1、(2)探究及发现:如图,在(1)中若90,点D变为BC延长线上一动点可以发现:线段BD和CE的数量关系是_;线段BD和CE的位置关系是_;(3)思考及判断:如图,在(1)中若90,AB2BDBC,判断四边形ADCE的形状,并说明理由四、如图1,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是线段OC上一点,过点A作BE的垂线,交线段OB于点,垂足为点,(1)求证:OG=OE;(2)如图2,若点E在AC的延长线上,过点A作BE的垂线,交OB的延长线于点G,垂足为点F,求证OG=OE(3)如图3,将图1 中的“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”,且ABC=60度,其余条件不变,试求:的值。五
2、、如图1,在RtABC中,AC=BC, C 90,点D是CB的中点,将ACD沿AD折叠后得到AED,过点B作BF平行AC,交的延长线于点。1、 问线段BF和EF的数量关系?并说明理由。2、若将图1中“AC=BC”改成“ACBC”,其他条件不变,如图2,那么1中的发现是否仍然成立?请说明理由。3、若将图1中“在RtABC中,AC=BC, C 90”改为“在ABC中”,其他条件不变,如图3,那么1中的发现是否仍然成立,请说明理由。六、两个全等的直角三角板ABC和DEF重叠在一起,BAC=EDF=30,AC=DF=2ABC固定不动,将DEF沿AC平移(点D在线段AC上移动)(1)猜想及证明:如图,当
3、点D为AC的中点时,请你猜想四边形BDCE的性状,并证明结论;(2)思考及验证:如图,连接BD,BE,CE,四边形BDCE的形状在不断的变化,它的面积变化吗?若不变,求出其面积;若变化,请说明理由;(3)操作及计算:如图,当点D为AC的中点时,将点D固定,然后再将DEF绕点D顺时针旋转60,若点P为线段AC延长线上一动点,求PE+PF的最小值七、(2014山西模拟)问题情境:数学活动课上,老师提出了一个问题:如图,已知在ABC中,ACB=90,AC=BC,点D为直线AB上的一动点(点D不及点A,B重合)连接CD,以点C为旋转中心,将CD逆时针旋转90得到CE,连接BE,试探索线段AB,BD,B
4、E之间的数量关系小组展示:“希望”小组展示如下:解:线段AB,BD,BE之间的数量关系是AB=BE+BD 证明:如图ACB=90,DCE=90ACB=DCEACB=DCB=DCE-DCB即ACD=BCECE是由CD旋转得到CE=CD则在ACD和BCE中,AC=BCACD=BCECD=CEACDBCE(依据1)AD=BE(依据2)AB=AD+BDAB=BE+BD反思及交流:(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指:依据1:_依据2:(2)“腾飞”小组提出了及“希望”小组不同的意见,认为还有两种情况需要考虑,你根据他们的分类情况直接写出发现的结论:如图,当点D在线段AB的延长线上时,三
5、条点段AB,BD,BE之间的数量关系是_如图,当点D在线段BA的延长线上时,三条线段AB,BD,BE之间的数量关系是_(3)如图,当点D在线段BA的延长线上时,若CD=4,线段DE的中点为F,连接FB,求FB的长度八、如图1,在ABC和AEF中,BAC=EAF=,AB=AC,AE=AF,点D是BC的中点,点M是EF的中点,连接CE,点N是CE的中点,连接DN,MN(1)如图2,将AEF绕点A旋转,使点E,F分别在边BA,CA的延长线上试探究线段DN及MN的数量关系,并证明你的结论;此时,DNM及之间存在等量关系,这个等量关系为_。请说明理由(2)将AEF绕点A旋转,使点E落在ABC内部,如图3
6、,此时,你在(1)中得到的、两个结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。九、如图(1),点F是正方形ABCD的边AB上一点,以AF为边在正方形的外部作AEF,使AFE=90,AF=FE,点O是线段CE的中点,连接OB,OF,请探究线段OB,OF的数量关系和位置关系小颖的思路:延长FO交BC于点G,通过构造全等三角形解决(1)请按小颖的思路解决图(1)中的问题:证明:EOFCOG;直接写出OB,OF的位置关系为_,数量关系为_(2)将图(1)中的AEF绕点A旋转,使AE落在对角线CA的延长线上,其余条件都不变,请写出此时OB,OF的数量关系和位置关系,并证明;(3)将图(2)中的
7、正方形变为菱形,其中ABC=60,将等腰AEF的顶角变为120,其余条件都不变,此时线段OB,OF的位置关系为_,OBOF十、如图1,分别过线段AB的端点A、B作直线AM、BN,且AMBN,MAB、NBA的角平分线交于点C,过点C的直线l分别交AM、BN于点D、EABC是直角三角形;(2)在图1中,当直线lAM时,线段AD、BE、AB之间有怎样的数量关系?证明你的猜想;(3)当直线l绕点C旋转到及AM不垂直时,在如图2、3两种情况下,(2)中的三条线段之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并选择一种情况给予证明十一、已知在ABC和DBE中,AB=AC,DB=DE,且BAC=BDE=,点D在A
8、BC的内部,连接AD、CE,探究AD和CE的数量关系为解决这些问题,小明先研究一些特殊情况,最后得出结论。(1)如图1,若BAC=BDE=60,则线段CE及AD之间的数量关系是_;并证明。(2)如图2,若BAC=BDE=120,且点D在线段AB上,则线段CE及AD之间的数量关系是_;(3)如图3,若BAC=BDE=,请你探究线段CE及AD之间的数量关系(用含的式子表示),并证明你的结论十二、问题情境:将一副直角三角板(RtABC和RtDEF)按图1所示的方式摆放,其中ACB=90,CA=CB,FDE=90,O是AB的中点,点D及点O重合,DFAC于点M,DEBC于点N,试判断线段OM及ON的数
9、量关系,并说明理由探究展示:小宇同学展示出如下正确的解法:OM=ON,证明如下:连接CO,则CO是AB边上中线,CA=CB,CO是ACB的角平分线(依据1)OMAC,ONBC,OM=ON(依据2)反思交流: (2)你有及小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程拓展延伸:(3)将图1中的RtDEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置,使点D落在BA的延长线上,FD的延长线及CA的延长线垂直相交于点M,BC的延长线及DE垂直相交于点N,连接OM、ON,试判断线段OM、ON的数量关系及位置关系,并写出证明过程十三、数学活动求重叠部分的面积问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,将两块
10、全等的直角三角形纸片ABC和DEF叠放在一起,其中ACB=E=90,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D及边AB的中点重合,DE经过点C,DF交AC于点C求重叠部分(DCG)的面积(1)独立思考:请解答老师提出的问题(2)合作交流:“希望”小组受此问题的启发,将DEF绕点D旋转,使DEAB交AC于点H,DF交AC于点G,如图2,你能求出重叠部分(DGH)的面积吗?请写出解答过程.(3)提出问题:老师要求各小组向“希望”小组学习,将DEF绕点D旋转,再提出一个求重叠部分面积的问题“爱心”小组提出的问题是:如图3,将DEF绕点D旋转,DE,DF分别交AC于点M,N,使DM=MN,求重叠部分(DM
11、N)的面积任务:请解决“爱心”小组所提出的问题,直接写出DMN的面积是_请你仿照以上两个小组,大胆提出一个符合老师要求的问题,并在图4中画出图形,标明字母,不必解答十四、在ABC中,AC=BC,ACB=90,CDAB于点D,问题发现:(1)如图1,若ACB=90,点是线段上的一个动点(点E不及点A、B重合),连接CE,将线段CE绕点C逆时针旋转90度,得到线段CF,连接BF,猜想线段CD,BE,BF之间的数量关系,并证明你的结论。(2) 如图2,问题1中,若点E是线段AB延长线上一个动点时,(点E不及点A、B重合),其他条件不变,请直接写出线段CD,BE,BF之间的数量关系,。拓广探索:(3)
12、 若ACB=60,点是射线上的一个动点,连接CE,将线段CE绕点C逆时针旋转60度,得到线段CF,连接BF,如图3,点是线段上的一个动点(点E不及点A、B重合),则线段CD,BE,BF之间的数量关系是 如图4,若点E是线段AB延长线上一个动点时,(点E不及点A、B重合),则线段CD,BE,BF之间的数量关系是 提出猜想:若ACB=,CE=kAB (k为常数),点是射线上的一个动点(点E不及点A、B重合),连接CE,将线段CE绕点C逆时针旋转度,得到线段CF,连接BF,请你利用上述条件,根据前面的解答过程提出一个类似的猜想,并在图5 中画出图形,表明字母,不必解答。十五、如图1,在ABC中, A
13、CB=90, BAC=60,点E角平分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的线段,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点,DHAC,垂足为H,连接EF,HF。(1)如图1,若点H是AC的中点,AC= ,求AB ,BD的长。(2)如图1,求证:HF=EF。(3)如图2,连接CF,CE,猜想:CEF是否是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由。十六、如图(1),在ABC中,ACB=90,AC=BC=2,点D在AC上,点E在BC上,且CD=CE=1,连接DE猜想验证:(1)线段BE及AD的数量关系是 ,位置关系是 (2)如图(2),当DCE绕点C顺时针旋转一定角度后,(1)中的结论是
14、否仍然成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由。(3)将图1 中CDE绕点C顺时针旋转角度(0180)至DCE,在旋转过程中,四边形ACED能成为平行四边形吗?如果能,请写出的角度,并证明;如果不能,请说明理由(4)观察发现:在图2中,连接BE,点F、G、H、I分别为四边形ABED各边的中点,连接FG、GH、IF,在整个旋转过程中,试判断四边形FGHI的形状,并说明理由。解决问题:(5)当=135时,四边形FGHI的面积是 提出问题:请结合图2,提出一个数学问题(不必解答)十七、如图1,正方形ABCD中,点E是线段BC上一点,连接AE,并将线段AE绕点A顺时针旋转90得到线段AF,连
15、接FC。设线段FC及直线AB相交于点G,试探究线段CE及的数量关系。操作思考:1、小颖同学先对这一问题的“特殊”情况进行了分析。如图,当点E及点B重合时,她发现如下结论:点是CF的中点;CE=2BG。小颖得到的结论中,一定成立的是 (填序号)2、完成“特殊”情形分析后,小颖对这一问题的“一般”情形进行了探究,如图1,当点E在线段BC上(不及点B、C重合时),试判断(1)中的两个结论是否都成立,并说明理由。拓展探究:3、如图3,小明将图1 中的正方形ABCD变为矩形,其中AB=1,BC=2,点E不及点、C重合,其余条件不变,设线段CE的长为x,BC的长为y,请写出y及x 之间的函数关系式及自变量的取值范围。十八、如图:已知在RtABC中,AC=BC,ACB=90,CDAB于点D,点E、F分别在A和BC上,1=2,FGAB于点G,求证:CDEEGF(1)阅读理解,完成解答本题证明的思路可用下列框图表示:根据上述思路,请你完整地书写这道练习题的证明过程;(2)特殊位置,证明结论若CE平分ACD,其余条件不变,试判断AE及BF的数量关系,并说明理由;(3)知识迁移,探究发现如图,已知在RtABC中,AC=BC,ACB=90,CDAB于点D,若点E是DB的中点,点F在直线CB上且满足EC=EF,请直接写出AE及BF的数量关系
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