图象 （要得到函数 y sin（2x 向左平移 5C.向右平移【解析】选 C.由于 y cos（2x ） cos2x sinsin2，y sin sin2 sin2 .故只需将函数 y cos（2x ）的图象向右平移 个单位长度得到函数 y sin的图象 .五、有关函数 y Asin（ x ） 的性质1、定义域为 R 2、值域为 A ，A 3、最小正周期 T 24、当k时，函数 y Asin（）为奇函数；当 k 函数是偶函数。5、对于函数 y Asin（）（A 0， 0）的单调区间，把看成整体2k 2k，解出 x 的范围为函数的单调递增区间，解出 x 的范围为函数的单调递减区间6、函数 y

8、Asin（）的对称轴x k ，解出 x 求得；k，解出 x 求得。例 6：指出函数 y 3sin（2x ） 的定义域、值域、最小正周期、单调区间、对称轴以及对称中心。函数 f（x） 3sin（x ）在下列区间内递减的是 （ 1， 1 B：0， 1 2 1【解析】 :令 2k x 2k ， k Z 可得 2k x2k ， k Z，函数 f（x） 的递减区间为 ， k Z.从而可判断 ， 答案 :设函数 f（x） sin（2x 1 ），x R，则 f（x） 是（ ）最小正周期为的奇函数 B：的奇函数 D：的偶函数因为 f（x） sin -cos2x，所以 f（-x） -cos 2（-x） -cos

9、 2x f（x） ，所以 f（x） 是最小正周期为的偶函数 .答案 :例7：若函数 f （ x）3sin（2x） 的图象关于直线对称，那么的最小值为例 8：函数 f（x） Asin（） （A0， 0，）的部分图象如图所示， 则函数 f（x） 的解析式为 （ f（x） 2sin（x f（x） 2sin（2x f（x） 2sin（x f（x） 2sin（2x 变式练习1：已知 cos 4 ，且 （），函数 f（x） sin（0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则 f（）的值为（）。10已知函数 f（x） sin（ x ）（的部分图象如图，则 _。 0）的图象如右图如示，则 f（4） _。函数

10、 f（x） sin（ x），（）的部分图f（x） 的单调递增区间为（象如图所示，则（ 1 4k， 1 4k）， k Z（ 3 8k， 1 8k）， kZ（ 1 4k， 14k）， k Z（ 3 8k， 1 8k）， k Z【解答】 解：根据函数 f （ x） sin（x ），（ | | ）的部分图象，可得3 1 2，求得 ，再根据五点法作图可得 ?1 ， ， （f x） sin（ x ）令 2k x 2k ，求得 8k 3 x 8k 1，故函数的增区间为 38k， 18k ，k Z，故选： D 例 9：已知函数 f（x） 2 sin（2x ）（1）求函数 f（x） 的最小正周期。（2）求函数

11、f（x） 的单调递增区间以及对称中心。（3）求函数 f（x） 在区间 ， 3 上的最大值和最小值。8 4）（其中 0，|），若函数 y f（x） 的图象与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为，且直线 x是函数 y f（x） 图象的一条对称轴 .（1）求的值； （ 2）求 y f（x） 的单调递增区间；（3）若 x ，求 y f（x） 的值域。 （1） 因为函数 y f（x） 的图象与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为 ，所以函数的周期 T ，所以 2.（2） 因为直线 x 是函数 y f（x） 图象的一条对称轴，所以2 k ， k Z， k ， kZ. 又 | | ，所以 .所以函数的解析式

12、是 y sin .令 2x ， k Z，解得 x ， k Z. 所以函数的单调递增区间为 ， kZ.（3） 因为 x ，所以 2x .所以 sin ，即函数的值域为 .设函数 f（x） sin（2x （） 0），已知它的一条对称轴是直线 x 。（1）求 ；（ 2）求函数 f（x） 的单调递减区间； （ 3）求函数的对称中心； （4）当 x ， 5 8 8函数 f（x） 的取值范围。【解析】 （1）函数的一条对称轴是直线 x ，2 k ， kZ ，因为 - 0，所以 - .（2）由 （1）知， f（x） sin ， 2k 2x- 2k ， kZ ，即 k x k ， k Z ， 所 以 函 数 f（x） 的 单 调 递 减 区 间 为（k Z）.设函数 f（x） tan（ 1 x ）。2 3（1）求函数 f（x） 的定义域、周期和单调区间； （2）求不等式 1 f（x） 3 的解集。【 解 】 :（1） 由 +k（k Z）, 得 x +2k, f（x） 的 定 义 域 是. ,周期 T 2.9由- +k +k（k Z）, 得 - +2kx +2k（k Z）.函数 f（x） 的单调递增区间是 （k Z）.（2） 由 -1 tan , 得 - +k