第五章 随时间变化的电磁场Word下载.docx

1、d t d t d t=-=-=-式中m =m N 称为磁通匝链数。1感应电动势的大小只取决于磁感通量的变化率md dt,与m 的大小及m 无直接关系。2在用=-m d dt 确定的方向时,必须满足下述约定,即和m 的正方向构成右手螺旋关系（如图所示,在这种约定下,所确定的的方向才与楞次定律相一致。因此,上式中的负号是楞次定律的数学表示,是楞次定律在这种正方向约定下的体现。 3当根据=-d dt 中的负号来确定的方向时,应按以下几个步骤进行: 任意规定回路的一个绕行方向为回路的正方向,当取正值时,表示其方向与此方向一致;当取负值时,表示其方向与规定的方向相反。 用右手螺旋关系确定以回路为边界的

2、曲面正法线矢量n e的方向。 由B与n e的夹角为锐角或钝角来确定m 的正负,依此确定m d 的正负。 由=-知,的正负只由m来确定。当m0时, 0,表示的方向与规定的回路正方向相反;0,表示的方向与规定的回路正方向相同。4、用法拉第电磁感应定律求感应电动势方法1闭合导线回路情况 确定磁感强度（,B x y z t的分布规律及其方向。 如果磁感强度（,B x y z t是均匀分布的,由m B S = 计算穿过闭合导线回路的磁感通量随时间变化的函数（m t 。如果磁感强度（,B x y z t是不均匀分布的,在闭合导线回路平面上取一面积元dS ,先计算穿过面积元磁通量m d B dS =,然后由

3、m sB dS= 计算穿过整个闭合导线回路磁通量随时间变化的函数（m t 。 将（m t 对时间求导,求得感应电动势大小。 利用所求结果的正、负或楞次定律确定感应电动势的方向。 2一段导体的情况不闭合导线不存在磁通量的概念,但可以假象一条曲线与该段导线组成闭合回路,并且总是设法使假象的曲线段上没有感应电动势产生,则应用m d dt所求得的闭合回路内的总感应电动势就等于该段导线上的感应电动势。5、例题例5.1-1 一矩形闭合导线回路放在均匀磁场中,磁场方向与回路平面垂直,如图所示,回路的一边ab 可以在另外的两条边上滑动,在滑动过程中,保持良好的电接触,若可动边的长度为l ,滑动速度为v ,求回

4、路中的感应电动势。解:取回路面积的正法线方向与磁场的方向一致,则磁场对回路圈围面积的磁通量为由法拉第电磁感应定律,有因为电动势正方向由a 到b ,上式的负号表示滑动边中电流的方向由b 到a 。例5-1-2 一根无限长的直导线,其中通有变化的电流,电流以恒定的速率J 0增长,一长为a 宽为b 的矩形导线框,与直线电流位于同一平面,平行于直导线的两条边到直导线的距离分别为R 和R+b 。如图所示,试求导线框中的感应电动势。 解:直导线中电流产生的磁场的磁感强度为因（I I t =,故（B B t =。磁场对导线框圈 围面积中一宽为dr 的狭条的磁通量为于是由法拉第电磁感应定律,导线框中的感应电动势

5、为的正方向为逆时针方向。 例5.1-3 一长螺线管,长度l=1m ,截面积S=1cm ,绕有N 1=1200匝导线,通有直流电流I=2A ,螺线管外绕有N 2=200匝的线圈,线圈的总电阻R=100,如图所示,问当螺线管中的电流反向时,通过外线圈导线截面上的总电量为多少?当螺线管中的电流反向时其磁场亦反向,于是通过线圈的磁通量发生变化,导线中产生感应电动势。螺线管中磁场的磁感强度为磁场对外线圈没匝的磁通量为 对整个外线圈的磁通匝链数为m Blx=m d dx Bl Blv dt dt=-=-=-02I B r=02m Id Badr adr r =00ln 22R b m R aI aI dr

6、 R b r b+=000ln ln 22a aJ d R b dI R b dt b dt R +=-=-=-0NB I l=1m N BS IS l=外线圈中感应电动势为 外线圈中感应电流为在dt 时间内通过外线圈导线截面的电量为通过导线截面的总电量为1、动生电动势1什么是动生电动势?组成回路的导体（整体或局部在恒定磁场中运动时,导致回路中磁通量的变化,回路中产生的电动势称为动生电动势。2动生电动势是怎样产生的?动生电动势是由磁场作用于运动导体中带电粒子的洛伦兹力（非静电力引起的,根据 洛伦兹力公式可得出回路C中的动生电动势为（Cv B dl=式中v为导体线元dl 的运动速度,B 为dl

7、所在处的磁感应强度。回路C可以表示一段任意形状的线状导体,也可表示任意形状的线状导体回路,还可以表示大块导体中的一段线段。电动势的方向由v B 的方向决定,从负极指向正极。与动声电动势相联系的非静电力是由与导体的运动相联系的洛伦兹力引起的,它是总洛伦兹力的一个分力。在研究运动导体的电磁感应现象时,计算磁感通量的回路必须是物质（导体的回路,并必须把组成闭合回路的全部导体质元都考虑在内。如果回路在运动过程中发生折断,使回路中折断点所描绘的轨迹以适当的方式补到回路上去,使回路闭合。否则就会出现“通量法则的详谬”,即d m v B dt -。 2、感应电场及其性质1什么是感应电场（涡旋电场变化的磁场会

8、在其周围激发一种电场,它的电场线是闭合的,这种电场称为感应电场,也称为涡旋电场。2什么是感生电动势?处于磁场中的闭合回路,由于磁场发生变化而使回路中磁通量变化,回路中产生的电动势称为感生电动势。3感生电动势是怎样产生的?产生感生电动势的非静电力是变化磁场产生的感应电场。若用K E表示感应电场,则感1220m N N N IS l=22（m md N d N dt dt=-=-2m d N i R R dt=-2m Ndq idt d R =-212221（m m m m m N N q dq d R R =-=-1202N N IS Rl =22m N R =61.2110C -=应电动势为K

9、 C E dl 回路的积分方向为所设的的正方向,当0时,的方向与积分方向相同,反之 相反。 导体随时间变化的磁场中运动时,运动导体回路C 中的感应电动势为（K CE v B dl+或者0m m m v B d d dtdt dt =-=-+ 恒量 空间同时存在电荷和变化磁场时,则任一点的电场为 K S E E E =+式中K E为感应电场,S E为静电场。 按照引起磁通量变化原因不同,把感应电动区分为动生电动势和感生电动势,从参考系变换的观点看,只具有相对意义。在某些情况下,同一感应电动势,在某一参考系内看,是感生的,在另一参考系内看,却变成动生的。但是在一般情况下,不可能通过坐标变换,将感生

10、电动势归结为动生电动势;反之亦然。4感应电场与变化的磁场的关系感应电场对任意闭合路径的线积分取决于磁感强度的变化率对这一闭合路径所圈围面积的通量,即K C S BE dl dS t =- 时,K E 与B t 组成左手螺旋;当B t 00,表示与设定的正方向相同,反之相反。 对不闭合导线,可以假想一条曲线与该段导线组成闭合回路,并且总是设法使假想的曲线段上没有动生电动势产生,则应用=m d dt-所求得的闭合回路的总电动势就是该段导线上的电动势。5、感生电动势的计算方法1直接积分法（感应电场力法K CE dl 利用关系式K CE dl SB dS t =- ,确定感应电场K E 的分布。 设定

11、积分方向为的正方向,如由a b 。 在导体上取线元dl ,并确定dl与K E 的夹角。 由公式b ab K a E dl=求解。 根据计算结果正负或楞次定律确定电动势方向。当0时,电动势方向由a 到b ;反之相反。2用电磁感应定律求解步骤与应用该定律求动生电动势相同（略6、例题例5.2-1 在与磁感强度为B 的均匀恒定磁场垂直的平面内,有一长为L 的直导线ab ,导线绕a 点以匀角速转动,转轴与B 平行,求ab 上的动生电动势a,b 之间的电压。（1用洛伦兹力法求解。在ab 上任取一线元dl ,其与B 垂直,且B 与dl 同向,如图（a ,故图（a 0ab 说明动生电动势由a 向b ,ab 间

12、的电势差为（2用法拉第电磁感应定律求解。设ab 在dt 时间内转了d 角,则它扫过的面积为2L d ,如图（b ,磁场对此面积的磁通为 由法拉第电磁感应定律得图（b 例5.2-2 考虑一无限长的圆柱形区域,圆柱的半径为a ,已知圆柱形区域内充满均匀的且随时间作低频率简谐变化的磁场,磁场与圆柱轴线平行,在圆柱形区域外,没有磁场,即其中B0 、和 都是恒量,试求空间各处的电场强度。由于变化的磁场分布在无限长的圆柱形区域内,感应电场的分布具有圆柱对称性。在圆柱区域内,作一半径为r a 的圆周C 2,感应电场对C 2环流为（b b b ab a a a v B dl vBdl Bldl =12BL=2

13、12ba ab UBL =212m d BL d =221212m d d BL dt dt BL =B （cos（0a r e a t B x +0（a r 11k C S B E dl dSt =-22k B E r rt =-011sin（22k B E r B r t t =-=+当ar 时22K C S B E dl dS t=-2K B E r at =-r a 当时2201sin（22k a B a E B t r t r =-=+K E的方向沿柱坐标的e 方向（顺时针方向。任一时刻,电场强度与r 的关系如图（b 所示。例5.2-3 有金属棒MN ,长为L ,放在例2磁场中,金属

14、棒位于垂直于磁场的平面内,圆形区域的中心到棒的距离为h ,如图（a 所示,求棒的电动势。（1感应电场力法。沿金属MN 求积分得说明电动势的方向由M 指向N 。作辅助线OM 与ON ,如图（b 因场强K E与OM 及ON 垂直,故OM 及ON 段的感应电动势等于零。可见闭合曲线OMNO 的感应电动势即为MN 段的电动势。OMNO 所围面积为取电动势的参考方向为逆时针方向,于是穿过闭合曲线OMNO 的磁通量为得表示势的方向由M 指向N 。 图（b 例5.2-4 在电子感应加速器中,电子被磁场控制在一个环形真空的圆轨道上运动,同时受到变化磁场产生的感应电场的作用而加速,证明:轨道平面上的平均磁感强度

15、必须是轨道上磁感强度的两倍,才能使电子轨道半径在电子能量增加的过程中保持恒定。电子感应加速器是加速电子的设备,其结构原理如图（a 所 示。N 、S 为两个磁极,间隙放一环形真空室,环面与磁场垂直。 磁场用低频强电流激励。工作时感应电场使电子加速,磁场的洛伦兹力使电子沿确定的圆周运动。设电子轨道的半径是R ,则在电子轨道上的电场强度可计算如下:B 为电子轨道平面上的平均磁感强度。感应电场力使电子加速,根据牛顿第二定律有（Kd m eE dt=-N M N k M E dl =cos 2N M r dB dl dt =02L h dBdl dt =h dB L dt=0M N S hL =1B S

16、 hLB =- 102m d dB hL dt dt=-=22k dB E R Rdt =-2k R dBE dts dB E dl dS dt=-（22d m R dB edt dteRB m =磁场的洛伦兹力使电子作周运动,即R B 为电子轨道上的磁感强度。经比较得例5.2-5一非常长的同轴电缆,内圆筒的半径为R 1,外圆筒的半径为R 2,今在电缆中通以随时间变化的电流I ,I 的变化率为恒量b ,试求圆筒轴线上的感应电场的强度。根据Bt 的分布情况和对称性,可知轴线上感应电场的分布与无限长多层螺线管的轴线上磁场的分布相同。在电缆外面,即2r R 处不存在电场。作一矩形闭合路径,如图所示,

17、计算感应电场对此路径的环流为 由于于是得方向沿轴向下。1、互感现象与互感系数由于某个回路1C 中的电流发生变化,从而在邻近的另一个回路2C 中产生感应电动势的现象,称为互感现象。所产生的感应电动势称为互感电动势。设12是回路2C 的磁场对回路1C 的磁通匝链数,21是1C 的磁场对2C 的磁通匝链数。则两个回路中的互感电动势分别为: 12212d dI M dtdt =-2112121R vevB m R =R mv eRB =12R B B=21R k k R BB E dl E l dS l dr t t =-=-2I B r =0022BdI b t r dt r =2100212ln

18、2R k R b E drrR b R =-=-式中:122M I =称为回路2C 对1C 的互感系数,1MI =称为回路1C 对2C 的互感系数,可以证明12M =21M =M ,M 称为互感系数,简称互感。 互感系数取决于两线圈的几何形状,相对位置以及周围磁介质的性质,与回路通电与否无关。 互感系数可正可负,当外来的磁通量与本身的磁通量符号相同,互感系数为正值,反之为负值。2、自感现象与自感系数由于回路中的电流发生变化,而在回路本身产生感应电动势的现象,称为自感现象。所产生的感应电动势成为自感电动势。设是回路电流所产生的磁场对回路本身的磁通匝链数,则回路中的自感电动势为:dI Ldt =-

19、式中L I 称为自感系数,简称自感。 自感系数取决于线圈的大小、形状、匝数和磁介质的性质等。 自感系数是电路“惯性”大小量度。 对于粗导线构成的回路,当整个回路的电流为I,回路仅包含一匝线圈时,如图所示,与磁感通量m d 相交链的电流I ,与I 相联系的电流有II 匝,故磁感通量m d 对回路的总磁通匝链数的贡献为m mI d I 3、互感系数和自感系数计算方法1计算互感系数 在有互感作用的两线圈回路中,假设某一回路中通过电流为1I 。 根据电流1I 及有关定律,确定磁场B的分布。 求出该磁场在另一线圈中穿过的磁通匝链数为21。 由公式M I=求出互感系数。 如果一线圈回路中电流变化率1dI

20、dt 和另一线圈回路中的互感电动势21已知,或者通过其他条件能将1dI dt 及21求出,则用公式/I M dI dt =-2计算自感系数 假设线圈回路通有电流I。 根据电流I及有关定律,确定磁场B 求出该磁场在线圈自身回路中穿过的磁通匝链数。求出自感系数。 如果回路中电流变化率dIdt 和自感电动势已知,或者通过其它条件中将dIdt 及求出,则用公式/L dI dt 4、例题例5.3-1 计算一长螺线管的自感系数设一长螺线管的长度为l ,绕有N 匝导线,螺线管的半径r 比其长度小得多,想象在螺线管中通有电流I ,如果忽略端部效应,则管内磁场的磁感强度为磁场对螺线管每匝线圈的磁感通量为磁通匝链

21、数为自感系数为式中n 为螺线管上单位长度的匝数,V 为螺线管的体积。 例5.3-2 求两同轴螺线管之间的互感设一长螺线管,长为1l 、半径为r 1（l r ,单位长度上有1n匝导线,在螺线管外部再紧绕一螺线管,长为2l 、单位长度有2n 匝导线,如图所示。假定在螺线管1中通以电流1I ,则磁场为对螺线管2每一匝的磁感通量为螺线管1的磁场对螺线管2的磁通匝链数为互感系数 式中2V 是螺线管2的体积。 例5.3-3 计算耦合系数设有两个线圈。如图所示,线圈1C 中的电流1I 的磁场对线圈1C 本身的磁感通量为0N B I l=20m N B S I r l= 2m m N N I r l=2220

22、0m L n l r n V I=101B nI = 21102121r I n S B = 122210212221I r l n n l n = 2210222101Vn n r l n n I M =111L I 对线圈2C 的磁感通量21与1成正比,即线圈2C 中的电流2I 对线圈2C 本身的磁感通量为对线圈1C 的磁感通量为由此得 注意到 ,及1k 和2k 必同号,得其中称为两个线圈的耦合系数。例5.3-4 计算两个串联线圈的自感系数图（a 图（b 设有两个线圈,自感系数分别为1L 和2L ,它们被串联放置。 1两个线圈顺接串联时,如图（a 所示。设线圈1的磁场对本身的磁通匝链数11和线圈2的磁场对线圈1的磁通匝链数12,则通过线圈1的磁通匝链数为同理,通过线圈2的因为12I I I =,当把两个串联线圈看成一个线圈时 磁场对串联线圈的总的磁通匝链数为 两个线圈串联后的自感系数为2两个线圈反接串联时,如图（b 所示。两个线圈产生的磁场彼此减弱。通过线圈1的磁通匝链数为通过线圈2的磁通匝链数