《电磁场与电磁波》课后习题解答第五章.docx

1、电磁场与电磁波课后习题解答第五章电磁场与电磁波课后习题解答(第五章)习题及参考答案5.1 一个点电荷 Q与无穷大导体平面相距为d，如果把它移动到无穷远处，需要作多少功？解：用镜像法计算。导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替，镜像电荷的大小为-Q，位于和原电荷对称的位置。当电荷Q离导体板的距离为x时，电荷Q受到的静电力为 静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的外力 在移动过程中，外力f所作的功为当用外力将电荷Q移动到无穷远处时，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为。也可以用静电能计算。在移动以前，系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能

2、：移动点电荷Q到无穷远处以后，系统的静电能为零。因此，在这个过程中，外力作功等于系统静电能的增量，即外力作功为。52 一个点电荷放在直角导体内部（如图5-1），求出所有镜像电荷的位置和大小。解：需要加三个镜像电荷代替导体面上的感应电荷。在（-a，d）处，镜像电荷为-q，在（错误！链接无效。）处，镜像电荷为q，在（a，-d）处，镜像电荷为-q。 图5-153 证明：一个点电荷q和一个带有电荷Q、半径为R的导体球之间的作用力为 其中D是q到球心的距离（DR）。证明：使用镜像法分析。由于导体球不接地，本身又带电Q，必须在导体球内加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。在距离球心b=R2/D处，镜像

3、电荷为q= -Rq/D；在球心处，镜像电荷为。点电荷q受导体球的作用力就等于球内两个镜像电荷对q的作用力，即 54 两个点电荷+Q和-Q位于一个半径为a的接地导体球的直径的延长线上，分别距离球心D和-D。（1）证明：镜像电荷构成一电偶极子，位于球心，偶极矩为2a3Q/D2。（2）令Q和D分别趋于无穷，同时保持Q/D2不变，计算球外的电场。解：（1）使用导体球面的镜像法叠加原理分析。在球内应该加上两个镜像电荷：一个是Q在球面上的镜像电荷，q1 = -aQ/D，距离球心b=a2/D；第二个是-Q在球面上的镜像电荷，q2 = aQ/D，距离球心b1=-a2/D。当距离较大时，镜像电荷间的距离很小，等

4、效为一个电偶极子，电偶极矩为（2）球外任意点的电场等于四个点电荷产生的电场的叠加。设+Q和-Q位于坐标z轴上，当Q和D分别趋于无穷，同时保持Q/D2不变时，由+Q和-Q在空间产生的电场相当于均匀平板电容器的电场，是一个均匀场。均匀场的大小为，方向在-ez。由镜像电荷产生的电场可以由电偶极子的公式计算： 55 接地无限大导体平板上有一个半径为a的半球形突起，在点（0，0，d）处有一个点电荷q（如图5-5），求导体上方的电位。解：计算导体上方的电位时，要保持导体平板部分和半球部分的电位都为零。先找平面导体的镜像电荷q1 = -q，位于（0，0，-d）处。再找球面镜像电荷q2 = -aq/d，位于（

5、0，0，b）处，b= a2/d。当叠加这两个镜像电荷和原电荷共同产生的电位时，在导体平面上和 图5-5球面上都不为零，应当在球内再加上一个镜像电荷q 3 =aq/d，位于（0，0，-b）处。这时，三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在导体平面和球面上都为零。而且三个镜像电荷在要计算的区域以外。导体上方的电位为四个点电荷的叠加，即其中 56求截面为矩形的无限长区域（0xa，0yb）的电位，其四壁的电位为 解：由边界条件知，方程的基本解在y方向应该为周期函数，且仅仅取正弦函数，即 在x方向，考虑到是有限区域，选取双曲正弦和双曲余弦函数，使用边界条件，得出仅仅选取双曲正弦函数，即 将基本解进行线性组合

6、，得 待定常数由x=a处的边界条件确定，即 使用正弦函数的正交归一性质，有 化简以后得 =求出系数，代入电位表达式，得 57一个截面如图5-7所示的长槽，向y方向无限延伸，两则的电位是零，槽内y，0，底部的电位为 求槽内的电位。解：由于在x=0和x=a两个边界的电位为零，故在x方向选取周期解，且仅仅取正弦函数，即 图5-7在y方向，区域包含无穷远处，故选取指数函数，在y时，电位趋于零，所以选取由基本解的叠加构成电位的表示式为 由基本解的叠加构成电位的表示式为 待定系数由y=0的边界条件确定。在电位表示式中，令y=0，得 当n为奇数时，当n为偶数时，。最后，电位的解为 57若上题的底部的电位为重

7、新求槽内的电位。解：同上题，在x方向选取正弦函数，即，在y方向选取。由基本解的叠加构成电位的表示式为 将y=0的电位代入，得 应用正弦级数展开的唯一性，可以得到n=3时，其余系数，所以 59 一个矩形导体槽由两部分构成，如图5-9所示，两个导体板的电位分别是U0和零，求槽内的电位。解：将原问题的电位看成是两个电位的叠加。一个电位与平行板电容器的电位相同（上板电位为U0，下板电位为零），另一个电位为U，即 图5-9其中，U满足拉普拉斯方程，其边界条件为 y=0 , U=0 y=a , U=0x=0时, x时，电位U应该趋于零。U的形式解为 待定系数用x=0的条件确定。 化简以后，得到 =只有偶数

8、项的系数不为零。将系数求出，代入电位的表达式，得 510 将一个半径为a的无限长导体管平分成两半，两部分之间互相绝缘，上半(0）接电压U0，下半（2）电位为零，如图5-10，求管内的电位。解：圆柱坐标的通解为 由于柱内电位在r=0点为有限值，通解中不能有lnr和r -n项，即有柱内电位是角度的周期函数，A0=0。因此，该题的通解取为 图5-10各项系数用r=a处的边界条件来定。 柱内的电位为 511 半径为无穷长的圆柱面上，有密度为的面电荷，求圆柱面内、外的电位。解：由于面电荷是余弦分布，所以柱内、外的电位也是角度的偶函数。柱外的电位不应有项。柱内、外的电位也不应有对数项，且是角度的周期函数。

9、故柱内电位选为柱外电位选为 假定无穷远处的电位为零，定出系数。在界面r=a上， 即 解之得 最后的电位为 512 将一个半径为a的导体球置于均匀电场E0中，求球外的电位、电场。解：采用球坐标求解。设均匀电场沿正z方向，并设原点为电位零点（如图5-12）。因球面是等位面，所以在r=a处，=0；在r处，电位应是=-E0rcos。球坐标中电位通解具 图5-12有如下形式： 用无穷远处的边界条件r及=-E0rcos，得到， A1=-E0 ,其余An=0。再使用球面上（r=a）的边界条件： 上式可以改写为 因为勒让德多项式是完备的，即将任意的函数展开成勒让德多项式的系数是惟一的，比较上式左右两边，并注意，得，即，其余的。故导体球外电位为 电场强度为 513 将半径为a、介电常数为的无限长介质圆柱放置于均匀电场E0中，设E0沿x方向，柱的轴沿z轴，柱外为空气，如图5-13， 选取球心处为电位的参考点，则球内电位的系数中，.在r处，电位，则球外电位系数中，仅仅不为零，其余为零。因此，球内、外解的形式可分别简化为 再用介质球面（r=a）的边界条件=及，得 比较上式的系数，可以知道，除了n=1以外，系数、均为零，且 由此，解出系数 最后得到电位、电场：