学年高中数学竞赛 第68讲 图论问题二教案doc.docx

1、学年高中数学竞赛 第68讲 图论问题二教案doc2019-2020学年高中数学竞赛 第68讲 图论问题(二)教案本讲主要内容：本讲将继续研究用图来解决问题的方法偶图 取图G(V，E)，如果VXY，XY，其中Xx1，x2，xn，Yy1，y2，ym，且xi与xj(1ijn)，ys与yt (1stm)均互不相邻，则称G为偶图色数：将图G的顶点涂上颜色，如果至少要k种颜色才能使任意两个相邻的顶点颜色不同，则称G的色数为k显然，偶图的色数2即偶图色数不超过2A类例题例1 在空间中给定2n个不同的点A1，A2，A2n，n1，其中任意三点不共线设M是n2+1条以给定的点为端点的线段的集合证明：存在一个三角形

2、，其顶点为给定的点，其边都属于M证明：若集合M的元素不超过n2个，则这样的三角形可能不存在(1973年奥地利数学竞赛)分析 可以从简单的情况开始试验，发现规律再证明从K4(4阶完全图，见67讲)共有多少条线及多少个三角形、擦去1条线去掉几个三角形入手得出结论，对于K5、K6也能用此法得到结论，但对于p6，Kp难用此法，如何过渡到一般情况？可以用数学归纳法证明：n2时，在4个点间连了5条线，由于4阶完全图在4个点间共可连出6条线，这6条线连出了4个以此4点中的某3点为顶点的三角形而每条线的两个端点与(除这条线的两个端点外的)另两个顶点可以连出共2个三角形，故去掉任何一条边都使连出三角形数减少2，

3、于是在4个点间连5条线必连出了以此4点中的3点为顶点的三角形设nk时，2k个点间连有k21条线时，必有三角形出现则当nk1时，2(k1)个点间连了(k1)21条线此时，任取两个相邻的顶点v1，v2，如果在其余的顶点中有某个顶点与v1，v2都连了线，例如v3与v1，v2都连了线(图4(1)，则出现了三角形如果其余所有的点与此二点都至多连出1条线(图4(2)，则去掉点v1，v2及与这两点相邻的边，此时，余下2k个点，至多去掉了2k1条边，余下至少(k1)21(2k1)k21条边，由归纳假设知，其中必有三角形综上可知，命题成立说明 若2n个点间连了n2条边，可以把这2n个点分成两组，每组n个点，规定

4、同组的点间都不连线，不同组的任何两点都连1条线，这样得到了一个完全偶图Kn，n，此时共计连了n2条线，但任取三点，必有两点在同一组，它们之间没有连线，于是不出现三角形例2 一个舞会有n(n2)个男生与n个女生参加，每个男生都与一些女生(不是全部)跳过舞，而每个女生都至少与1名男生跳过舞，证明，存在男生b1，b2与女生g1，g2，其中b1与g1跳过舞，b2与g2跳过舞但b1与g2没有跳过舞，b2与g1没有跳过舞分析 就是要给出一种选择方法，按此方法操作，即可选出满足要求的两个男生与两个女生可以用极端原理来证明这样的存在性命题证明 取所有男生中与女生跳舞人数最多的一个，设是b1b1至少与1名女生没

5、有跳过舞，取没有与b1跳过舞的一名女生为g2，g2至少与1名男生跳过舞，设为b2，显然b1不是b2，现在考虑所有没有与b2跳过舞的女生，她们不能都没有与b1跳过舞，(否则没有与b1跳舞的女生人数就比没有与b2跳舞的人数多，b1就不是与女生跳舞人数最多者)即至少有1个女生没有跟b2跳过舞但跟b1跳过舞这个女生即为g1说明 这里就得到了一个偶图b1，b2g1，g2(图中，括号内的数字表示证明中出现的先后顺序)极端原理常用于证明存在性命题情景再现1求证：顶点多于1的树是偶图2证明 偶图的色数2，反之，色数2的图是偶图B类例题例3 某镇有居民1000人，每人每天把昨天听到的消息告诉自己认识的人，已知任

6、何消息只要镇上有人知道，都会经过这样的方式逐渐地为全镇的人所知道证明可以选出90名代表，使得同时向他们报告一个消息，经过10天，这一消息就为全镇的人知道分析 就是要给出一个把1000个点的连通图分成90个子图的方法，使每个点都在其中一个子图中，且每个子图的最长的链的长度不超过10这样，只要把每个子图的最长链的一个端点选为“代表”，就能完成这个任务证明 用1000个点代表1000个居民，两名居民相识，则在两点之间连一线，如此可得一图，依条件，这个图是连通图若图中有圈，则我们去掉圈中的一边使圈被破坏而不影响图的连通性，经过有限次这种手续，可得树T1000在T1000中取一条主干v1v2vn，取v1

7、1作为1个代表，把边v11v12去掉，则此图分成了2个连通分支，在含有v1的一棵树中，每点到v11的路的长度都不超过10，否则v1v2vn在T1000中不是主干，故v11知道的消息在10天内可以传遍它所在分支的点集所代表的居民；余下另一分支再取其主干，又按此法得出第二个代表v22，依此类推，则T1000分割成若干棵树：同样，在含v22，v33，的树中，v22，v33，知道的消息在10天内都能传遍树的点集所代表的居民；由于1000=1189+21，且每一个小分支树可能还有分支，从而其顶点数可能超过11，所以这样分法，至多分出89棵树并余下一个至多有21个点的树，该树的链长20，取此链的中心v，则

8、该链上每个点到v的距离都10现在取v11，v22，v33，为代表，最后一棵树取其中心v为第90名代表，只要将消息告诉这些代表，则在10天之后，每个分支树的点集所表示的居民全都知道这个消息，问题已获解决说明 注意每次在最长链上截去一段后，余下的链的主干不一定就是原来主干的截剩部分，所以每次都要重新确定主干例4 一个国家的国王打算建n个城市且修(n1)条道路，使每条道路连接两个城市而不经过其他城市而每两个城市都可以互相到达，其间的最短距离恰是1，2，Cn(n1)这些数，问在下列情况下，国王的打算能否实现：(1)n6；(2)n1998分析 就是要画一个树，使任两个顶点的距离都不能相同对于顶点数少的情

9、况估计是可能存在的，而要得到n6图可以用构造法对于n1998，估计不会存在，所以可以用反证法证明为了得到n6的情形，长度为1与2的线段是要取的，否则得不到1，2，这两条线段连结可以得到长度3，为得到距离为15、14、的线段，可以取某两个城市间距离为8(15的一半)，此时8715，8614，8513可以通过增加一条长度为5的线段如图得到，再增加一条长为4的线即可得到全部的15个数解 (1) n6时，国王的打算可以实现，城市和道路的分布可依据图所示 n1998时，国王的打算不能实现，因为符合要求的道路网存在的必要条件是：n或(n2)是完全平方数，证明如下：用点表示城市，用线表示连接城市的道路，得到

10、一个图G由题设，知G是n阶连通图，又其线的数目恰为(n1)，故G是n阶树，因而G的任两点之间只存在唯一的通道把G的顶点二染色：任取一个点A，对于图中任一点，若它沿唯一的通道到A的距离是一个偶数，则把此点染红(A也应染红，因A到A的距离为0，0是偶数)，否则染蓝设红点的数目为x，则蓝点的数目为ynx考虑距离为奇数的点对，易知：两点之间的距离为奇数，当且仅当这两个点一红一蓝由一个红点和一个蓝点组成的点对有xy个又在1，2，n(n1)中，当n(n1)为偶数时，其中的奇数有n(n1)个；当n(n1)为奇数时，奇数有n(n1)2个于是，如果国王的打算可以实现，则必须满足 xyn(n1) 或 xyn(n1

11、)2 此时，对于，有4x(nx)n(n1)，即 4x24nx+n2n0，解得 x，相应的y同样，对于： 有x，y故只有n或(n2)是完全平方数时，国王的愿望才可能实现但1998和199821996都不是完全平方数，故当n1998时，国王的打算不可能实现说明 我们只证明了这个条件是必要条件，没有证明这个条件是充分的对于n6，有624是完全平方数，有可能存在满足要求的图，再通过构造出满足要求的图，才能确定解存在例5证明：任意的9个人中，必有3个人互相认识或4个人互相不认识分析 即证明，在任意的K9中，把边涂成红或蓝两种颜色，则必存在红色K3或蓝色的K4或在一个有9个顶点的图G中，必存在K3，或在其

12、补图中，存在K4证明 如果存在一个顶点，从这点出发的8条线中，有至少4条为红色，设从v1引出的4条线为红色，引到v2，v3，v4，v5若此4点中的某2点间连了红色线，则存在红色K3，若此4点间均连蓝线，则存在蓝色K4 如果从任一点出发的8条线中，红色线都少于4条于是从每点出发的蓝色线都至少5条但由于任何图中的奇顶点个数为偶数，故不可能这9个顶点都引出5条蓝线于是至少有一个顶点引出的蓝线6条，例如从v1到v2，v3，v7都引蓝线，则在v2，v3，v7这6个点的图中，必存在红色三角形或蓝色三角形，于是G中必有红色K3，或蓝色K4链接 拉姆赛(Ramsey)问题本题实际上说的是：在有n个顶点的图G中

13、，有一个K3，或在其补图中(在K9中去掉G的所有边后余下的图即G的补图)有一个K4，二者必有一成立n9是保证这一个结论成立的n的最小值一般的，在一个有t个顶点的图中存在Km，或在其补图中存在Kn，t的最小值是多少？这就是拉姆赛问题记满足上述要求的t的最小值为r(m，n)则有 r(m，n)r(n，m)，r(1，n)r(m，1)1，r(2，n)n，r(m，2)m并可证：定理一 在m2，n2时，r(m，n)r(m，n1)r(m1，n)现在已经求出的r(m，n)有：r(3，3)6，r(3，4)9，r(3，5)14，r(3，6)18，r(3，7)23；r(4，4)18定理二 设完全图KN的边涂了n种颜色

14、，则在N充分大时，KN中必有一个同色三角形设rn是使KN中有同色三角形存在在N的最小值，则 r13，r26，r317； rnn(rn11)2； rn11nn(n1)n!上述两个定理都是拉姆赛定理的特例，更一般的结论请参阅单墫教授的有关图论的著作例如趣味的图论问题等情景再现3平面上有n条直线，把分成若干区域，证明：可以用两种颜色就可使相邻的区域都涂上不同的颜色4在88的棋盘上填入164的所有整数，每格填一个数，每个数填一次证明：总能找到两个相邻的格子(有公共边的两个方格就是相邻的方格)，这两个方格中填的数相差不小于55证明：任意14人中，必有3人互相认识或有5人互相不认识 C类例题例6 1990

15、个人分成n组，满足(a) 每个组中没有人认识同组的所有的人；(b) 每个组中，任意三人中至少有两人互不认识；(c) 每个组中两个互不认识的人，必可在同组中恰好找到一个他们都认识的人证明：在每一组中，各人在该组中认识的人数都相同并求分组个数n的最大值(1990亚洲与太平洋地区数学竞赛)分析 条件都是针对某一组的，所以证明应在某个组内进行，由于两点或连线，或未连线，故可以分两点未连线及两点已连线的情况证明要求组数最多，应使每组的人数最少故求应每组人数的最小值解 取其中一组M，设|M|m，用m个点表示组M中的人，若两人认识，则在相应点间连一条线于是题设条件可写为：(a) M中任何一点，与M中其余的点没有都连线，即设xM，用d(x)表示x在M中的次数则d(x)m1(b) M中没有连出三角形；(c) 设x，yM若x，y未连线，则存在唯一zM，与x，y均连线