数学八年级上册知识点汇总及常考题型精华版Word文档下载推荐.docx

1、如：ABC全等于 DEF， 写作：注意：若 ABC DEF，点A 的对应点是点D，点 B 的对应点是点 E，点 C的对应点是点F二、判定定理1、三组对应边分别相等的两个三角形全等这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 由 3 可推到（ 简称 SSS或“边边边” ） ，（SAS 或“边角边” ） 。（ASA 或“角边角” ） 。4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等边”）（AAS 或“角角5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等 （HL 或“斜边，直角边” ）所以， SSS,

2、SAS,ASA,AAS,HL 均为判定三角形全等的定理。在全等的判定中，没有AAA角角角和SSA（特例：直角三角形为HL，属于 SSA）边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。A 是英文角的缩写（angle）， S 是英文边的缩写（side）。H是英文斜边的缩写（Hypotenuse ）， L 是英文直角边的缩写（leg）。6. 三条中线（或高、角分线）分别对应相等的两个三角形全等。三、性质三角形全等的条件：1、全等三角形的对应角相等。2、全等三角形的对应边相等3、全等三角形的对应顶点相等。4、全等三角形的对应边上的高对应相等。5、全等三角形的对应角平分线相等。6、全等三角形的对应中线相

3、等。7、全等三角形面积相等。8、全等三角形周长相等。9、全等三角形可以完全重合。 三角形全等的方法：1、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS）2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（SAS）（ASA）第 2 页，共 44 页4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。【 运用 】1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。 的判定却刚好相反。AAS）（HL）而全等2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点

4、，角、边的顺序 写一致，为找对应边，角提供方便。3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。4、用在实际中， 一般我们用全等三角形测相等的距离。可以用于工业和军事。以及相等的角，5、三角形具有一定的稳定性，所以我们用这个原理来做脚手架及其他支撑物体。【 做题技巧 】一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件因此我们可以采取逆向， 要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。然后把所得的等式运用（ AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。有时还需要画辅助线帮助解题。 分析完毕以后要注意书写格式，在全等三

5、角形中，如果格式不写好那么就 容易出现看漏的现象。【 例题分析 】例 1：（2006浙江金华）如图， ABC与ABD中， AD与 BC相交于O 点，1=2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母），使AC=BD，并给出证明.分析：要说明AC=BD，根据图形想到先说明ABC BAD，题目中已经知道 1 2，AB AB，只需一组对边相等或一组对角相等即可解：添加的条件是： BC=AD.证明：在 ABC 与BAD中， 1 2，AB AB， A=A ABC BAD（ AC=BD.SAS） .第 3 页，共 44 页小结：本题考查了全等三角形的判定和性质，答案不惟一，若按照以下方式之

6、一来添加条件：BC=AD， C=D， CAD=DBC， CAB=DBA，都可得 CAB DBA，从而有例 2 （2006攀枝花）如图，点AC=BD.E 在 AB上， AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明C所添条件为 .你得到的一对全等三角形是：EAB .D在已知条件中已有一组边相等，另外图形中还有一条公共边，因此再添这两边的夹角相等或另一组对边也相等即可得出全等三角形CE=ED. 得到的一对全等三角形是CAE DAE.在 CAE 和DAE中， AC=AD， AE=AE， CE=DE，所以CAE DAE（SSS） .本题属于条件和结论同时开放的一道好题目，题目本身并不复

7、杂，但开放程度较高，能激起同学们的发散思维，值得重视例 3.（2008 年永州 ）下列命题是假命题的是（）A两点之间，线段最短B过不在同一直线上的三点有且只有一个圆C一组对应边相等的两个等边三角形全等 D对角线相等的四边形是矩形答案 :解析 : 考查假命题的判定 . 一般判定假命题采用对比定义或举反例. 随意可以画出一个对角线相等但对角线不互相平分的四边形来例 4具备下列条件的两个三角形，全等的是 A两个角分别相等，且有一边相等 B一边相等，且这边上的高也相等 C两边分别相等，且这两边的夹角也相等 D两边且其中一条对应边的对角对应相等, 所以 D是假命题 .知识点扫描 : 全等三角形的判定 .

8、注意对应！题目解析 : A 项没有对应，可举反例：两个三角形，一大一小，有两个角分别相等，但大三角形的短边=小三角形的长边 .B 项高的位置不唯一，可以垂直此边任意变动，故不能判定全等C 项两边及夹角相等，由全等公理可以得到D 项 SSA 不能判定全等 .故选 C第 4 页，共 44 页例 5. 在 ABC 与 A B C中 , A+ B= C, B+C=A ,且b-a=b -c,b+a=b +c,则这两个三角形 （A） 不一定全等（C）根据“ SAS”全等（B） 不全等（D）根据“ ASA ”全等 A+ B=C, B+C=A , C=A=90又 b-a=b-c ,b+a=b +c，两式相加，

9、得则 ABCCB A （SAS） 故选 Cb=b，则 a=c.例 6.一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图（16）所示的残片，你对图中作哪些数据测量后就可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃并说明理由 全等三角形的实际应用问题，要测量的条件必须是可以证明三角形全等的 . 所以测量 A， B 的度数和线段 AB 的长度，用 ASA 得全等 .解:测量 A，B 的度数和线段 AB 的长度，做 A=A，AB=ABB=B，则 ABC和原三角形全等，据ASA 定理例 7如图，已知点 A ，F，E，C 在同一直线上， AF=CE，BEDF ，BE=DF求证： ABCD全等三角形的判定、性质. 平行线的判定 .

10、从图形来看，是一个典型的全等图形.所以想到由全等得到等角，再从等角推出两线平行 .但是注意：在证 AEB CFD 中，不要错误地把AF 与CE 当成了这两个三角形的对应边 其实，AE 与 CF 才是这两个三角形的对应边 AF=CE，A、F、E、C 共线， AE=CF.BEDF， AEB =CFD.AFAEB BECECFD DF在 AEB 和CFD中， AEB CFD， A= C， A BCD.例 8如图， ACB=90 ，AC=BC ，D 为 AB 上一点， AECD 于 交 CD 的延长线于 F求证： BF=CEE，BF DC第 5 页，共 44 页全等三角形的判定及性质和同角互余的两角相

11、等 这个图形也是很典型的全等三角形图形. 所以考虑证 ACECBF（ AAS ），从而由全等性质得到： BF=CE. 证全等用 AAS ，直角相等，和 AC=BC都是显见的，再找一角：到.EAC= FCB，这一相等由同角（ ACE）的余角相等得 AECF， ECACAE=90又 BCA=90， BCF ECA=ECACAE BCF=CAE AECF， AEC=90BFCF， BFC=90又 AC=BC ， BCF CAE BF=CE例 9已知：如图， ABC 和 ADE 是有公共顶点的等腰三角形求证：（1）BD=CE；（ 2） 1=2. 图形复杂，要在复杂图形中找出全等三角形，问题就解决了.

12、找全等要充分利用等边直角三角形的等边和直角条件. 证 EACDAB. BAC= EAD=90 ， BAC+ DAC= EAD+ DAC. 即 BAD=EAC.又 AE=AD,AB=AC, EAC DAB, BD=CE, 1=2.例 10.如图，在 ABC 中， C 为直角， A=30，分别以AB 、AC 为边在ABC 的外侧作正 ABE 与正 ACD ，DE 与 AB 交于 F，求证： EF=FD. 构造全等三角形，过E 作 EGAB于 G.证明 EFG DFA即可 .（AAS） .过 E 作 EG AB 于 G.则 AEG=30在 AEG 与ABC 中，AE=AB ， AEG=CAB=30，

13、 BCA=EGA=90， EAG ABC，EG=AC=AD.又在 ADF 与GEF 中， AD=GE ， AFD= GFE，DAF= EGF=90 ADF GEF， DF=EF.例 11如图，在 ABC 中， AB=AC，DE 是过点 A 的直线， BDDE 于 D，CEDE 于 E（1）若 BC 在 DE 的同侧（如图）且AD=CE，求证： BAAC（2）若 BC 在 DE 的两侧（如图）其他条件不变， 问 AB 与 AC 仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由第 6 页，共 44 页 直接证明垂直无路，要“曲线救国” ，设法证明 DAB+ EAC=90，这还是不能直接达到，注意到DAB

14、和EAC 所在三角形均为直角三角形，所以再转化一下：证 DAB= ACE，这由全等不难得到 .第二问方法与第一问类似，故不赘述ABADCA（1）在 RtABD 和 RtCAE 中， ABD CAE（HL ）， DAB=ACE又 ACE+CAE=90， DAB+CAE=90 BAC=90， AB 与 AC 垂直（2）成立证明同上例 12. （2008 年湘潭 ）（本题满分 6 分）如图，四边形 ABCD是矩形， E是 AB上一点，且 DE=AB，过 C作 CFDE，垂足为F.（1）猜想： AD与 CF的大小关系；（2）请证明上面的结论 .（ 1） ADCF （ 2）四边形 ABCD 是矩形，AE

15、DFDC ,DEAB CD又CFDE,CFD90 ,ADE FCD 考查矩形的性质及直角三角形全等的判定. 猜想AD与 CF的关系 , 可以分析AD,CF 所在的两个三角形ADE与三角形FCD的关系 . 由条件可归纳得 : A=CFD=90, AED=FDC,DE=AB=CD可,证 ADE FCD,从而 AD=CF.【 练习 】：1、（2008 年泰州市） 27在矩形 ABCD 中， AB=2，AD=3 （ 1）在边 CD 上找一点 E，使 EB 平分 AEC，并加以说明；（3 分）（ 2）若 P 为 BC 边上一点，且 BP=2CP，连接 EP 并延长交 AB 的延长线于 F求证：点 B 平

16、分线段 AF；第 7 页，共 44 页 PAE 能否由 PFB 绕 P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由（4 分）2、（2008 年南京市） 21（ 6 分）如图，在矩形ABCD 中，E，F 为 BC 上两点，且 BECF ， AFDE （1） ABF DCE ；（ 2）四边形 ABCD 是矩形3、（ 2008 福建福州）如图，在等腰梯形ABCD 中， AD BC ， M是 AD 的中点， MBMC 4、（ 2008 年遵义市）如图， OAOB，OCOD ，50 ，35 ，则 AECO等于（A 60B 50C 45D 305、（2008 年遵义市）

17、22（10点，一块三角板的直角顶点与点分）在矩形2 AB ， E 是 AD 的中E 重合， 将三角板绕点 E 按顺时针方向旋转 当三角板的两直角边与AB，BC 分别交于点 M，N 时，观察或测量BM与 CN 的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论6、 （2008 年郴州市）如图， ABC 为等腰三角形，把它沿底边 BC 翻折后，得到 DBC请你判断四边形的形状，并说出你的理由ABDCP7（2008 年双柏县 ） 如图，点 P 在 AOB 的平分线上，若使 AOP BOP ，则需添加的一个条件是（只写一个即可，不添加辅助线） ：8（2008 年荆州市）如图，矩形ABCD 中，点 E 是 BC

18、上一点， AEAD ，DFAE于 F，连结 DE，求证： DFDC第 8 页，共 44 页9（ 2008 年龙岩市）如图，在边长为4 的等边三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，点 E、 F 是 AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（A4B 3C2D 310（. 2008 年沈阳市）如图所示，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，连接AE ，交对角线BD 于点 F，连接 CF，则图中全等三角形共有A 1 对B2 对C3 对D4 对11.（2008 苏州）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，12 ，4 （1） ABC ADC ；（2） BODO

19、 12（. 2008 无锡）已知一个三角形的两条边长分别是1cm 和 2cm，一个内角为40 （ 1）请你借助图 1 画出一个满足题设条件的三角形；（ 2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能， 请说明理由（ 3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm 和 4cm，一个内角为彼此不全等的三角形共有40 ”，那么满足这一条件，且个友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度 ,“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹第 9 页，共 44 页13.（2008 年西宁市 23）如图，

20、一块三角形模具的阴影部分已破损（ 1）只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC 的形状和大小完全相同的模具A B C ？请简要说明理由14.（2008 年广东湛江市 23）如图 7 所示，已知等腰梯形ABCD 中， ADBC， AB=DC，AC 与 BD 相交于点 O请 在图中找出一对全等的三角形，并加以证明15.（2008 年重庆市）已知：如图，在梯形ADBC， BC=DC，CF 平分 BCD，DFAB ，BF的延长线交 DC 于点 E。 求证：（1） BFC DFC；（ 2） AD=DE16、（ 2008 年宜宾市）已知: 如图 ,AD=

21、BC,AC=BD求.证 :OD=OC17. （ 2008 年泰安市）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1 所示放置，DC 图 2 是由它抽象出的几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连结图 2图 1（ 1）请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（ 2）证明： DCBE 18. （ 2008 年聊城市）如图，矩形AC 与 BD 的交点，过 O 点的直线ABCD 中， O 是EF 与 AB， CD 的延长线分别交于E， F 第 10 页，共 44 页（ 1）求证： BOE DOF ；（ 2）当 EF 与 AC 满足什么关系时，以 为顶点的四边形是菱形？证

22、明你的结论A， E， C，F第二章轴对称如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴一、1.轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴， 折叠后重合的点是对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称2. 图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线3.轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形

23、状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称第 11 页，共 44 页4.线段的垂直平分线（ 1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线， 线（或线段的中垂线） 叫做这条线段的垂直平分（ 2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来， 与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合二、轴对称变换1.轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形

24、经过轴对称变换后得到2.轴对称变换的性质（ 1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（ 2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称 轴的对称点（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分3.作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图 形三、用坐标表示轴对称1.关于坐标轴对称点 P（ x， y）关于 x 轴对称的点的坐标是（点 P（ x， y）关于 y 轴对称的点的坐标是（2.关于原点对称 点 P（ x， y）关于原点对称的点的坐标是（3.关于坐标轴夹角平分线对称x，-y）-x，y）-x，-y）点 P（x ，y）关于第一、 三象限坐标轴夹角平分线y=x 对称的点的坐标是 （y，x）点 P（ x， y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线（- y，- x）4.关于平行于坐标轴的直线对称点 P（ x， y）关于直线 x=m 对称的点的坐标是（y= - x 对称的点的坐标是2m-x， y）；点 P（ x， y）关于直线 y=n 对称的点的坐标是