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1、在列动能定理方程时，不要考虑势能及势能的变化。12、关于机械能守恒定律应明确：（1）定律成立的条件是“只有重力做功或弹力做功”，不是“只有重力作用或弹力作用”有其它力作用，但其它力不做功，而只有重力做功或弹力做功时，机械能仍守恒（2）定律表示的是任一时刻、任一状态下物体机械能总量保持不变，故可以在整个过程中任取两个状态写出方程求解（3）定律的表达式除了写成Ep1+Ep2=Ek1+Ek2外，还可写成Ep=-Ek，即在任一机械能守恒的过程中，重力势能的减少（增加）一定等于动能的增加（减少）。利用Ep=-Ek进行计算有时会显得简明13、应用机械能守恒定律解题时，只要考虑始末态下的机械能，无须顾及中间

2、过程运动情况的细节。因此，对于运动过程复杂、受变力作用、作曲线运动等不能直接应用牛顿运动定律处理的问题，利用机械能守恒律会带来方便。14、应用机械能守恒定律解题的一般步骤：（1）认真审题，确定研究对象；（2）对研究对象进行受力分析和运动过程、状态的分析，弄清整个过程中各力做功的情况，确认是否符合机械能守恒的条件；（3）确定一个过程、两个状态（始末），选取零势能参考平面，确定始末状态的动能、势能值或这个过程中Ep和Ek的值；（4）利用机械能守恒定律列方程，必要时还要根据其它力学知识列出联立方程；（5）统一单位求解解题的关键是准确找出始、末状态的动能和势能的值，尤其是势能值的确定二、恒力做功与变力

3、做功问题1、恒力做功求解恒力功的方法一般是用功的定义式W=Fscos，需要特别注意：（1）位移s的含义：是力直接作用的物体对地的位移。当力在物体上的作用位置不变时，s就是力作用的那个质点的位移；当力在物体上的作用位置不断改变时，s应是物体的位移。如：一个不能视为质点的物体受到滑动摩擦力作用时，摩擦力的作用点时时变化，此时s就不是摩擦力作用点的位移，而是物体的位移。例 如图示，质量为m、初速为v0的小木块，在桌面上滑动。动摩擦因数为，求木块停止滑动前摩擦力对木块和桌面所做的功。解 对木块：W1=-fs=-mgv02/（2g）=-mv02/2对桌面：W2=0例 如图示，质量为m、初速为v0的小木块

4、，在一块质量为M的木板上滑动，板放在光滑水平桌面上，求木块和板相对静止前，摩擦力对木块和木板所做的功。解 据动量守恒mv0=（m+M）v得 W1=-fs2=-mgM（M+2m）v02/（M+m）22g=-Mm（M+2m）v02/2（M+m）2W2=fs1=Mm2v02/2（M+m）2g（2）一对相互作用力所做功之和不一定为零人竖直向上跳起，地面对人的作用力对人做正功，人对地而不做功（地球位移视为零），总功为正；一对静摩擦力，位移值一定相同，总功必为零；一对滑动摩擦力，做功时必然发热，系统内能增加，总功必为负。转化为内能值为 2、判断做功正负的方法（1）从力与位移或速度方向的关系进行判断。“子弹

5、打木块”问题，摩擦力对子弹做负功，对木块做正功。例 如图所示，质量为M的木块静止在光滑水平面上，质量为m的子弹以水平速度射中与木块一起以速度v运动，已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离为L，子弹进入木块的深度为d，若木块对子弹的阻力F恒定，那么下列关系式中正确的是（ ）、A、 B、C、 D、（2）从能量的增减进行判断例 如图示，在质量不计、长度为L的直杆一端和中点分别固定一个质量都是m的小球A和B，试判断当杆从水平位置无摩擦地转到竖直位置的过程中，杆对A、B球做功的正负。解 A、B两球组成的系统的机械能守恒，由机械能守恒定律：由于两球在同一杆上，角速度相等，故解之得：，与A、B球自由下落时的

6、速度比较，可见，故杆对A球做正功，对B球做负功。3、变力做功大小或方向变化的力所做的功，一般不能用功的公式W=Fscos去求解需变换思维方式，独辟蹊径求解。（1）用功率定义式求解将功率的定义式P=W/t变形，得W=Pt。在求解交通工具牵引力做功问题时经常用到此公式。例 质量为m的汽车在平直公路上以初速度v0开始匀加速行驶，经时间t前进距离s后，速度达最大值vm，设在这段过程中发动机的功率恒为P，汽车所受阻力恒为f，则在这段时间内发动机所做的功为：A、Pt B、fvMtC、fs+mvm2/2 D、mvm2/2-mv02/2+fs（答案：ABD）（2）用动能定理求解变力做功求解某个变力所做的功，可

7、以利用动能定理，通过动能改变量和其余力做功情况来确定。例 如图所示，把一小球系在轻绳的一端，轻绳的另一端穿过光滑木板的小孔，且受到竖直向下的拉力作用当拉力为F时，小球做匀速圆周运动的轨道半径为R当拉力逐渐增至4F时，小球匀速圆周运动的轨道半径为R2在此过程中，拉力对小球做了多少功?解 此题中的F是一个大小变化的力，故我们不能直接用功的公式求解拉力的功根据F=mv2R，我们可分别求得前、后两个状态小球的动能，这两状态动能之差就是拉力所做的功由F=mv12R 4F=mv220.5R得WF=mv222-mv122=FR/2例 如图，用F20N的恒力拉跨过定滑轮的细绳的一端，使质量为10kg的物体从A

8、点由静止沿水平面运动当它运动到B点时，速度为3ms设OC4m，BC3m，AC9.6m，求物体克服摩擦力做的功解 作出物体在运动过程中的受力图。其中绳的拉力T大小不变，但方向时刻改变N随T方向的变化而变化（此力不做功）f随正压力N的变化而变化因此对物体来说，存在着两个变力做功的问题但绳拉力T做的功，在数值上应等于向下恒力F做的功F的大小已知，F移动的距离应为OA、OB两段绳长之差由动能定理 WF+Wf=Ek 得：Wf-63（J）即物体克服摩擦力做了63J耳的功（3）用图象法求解变力做功如果能知道变力F随位移s变化的关系，我们可以先作出F-s关系图象，并利用这个图象求变力所做的功例如图，密度为，边

9、长为a的正立方体木块漂浮在水面上（水的密度为0）现用力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，此过程浮力做了多少功?解 未用力按木块时，木块处于二力平衡状态F浮=mg 即0ga2（a-h）=ga3并可求得：h=a（0-）/0（h为木块在水面上的高度）在用力按木块到木块上表面刚浸没，木块受的浮力逐渐增大，上表面刚浸没时，浮力达到最大值：F浮=0ga3以开始位量为向下位移x的起点，浮力可表示为：F浮=ga3+0ga2x根据这一关系式，我们可作出F浮-x图象（如图右所示）在此图象中，梯形OhBA所包围的“面积”即为浮力在此过程所做的功。W=（0ga3+ga3）h/2=ga3h（0+）/2这里的“面积”

10、为什么就是变力所做的功?大家可结合匀变速运动的速度图象中的“面积”表示位移来加以理解即使F-x关系是二次函数的关系，它的图象是一条曲线，这个“面积”仍是变力在相应过程中所做的功三、重力功率与交通工具起动问题1、重力的功率（1）自由落体过程中重力的功率（2）平抛运动中重力的功率（3）沿斜面滑行的物体的重力的功率例 质量为m的物体，由静止开始沿倾角为的光滑斜面下滑，求前3s内、第3s内、第3s末重力做功的功率。解 2、交通工具起动时的牵引力及功率汽车等交通工具的起动方式有两种：一是以恒定功率起动，二是汽车以恒定的牵引力起动，具体分析如下：（1）输出功率不变时的运动由于牵引力FPv，随着速度v的增大

11、，牵引力F减小，则加速度a=（F-f）/m减小，但因a与v同向，汽车的速度v不断增大，F减小，a减小，直至a=0时，汽车作匀速运动，此时速度为最大值vmP/F=P/f，在此之前，由牛顿第二定律得：（P/v）-f=ma，可知任一速度值均有与之相对应的一个确定的加速度值由于汽车做变加速运动，所以不能用匀变速直线运动的公式求解，也不能对全过程应用牛顿第二定律，但动能定理是适用的，力和加速度瞬时对应关系也成立，因此解题时通常是对某一过程列动能定理方程，对某一瞬时列牛顿第二定律方程例 辆机车的质量为750T，沿平直轨道由静止开始运动它以额定功率在5分钟内驶过2.5km，并达到10ms的最大速度求：（1）

12、机车发动机的额定功率P和机车与轨道间的摩擦因数分别是多少?（2）当机车速度为5ms时的加速度多大（g取10ms2）解 图所示，设机车在A处起动，因功率不变，故随着速度的增大，牵引力减小，加速度减小，机车做变加速运动当牵引力减小到F=f的B处时，速度达到最大值vm，以后机车做匀速运动（1）由动能定理得：Pt-mgs=mvm2/2 在B处：F=f=mg，故有P=Fv=mgvm 将式代人式、并代入数据可得：=0.01 再将值代入式得：P=7.5105J（2）设此时牵引力为F,则F=P/v=7.51055=1.5105N再由F-f=ma得a=（F-f）/m=0.1ms2例 出功率保持10kw的起重机起

13、吊500kg的重物，当货物升高到2m时速度达到最大值，此最大速度是多少?此过程用了多长时间?（g取10ms2）解 重机以恒定的功率吊起重物的过程是加速度不断减小、速度不断增大的过程.当货物的速度达到最大时，起重机的牵引力与货物的重力相平衡，即：F=mg=5103N，vmPF=2ms求解这一段运动时间不能用匀变速运动的公式，我们可以货物为研究对象运用动能定理求解：Pt-WG=mv2/2, t=（mv2/2+mgh）/P=1.1s（2）牵引力不变时的运动汽车以恒定的牵引力起动，则汽车开始一段时间作匀加速运动，由v=at及P=Fv=Fat可知，随时间的延长汽车的功率越来越大，直到达到其最大功率时，输

14、出功率不能再增大，但此时由于牵引力仍大于阻力，汽车仍加速，则因受最大功率的制约，牵引力必须减小，汽车做加速度越来越小的匀加速运动，直至a=0时做匀速运动，故此种情形下，汽车前一阶段做匀加速运动，后一阶段做变加速运动。在汽车做匀加速运动阶段中, 我们既可以运用功的公式、动能定理来求解，也可以运用牛顿运动定律来求解对变加速运动阶段,则必须用第（1）点的方法求解.例 车的质量为m，它在运动中受到的阻力f恒定不变。汽车发动机的额定功率为P，求：（1）汽车在作匀加速运动时的长大速度是多少?（2）汽车从静止出发作加速度为a的匀加速运动的时间不应超过多少?解 车受到的阻力一定，且又做的是匀加速运动，所以它受

15、到的牵引力也是一定的F-f=ma随着速度的增加,汽车的输出功率也在不断增大当输出功率达到额定功率时，这时汽车行驶的速度不允许再增加了此时有：vm=P/F=P/（ma+f）再根据运动学公式，可求出这段过程所需时间：t=vm/a=P/（ma+f）a四、动能定理1、灵活选取适当过程，运用动能定理例 量过为4kg的铅球，从离沙坑1.8m的高处自由落下.铅球落进沙坑后陷入0.2m深而停止运动，求沙坑对铅球的平均阻力（g取10m2）.解 铅球在前一段作自由落体运动，后一段作匀减速运动对前一段可用机械能守恒求解，后一段可用动能定理求解但如果我们把开始下落到最终停止看成一个过程，运用动能定理列式，将很快得到结

16、果：由W=Ek 可得：mg（h+s）-fs=0-0=0f=（h+s）mg/s=（1.8+0.2）4100.2=400N此题我们用动能定理列式时，把两段过程处理成一个过程，求解就便捷得多了2、结合隔离法，运用动能定理例 质量为M的列车，沿平直轨道匀速前进，质量为m的末节车厢中途脱钩，当司机发觉时，机车已行驶L距离，于是他立即关闭油门，撤去牵引力。设车运动的阻力与重力成正比，机车的牵引力为定值，当列车的两部分都停止运动时，它们的距离是多少? 解 此题牵涉机车和车厢这两个研究对象，它们又分别经历着不同的变速运动过程如果从动力学、运动学角度去分析求解将非常麻烦我们运用隔离法针对每一个研究对象运动的全过

17、程分析其受力，画出其运动的示意图如图所示，并分别列出它们动能定理的表达式：未脱钩时，整列车匀速前进，有：F=KMg （1）脱钩后，两车分别作加速、减速运动对机车：FL-K（M-m）gs1=0-（M-m）v02/2 （2）对车厢：-Kmgs2=0-mv02/2 （3）将（1）代入（2）后再将等式两边分别与（3）相除，化简，得：s=s1-s2=ML/（M-m）3、结合运动分解，运用动能定理例 如图所示，某人通过过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始时人在滑轮的正下方，绳下端A点离滑轮的距离为H。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到B点位置时，人的速度为v，绳与水平面夹角为。问在这个过程中

18、，人对重物做了多少功?解 人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是作匀变速运动，故无法用W=Fscos求对重物作的功，需从动能定理的角度来分析求解当绳下端由A点移到B点时，重物上升的高度为：重力做功的数值为：当绳在B点实际水平速度为v时，v可以分解为沿绳斜向下的分速度v1和绕定滑轮逆时针转动的分速度v2，其中沿绳斜向下的分速度v1和5重物上升速度的大小是一致的，从图中可看出：v1=vcos以重物为研究对象，根据动能定理得：4、动能定理与牛顿运动定律的比较用牛顿运动定律解题涉及到的有关物理量比较多，如F、a、m、v、s、t等对运动过程的细节变化也要掌握得比较充分，才可列式求解。而运用

19、动能定理解题涉及到的物理量只有F、s、m、v它对运动过程的细节及其变化也不要求了解，只需考虑始末两状态的动能和外力做的功，它还可把不同运动过程合并成一个全过程来处理，使解题过程简便当然，如果题目中要求了解加速度a、运动时间t等细节，那就需要从动力学、运动学的角度去分析，不能直接求解了。例 如图所示，小滑块从斜面顶点4由静止滑至水平部分C点而停止已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s求小滑块与接触面间的动摩擦因数（设滑块与各部分的动摩擦因数相同）解 滑块从A点滑到C点，只有重力和摩擦力做功，设滑块质量为m，动摩擦因数为，斜面倾角为，斜面底边长s1，水平部分长s2，由动能定理得：得=h/s由此

20、题可见，用动能定理求解，回避了加速度a，不必考虑细节，解题过程简单很多五、重力做功与重力势能的改变1、物体受到重力作用具有重力势能。它的表达式Epmgh，适用于g不变的情况。式中h是相对于选定的零势能面的高度，所以重力势能和功、动能一样具有相对性。重力势能也是标量，有正、负、零之分。重力势能等于零，并不意味着物体不具有重力势能，零值势能比负势能大。因此，在比较势能大小时，既要选取同一参考面，又要注意它的符号，这跟功大小的比较是不一样的。2、重力做功一定改变物体的重力势能，这是又一种重要的功能关系。在一个过程中，重力做多少功，重力势能就减少多少，克服重力做多少功，重力势能就增加多少，而跟零势能面

21、的选取无关，跟物体做什么运动，是否有其它力做功以及物体动能是否变化等也无关，这是要特别注意的。例 物体从A运动到B点的过程中，重力做功8J，推力做功2J，物体克服阻力做功10J。则：A、物体重力势能一定减少8J B、物体机械能一定减少10JC、合力功为零 D、重力做功一定不改变物体的动能（答案）AC六、机械能守恒定律的应用系统内力做功问题凡符合“只有重力做功，其它力均不做功”这一条件的问题，用机械能守恒定律来求解是十分方便的。因为它只涉及到研究对象（某一物体或某一物体系统）的始末两状态的机械能，而不考虑运动过程的任何细节，也不考虑做功的数值，列式和求解都很便捷对于单一物体，我们很容易判断它是否

22、满足机械能守恒的条件对于某一系统来说，用隔离法考察系统内每一个物体，它们可能不符合机械能守恒的条件。但对整体，除重力外，无其它外力做功，且内力做功的代数和为零，则该系统的机械能也是守恒的。如图示，A和B在运动中除了重力做功外，绳子拉力对它们都做功，因而在A上升和B下降过程中，A和B各自的机械能不守恒，但如果把它们看成一个整体，则绳子拉力是它们之间相互作用的内力，拉力对A做正功的数值和拉力对B做负功的数值相等，就整体而言，内力不做功，故整个系统机械能守恒。有些问题中，系统所受其它外力不做功，但系统内力做功的代数和不为零，则该系统的机械能就不守恒。如图示，滑块A滑上小车B粗糙的上表面后，A、B之间

23、相互作用的内力（摩擦力）做功的代数和不为零，即使地面光滑，A、B系统的机械能也是不守恒的。例 如图所示，在光滑的水平面上放有一质量为m、高为a的立方块一根轻杆长4a，下端用铰链固定在地面上，上端固定一质量也为m的重球开始杆与水平面成53角静止，杆与木块无摩擦释放后，当杆与水平面成30角时，木块速度多大?解 此题球与木块的运动过程复杂，有关力做功的情况又不清楚，放无法从动力学、动能定理求解我们可把球和木块看成一个系统，对此系统来说，只有小球重力做功，内力做功代数和为零，系统的机械能是守恒的（杆的质量不计，其能量也不考虑）。由机械能守恒定律，可得： （1）从图中看出，木块实际运动速度v木可分解为沿

24、杆向上的速度v1和垂直于杆的速度v2，且：v2=v木sin30v木/2小球的速度也垂直于杆的，它与v2的比值等于转动半径之比：，v球=2v2=v木 （2）把（2）式代入（1）即可得 七、动量守恒和机械能守恒动量守恒和机械能守恒是力学中两个重要的守恒定律，它们有完全不同的守恒内容和各自严格的成立条件，必须学会区别和判定。一物体被匀速提起，其动量守恒，动能也守恒，但重力势能增加，机械能不守恒，这是因为有重力以外的拉力做正功的原因。单摆运动，显然动量不守恒，动能也不守恒，但绳拉力不做功，运动过程只有重力做功，所以机械能守恒。做抛体运动的物体如果有受到空气阻力作用，物体的动量、动能、机械能都不守恒。例

25、 如图示，甲、丙是具有四分之一圆弧的光滑槽，乙是粗糙水平槽。三者相触置放于光滑水平面上，能让小球在其上平顺滑过。现让小球从高处落下恰能切入甲槽。下列说法正确的是：A、球在甲槽上滑行时，取球和甲为系统，动量不守恒，系统机械能守恒。B、球滑上乙后，取球乙、丙为系统，系统水平方向动量守恒，机械能不守恒。C、球滑上丙后，取球、丙为系统，机械能守恒，水平方向的动量守恒。D、取甲、乙、丙为系统，机械能守恒，动量也守恒。（答案）ABC例 如图，摆球质量m0.1kg，摆长L0.1m，球与水平面接触而无压力。两侧等远处有正对挡板，相距2m。另有质量Mm的小滑块与水平面间摩擦因数为0.25，从左挡板处以初速的向小

26、球方向运动。设滑块与小球，滑块与挡板的每次碰撞系统均无机械能损失。滑块静止前小球在竖直面内绕O点完成10次完整的圆周运动，求v0的最小值。解 取滑块和小球为一系统，碰撞前后水平方向动量守恒。因Mm，碰撞无能量损失，所以碰后二者交换速度，即滑块停于中点，小球作圆周运动。当小球反碰滑块时，小球停止，滑块继续向右，碰挡板后等值反向运动，重复上述过程。此外，滑块滑行过程克服阻力做功，动能减少，因此，小球圆周运动的速度也越来越小。第10次圆周运动小球在最高点的速率v2应为1m/s。根据机械能守恒定律，这时小球在最低点速度v1为m/s，这也就是滑块在小球完成10次圆周运动后具有的最小速度。容易推算，这之前

27、滑块已来回滑行19米的路程，根据动能定理，设滑块的最小初速度为v0，应有： 得v010m/s八、一道含有弹簧的系统的机械能守恒问题机械能等于动能与势能的代数和，而势能包括重力势能与弹性势能，即EEk+Ep+Ep，我们在学习过程中遇到的大多是关于动能与重力势能的问题。下面则是一道含有弹簧的机械能守恒问题，现在我们结合机械能解题的基本方法对该例题进行分析。例 如图，竖直向下的力F作用于质量为m1的物体A上，物体A置于质量为m2的物体B上，B与原长为L的直立于水平地面上的轻弹簧上端相连，平衡时弹簧的压缩量为x。现将F撤去物体AB向上运动，且物体A向上运动达到最高点时离地面高度为h，求：弹簧恢复原长时物体A的速度；弹簧弹性势能的最大值。分析（一）判断机械能是否守恒：（此类问题应首先考虑能量方法，