高考数学一轮复习第七章立体几何单元综合检测七理Word文档下载推荐.docx

1、3.D【解析】若,则,可能平行或相交,A错误;若mn,m,n,则,可能平行或相交,B错误;若mn,m,则n或n,C错误;若mn,m,则n,又n,则,D正确.4.（xx北京西城区期末考试）一个四棱锥的三视图如图所示,那么对于这个四棱锥,下列说法中正确的是 （）A.最长棱的棱长为B.最长棱的棱长为3C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D.侧面四个三角形都是直角三角形4.D【解析】由三视图可得该三棱锥的底面是上、下底分别为1和2,与底垂直的腰为1,另一腰为的直角梯形,有一条长度为2的侧棱垂直于底面,所以最长的棱长为2,排除A和B;侧面四个三角形都是直角三角形,排除C,故选择D.5.如图,网格纸

2、的各小格都是正方形,粗线画出的是一个三棱锥的侧（左）视图和俯视图,则该三棱锥的正（主）视图可能是（）5.A【解析】由题意可得该几何体是三棱锥,如图,底面是直角边为3和6的直角三角形,该三棱锥的高为3,所以其正（主）视图是A.6.（xx甘肃一诊）直三棱柱ABC-A1B1C1的顶点在同一个球面上,AB=3,AC=4,AA1=2,BAC=90,则球的表面积为 （）A. B. C.49 D.6.C【解析】取BC,B1C1的中点分别是D,D1,则由三棱柱的性质可得其外接球的球心O在DD1的中点,设外接球的半径为R,则R2=|AD|2+|DO|2=,故此球的表面积为4R2=49.7.若空间中四条两两不同的

3、直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是 （）A.l1l4 B.l1l4 C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定7.D【解析】如图所示的正方体ABCD-ABCD中,令l1为AA,l2为BC,当l3为CC时, l1l4,则选项A成立,当l3为CD时,则l4可以为对角线BC或BB或B,l1与l4是异面直线或平行或垂直,所以l1与l4位置关系不确定.8.（xx衢州质检）如图ABC是等腰直角三角形,其中A=90,且DBBC,BCD=30,现将ABC沿边BC折起,使得二面角A-BC-D大小为30,则异面直线BC与AD所成的角为 （）A.

4、30 B.45 C.60 D.908.A【解析】过点D作DEBC,过点C作CEBD,则ADE为异面直线BC和AD所成角.取BC,DE的中点分别是F,G,连接AF,GF,AG,则由题意可得AFBC,GFBC,所以AFG是二面角A-BC-D的平面角,则AFG=30,BC平面AFG,则DG平面AFG,所以DGAG.不妨设BD=1,则BC=DE=,AB=AC=,AF=,FG=1,在AFG中,由余弦定理可得AG2=+1-21,AG=,在直角三角形ADG中,DG=,所以tan ADG=,则ADG=30,即异面直线BC和AD所成角为30.9.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为1的

5、正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为 （）A. B. C. D.9.A【解析】设E为ABC的重心,连接OA,OB,OE.三棱锥S-ABC内接于球O,OB=OC=OA=1,又ABC为等边三角形,OE平面ABC,三棱锥的高h=2OE.AB=AC=BC=1,E为ABC的重心,连接CE,CE=,OE=,h=,VS-ABC=SABCh=10.长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形,若在侧棱AA1上至少存在一点E,使得C1EB=90,则侧棱AA1的长的最小值为 （）A.a B.2aC.3a D.4a10.B【解析】设AA1=h,AE=x,A1E=h-x,x0,h,则B

6、E2=a2+x2,C1E2=（a）2+（h-x）2,B=a2+h2,又C1EB=90,所以BE2+C1E2=B,a2+x2+（a）2+（h-x）2=a2+h2,即关于x的方程x2-hx+a2=0,x0,h有解,所以h=+x2a,即侧棱AA1的最小值为2a.二、填空题（每小题5分,共20分）11.（xx淮北二模）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为.11.8+2【解析】由三视图可得该几何体是侧放的直三棱柱,该三棱柱的底面是以1和2为直角边的直角三角形,侧棱长2,故侧面积为2（1+2+）=6+2,表面积为22+6+2=8+2.12.设P,Q为一个正方体表面上的两点,已知此正方体绕着直

7、线PQ旋转（02）角后能与自身重合,那么符合条件的直线PQ有条.12.13【解析】当P,Q是相对两个正方体的中心时,此正方体绕着直线PQ旋转90即可与自身重合,这样的直线PQ有3条;当P,Q是正方体的体对角线时,此正方体绕着直线PQ旋转可与自身重合,这样的直线PQ有4条;当P,Q是对棱两边的中点时,此正方体绕着直线PQ旋转180即可与自身重合,这样的直线PQ有6条,所以符合条件的直线PQ有3+4+6=13条.13.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为.13.【解析】取B1C1的中点E1,连接EE1,D1E1,

8、作PHD1E1,垂足为H,连接C1H,则 PHCC1.过点P作PP1C1H交CC1于点P1,则四边形PP1C1H为矩形,故点P到线段CC1的距离为C1H,当点P在线段D1E上运动时,H在D1E1上运动,故当D1E1C1H时C1H最小,所以所求最小值为C1D1E1以D1E1为底边上的高,又D1E1=,D1E1C1H=D1C1C1E1,可求得C1H=.14.（xx太原一模）已知在直角梯形ABCD中,ABAD,CDAD,AB=2AD=2CD=2,将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D-ABC,当三棱锥D-ABC的体积取最大值时,其外接球的体积为.14.【解析】当三棱锥D-ABC的体积最大时,平面DA

9、C平面ABC,BCAC,所以BC平面ACD.在直角BCD中,直角边BC=,CD=1,则BD=.又AD=1,AB=2,所以ADBD,所以该三棱锥的外接球的球心在AB的中点,即外接球的直径2R=2,体积为R3=.三、解答题（共50分）15.（12分）（xx惠州调研）如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=BC1=2,AA1C1=60,平面ABC1平面AA1C1C,AC1与A1C相交于点D.（1）求证:BD平面AA1C1C;（2）求二面角C1-AB-C的余弦值.15.【解析】（1）由题意可知侧面AA1C1C是菱形,D是AC1的中点,因为BA=BC1,所以BDAC1,又平面ABC1平面

10、AA1C1C,且BD平面ABC1,平面ABC1平面AA1C1C=AC1,所以BD平面AA1C1C.（2）由（1）知BD平面AA1C1C,CD平面AA1C1C,所以CDBD,又CDAC1,AC1BD=D,所以CD平面ABC1,过D作DHAB,垂足为H,连接CH,则CHAB,所以DHC为二面角C1-AB-C的平面角.在RtDAB中,AD=1,BD=,AB=2,又DC=,所以DH=,CH=,所以cos DHC=,即二面角C1-AB-C的余弦值是.16.（13分）如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A底面ABCD,BAD=90,ADBC,且A1A=AB=AD=2BC=2,点E在棱AB上,平

11、面A1EC与棱C1D1相交于点F.（1）证明:A1F平面B1CE;（2）若E为棱AB的中点,求二面角A1-EC-D的余弦值;（3）求三棱锥B1-A1EF的体积的最大值.16.【解析】（1）因为ABCD-A1B1C1D1是棱柱,所以平面ABCD平面A1B1C1D1.又因为平面ABCD平面A1ECF=EC,平面A1B1C1D1平面A1ECF=A1F,所以A1FEC.又因为A1F平面B1CE,EC平面B1CE,所以A1F平面B1CE.（2）因为AA1底面ABCD,BAD=90,所以直线AA1,AB,AD两两垂直,以A为原点,以直线AB,AD,AA1分别为x轴,y轴和z轴,如图建立空间直角坐标系.则A

12、1（0,0,2）,E（1,0,0）,C（2,1,0）,所以=（1,0,-2）, =（2,1,-2）.设平面A1ECF的法向量为m=（x,y,z）,由m=0,m=0,得令z=1,得m=（2,-2,1）.又因为平面DEC的一个法向量为n=（0,0,1）,所以cos=,由图可知,二面角A1-EC-D的平面角为锐角,所以二面角A1-EC-D的余弦值为.（3）过点F作FMA1B1于点M,因为平面A1ABB1平面A1B1C1D1,FM平面A1B1C1D1,所以FM平面A1ABB1,所以FM=FM=FM.因为当点F与点D1重合时,FM取到最大值2,所以当点F与点D1重合时,三棱锥B1-A1EF的体积的最大值

13、为.17.（12分）（xx广东六校联考）如图,将长为4,宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面,记底面上一边AB=t（0t2）,连接A1B,A1C,A1D.（1）当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时,求二面角B-A1C-D的值;（2）线段A1C上是否存在一点P,使得A1C平面BPD,若有,求出P点的位置,没有请说明理由.17.【解析】（1）根据题意可知,直线AA1,AB,AD两两垂直,以直线AB为x轴,直线AD为y轴,直线AA1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.长方体体积为V=t（2-t）1=t（2-t）=1.当且仅当t=2-t,即t=1时体积V有最大值为1

14、.所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时,底面四边形ABCD为正方形,则A1（0,0,1）,B（1,0,0）,C（1,1,0）, =（1,0,-1）, =（0,1,0）,设平面A1BC的法向量为m=（x,y,z）,由取x=z=1,得m=（1,0,1）,同理可得平面A1CD的一个法向量为n=（0,1,1）,又二面角B-A1C-D为钝角,故二面角的值是120（2）根据题意有A1（0,0,1）,B（t,0,0）,C（t,2-t,0）,D（0,2-t,0）, =（t,2-t,-1）,若线段A1C上存在一点P满足要求,不妨设=,可得P（t,（2-t）,1-）,所以=（t-t,（2-t）,1-

15、）, =（-t,2-t,0）.又因为解得t=1,=,所以只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P,位置是线段A1C上,A1PPC=21处.18.（13分）如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABDC,ABAD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.（1）证明B1C1CE;（2）求二面角B1-CE-C1的正弦值;（3）设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.18.【解析】方法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A（0,0,0）,B（0,0,2）,C（1,0,1）,B1（0,2,2）,C1（

16、1,2,1）,E（0,1,0）.（1）易得=（1,0,-1）, =（-1,1,-1）,于是=0,所以B1C1CE.（2） =（1,-2,-1）.设平面B1CE的法向量m=（x,y,z）,则消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为m=（-3,-2,1）.由（1）,B1C1CE,又CC1B1C1,可得B1C1平面CEC1,故=（1,0,-1）为平面CEC1的一个法向量.于是cos=-,从而sin=.所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.（3） =（0,1,0）, =（1,1,1）.设=（,）,01,有=（,+1,）,可取=（0,0,2）为平面ADD1A1的一个法向量.设为直线AM与平

17、面ADD1A1所成的角,则sin =|cos|= .于是,解得=,所以AM=.方法二:（1）因为侧棱CC1底面A1B1C1D1,B1C1平面A1B1C1D1,所以CC1B1C1.经计算可得B1E=,B1C1=,EC1=,从而B1E2=B1+E,所以在B1EC1中,B1C1C1E,又CC1,C1E平面CC1E,CC1C1E=C1,所以B1C1平面CC1E,又CE平面CC1E,故B1C1CE.（2）过B1作B1GCE于点G,连接C1G.由（1）,B1C1CE,故CE平面B1C1G,得CEC1G,所以B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在CC1E中,由CE=C1E=,CC1=2,可得C1G=.在RtB1C1G中,B1G=,所以sinB1GC1=,即二面角B1-CE-C1的正弦值为.（3）连接D1E,过点M作MHED1于点H,可得MH平面ADD1A1,连接AH,AM,则MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.设AM=x,从而在RtAHM中,有MH=x,AH=x.在RtC1D1E中,C1D1=1,ED1=,得EH=MH=x.在AEH中,AEH=135,AE=1.由AH2=AE2+EH2-2AEEHcos 135得x2=1+x2+x,整理得5x2-2x-6=0,解得x=.所以线段AM的长为.