1、如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) ?如果 A?B, B?C ,那么 A?C ? 如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算 1(交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集(记作A?B(读作:A交B:),即A?B=x|x?A,且x?B( 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A?A并B:A,或x?B( 3、交集与并集的性质:A = A, A?= , A?B
2、 = B?A,A?= A ,A?A. 4、)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即 ),由S中所有不属于A的元素组成的全集与补集(1集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作: CSA 即 CSA =x ? x?S且 x?A (2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。(3)性质:?CU(C UA)=A ?(C UA)?A= ?(CUA)?A=U 二、函数的有关概念 1(函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:B为从集合A到
3、集合B的一个函数(记作: y=f(x),x?A(其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)| x?A 叫做函数的值域(能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
4、 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域再注意:(1)由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:表达式相同;定义域一致 (两点必须同时具备) 3(区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示( 4(映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A
5、 B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A B” 给定一个集合A到B的映射,如果a?A,b?B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,?集合A、B及对应法则f是确定的;对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;对于映射f:B来说,则应满足:(?)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 5.常用的函数表示法:解析法: 图象法: 列表法: 6
6、.分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集( 7(函数单调性(1)(设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x10时, ( )的两个根为 ( ),则 , , , 4、?=0时, ( )的两个等根为 ,则 , 无解 , 5、?2的 集 xR| 解 是 x-32或 x-32 x| 4、 合 分 : 集 的 类 1( 限 含 有 个 素 集 有 集 有 限 元 的 合 2( 限 含 无 个 素 集 无 集 有 限 元
7、的 合 3( 集 空 不 任 元 的 合 含 何 素 集 例 x|x2=, : 5, 二 集 间 基 关 、 合 的 本 系 1.“包 ”关 集 含 系 子 注 :A B 有 种 能 1) 意 两 可 ( A是B的 部 , 2) 一 分 ; A与B是 一 合 ( 同 集 。 B或B A 反 :集 之 合A不 含 集 包 于 合B,或 合B不 含 合A,记 集 包 集 作A 2( 等 系 “相 ”关 (5?5, 且5?5, 则5=5) 实 : A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元 相 ” 例 设 素 同 结 : 于 个 合A与B, 果 合A的 何 个 素 是 合B的 素 同 ,集 论 对 两
8、 集 如 集 任 一 元 都 集 元 , 时 合B的 何 个 素 是 合A的 任 一 元 都 集 元 素 我 就 集 , 们 说 合A等 集 于 合B, : 即 A=B ? 任 一 集 是 本 的 集 AA 何 个 合 它 身 子 。 ? 子 :如 真 集 果AB,且A B那 说 合A是 合B的 子 , 作A 就 集 集 真 集 记 ? 果 AB, BC ,那 AC 如 么 Page 1 of 8 B(或B A) 如 果AB 同 BA 那 时 么A=B 3. 不 任 元 的 合 做 集 记 含 何 素 集 叫 空 , 为 规 : 空 是 何 合 子 ,空 是 何 空 合 真 集 定 集 任 集
9、 的 集 集 任 非 集 的 子 。 三 集 的 算 、 合 运 1、 集 定 : 般 , 所 属 交 的 义 一 地 由 有 于A 且 于B 的 素 组 的 合 做A,B 的 集 记 属 元 所 成 集 ,叫 交 ( 作A?B(读 : 交B: 即A? 作 A ), B= x|x?A, 且x?B( 2、 集 定 : 般 , 所 属 集 并 的 义 一 地 由 有 于 合A或 于 合B的 素 组 的 合 叫 属 集 元 所 成 集 , 做A,B的 集 记 : 并 。 作 A? 作 A并B: ), 即A?A, 或x?B( 3、 集 并 的 质 A?A, 交 与 集 性 : A?A = A,A?A.
10、 4、 集 补 全 与 集 ( 补 : 1) 集 设S是 个 合 A是S的 个 集 即A S ) 由S中 有 属 一 集 , 一 子 ( , 所 不 于A的 素 成 元 组 的 集 , 做S中 集A的 集 或 集 记 : CSA 合 叫 子 补 ( 余 ) 作 通 用U来 示 常 表 。 ( 性 : CU(CUA)=A ? UA)?A=U 3) 质 ? (C (C 四 函 的 关 念 、 数 有 概 1( 数 概 : 函 的 念 设A、 非 的 集 如 按 某 确 的 应 系f, 对 集 B是 空 数 , 果 照 个 定 对 关 使 于 合A中 任 一 数x, 集 的 意 个 在 合B中 有
11、都 唯 一 定 数f(x)和 对 , 么 称f: 确 的 它 应 那 就 A?B 为 集 从 合A到 合B 的 个 数 记 : y=f(x), 集 一 函 ( 作 x?A( 中 x 其 , 叫 自 量 x的 值 围A叫 函 的 义 ; 做 变 , 取 范 做 数 定 域 与x的 相 应 值 对 的y值 做 数 , 数 的 合 x?A 叫 函 值 函 值 集 f(x)| 叫 函 的 域 做 数 值 ( 注 : 果 给 解 式 y=f(x), 没 指 它 定 域 则 数 定 域 是 能 这 式 有 义 实 的 合 函 意 如 只 出 析 而 有 明 的 义 , 函 的 义 即 指 使 个 子 意
12、的 数 集 ; 数 的 义 、 域 写 集 或 间 形 ( 定 域 值 要 成 合 区 的 式 定 域 充 使 数 有 义 实 义 补 :能 函 式 意 的 数x的 合 为 数 定 域 求 数 定 域 列 等 组 主 依 是 集 称 函 的 义 , 函 的 义 时 不 式 的 要 据 : (1)分 的 母 等 零 式 分 不 于 ; (2)偶 方 的 开 数 小 零 次 根 被 方 不 于 ; (3)对 式 真 必 大 零 数 的 数 的 必 大 零 不 于1. 数 对 式 底 须 于 且 等 (5)如 函 是 一 基 须 于 ; (4)指 、 数函 通 四 运 结 而 的 么 它 定 域 使
13、 部 都 意 的x的 组 的 合 果 数 由 些 本 数 过 则 算 合 成 .那 , 的 义 是 各 分 有 义 值 成 集 . (6)指 为 底 可 等 零 数 零 不 以 于 (7)实 问 中 函 的 义 还 保 实 问 有 义 注 : 出 等 组 解 即 函 的 义 。 际 题 的 数 定 域 要 证 际 题 意 .(又 意 求 不 式 的 集 为 数 定 域 ) 构 函 的 要 : 义 、 应 系 值 成 数 三 素 定 域 对 关 和 域 再 意 注 : ( 构 函 三 要 是 义 、 应 系 值 ( 于 域 由 义 和 应 系 定 , 以 如 两 函 的 义 1) 成 数 个 素
14、 定 域 对 关 和 域 由 值 是 定 域 对 关 决 的 所 , 果 个 数 定 域 和 应 系 全 致 即 这 个 数 等 或 同 函 ) 对 关 完 一 , 称 两 函 相 ( 为 一 数 ( 两 函 相 当 仅 它 的 义 和 应 系 全 致 而 表 自 量 函 值 字 无 。同 数 判 方 : 2) 个 数 等 且 当 们 定 域 对 关 完 一 , 与 示 变 和 数 的 母 关 相 函 的 断 法 ? 达 相 ; 定 域 致 (两 必 同 具 ) 表 式 同 ? 义 一 点 须 时 备 Page 2 of 8 即 CSA =x xS且 xA ( 全 : 果 合S含 我 所 研
15、的 个 合 全 元 , 个 合 可 看 一 全 。 2) 集 如 集 有 们 要 究 各 集 的 部 素 这 集 就 以 作 个 集 S CsA A 值 补 :( 、 数 值 取 于 义 和 应 则 不 采 什 方 求 数 值 都 先 虑 定 域 域 充 1) 函 的 域 决 定 域 对 法 , 论 取 么 法 函 的 域 应 考 其 义 . ( 应 悉 握 次 数 二 函 、 数 对 函 及 三 函 的 域 它 求 复 函 值 的 础 2) 熟 掌 一 函 、 次 数 指 、 数 数 各 角 数 值 , 是 解 杂 数 域 基 。 2. 函 图 知 归 数 象 识 纳 (1)定 : 平 直
16、坐 系 , 函 y=f(x) , (x?A)中 义在 面 角 标 中以 数 的x为 坐 , 数 横 标 函 值y为 坐 的 纵 标 点P(x, 集 y)的 合C, 做 数 y=f(x),(x 叫 函 ?A)的 象 C上 一 的 标 y)均 足 数 系y=f(x), 过 , 满 图 ( 每 点 坐 (x, 满 函 关 反 来 以 足y=f(x)的 一 有 实 对x、 坐 每 组 序 数 y为 标 的 (x, 均 点 y), 在C上 . 即 为C= P(x,y) | y= f(x) , x?A 。 象C一 的 一 光 的 续 线 直 ),也 能 由 记 图 般 是 条 滑 连 曲 (或 线 可 是
17、 与 意 行 任 平 与Y轴 直 最 只 一 交 的 干 曲 或 散 组 。 的 线 多 有 个 点 若 条 线 离 点 成 (2)画 法 A、 点 : 据 数 析 和 义 , 出x,y的 些 应 并 表 以 描 法 根 函 解 式 定 域 求 一 对 值 列 , (x,y)为 标 坐 系 描 相 的 坐 在 标 内 出 应 点P(x, y), 最 后 平 的 线 这 点 接 来 用 滑 曲 将 些 连 起 . B、 象 换 ( 参 必 图 变 法 请 考 修4三 函 ) 用 换 法 三 , 平 变 、 缩 换 对 变 角 数 常 变 方 有 种 即 移 换 伸 变 和 称 换 (3)作 :
18、用 1、 观 看 函 的 质 直 的 出 数 形 合 方 分 解 的 路 提 解 的 度 发 解 中 错 。 利 数 结 的 法 析 题 性 ; 2、 用思 。 高 题 速 。 现 题 的 误 3. 了 区 的 念 解 间 概 ( 区 的 类 开 间 闭 间 半 半 区 ; 2) 穷 间 ( 区 的 轴 示 1) 间 分 : 区 、 区 、 开 闭 间 ( 无 区 ; 3) 间 数 表 ( 4( 么 做 射 什 叫 映 一 地 设A、 两 非 的 合 如 按 一 确 的 应 则f, 对 集 般 , B是 个 空 集 , 果 某 个 定 对 法 使 于 合A中 任 一 元 的 意 个 素x, 集
19、 在 合B中 有 都 唯 确 的 素y与 对 , 么 称 应f: B为 集 一 定 元 之 应 那 就 对 A 从 合A到 合B的 个 射 记 “f: B” 集 一 映 。 作 A 给 一 集 定 个 合A到B的 射 如 映 , 果a?B.且 素a和 素b对 , 么 我 把 素b叫 元 元 元 应 那 , 们 元 做 素a的 , 素a叫 元 的 象 元 做 素b 原 象 说 : 数 一 特 的 射 映 是 种 殊 对 , 集 明 函 是 种 殊 映 , 射 一 特 的 应 ? 合A、 对 法 B及 应 则f是 定 ; 对 法 有 向 ” 即 调 确 的 ? 应 则 “方 性 强 , 从 合A到
20、 合B的 应 它 从B到A的 应 系 般 不 的 ? 于 射f: 集 集 对 , 与 对 关 一 是 同 ; 对 映 A?B来 , 应 足 ( 集 说 则 满 :) 合 A中 每 个 素 在 合B中 有 , 且 是 一 ;) 合A中 同 元 , 集 的 一 元 , 集 都 象 并 象 唯 的( 集 不 的 素 在 合B同 对 的 可 是 一 ;) 要 集 个 ( 不 求 合B中 每 个 素 集 的 一 中 应 象 以元 在 合A中 有 象 都 原 。 常 的 数 示 及 自 优 : 用 函 表 法 各 的 点 1 数 象 可 是 续 曲 , 可 是 线 折 、 散 点 等 注 判 一 图 是
21、是 数 象 依 ; 函 图 既 以 连 的 线 也 以 直 、 线 离 的 等 , 意 断 个 形 否 函 图 的 据 2 析 : 须 明 数 定 域 ?解 法 必 注 函 的 义 ; 3 象 : 点 作 要 意 确 函 的 义 ; 简 数 解 式 观 函 的 征 ?图 法 描 法 图 注 : 定 数 定 域 化 函 的 析 ; 察 数 特 ; 4 表 : 取 自 量 有 表 , 能 映 义 的 征 ?列 法 选 的 变 要 代 性 应 反 定 域 特 ( 注 : 析 : 于 出 数 。 表 : 象 : 于 出 数 意 解 法 便 算 函 值 列 法 便 查 函 值 图 法 便 量 函 值 补
22、 一 分 函 : 定 域 不 部 上 不 的 析 达 的 数 在 同 范 里 函 值 必 把 变 代 相 充 : 段 数 在 义 的 同 分 有 同 解 表 式 函 。 不 的 围 求 数 时 须 自 量 入 应 的 达 。 段 数 解 式 能 成 个 同 方 , 就 函 值 种 同 表 式 用 个 大 表 式 分 函 的 析 不 写 几 不 的 程 而 写 数 几 不 的 达 并 一 左 括 括 来 并 别 明 部 的 变 的 值 况 ( 分 函 是 个 数 不 把 误 为 号 起 , 分 注 各 分 自 量 取 情 ( 1) 段 数 一 函 , 要 它 认 是 几 函 ; 2) 段 数 定
23、 域 各 定 域 并 , 域 各 值 的 集 个 数 ( 分 函 的 义 是 段 义 的 集 值 是 段 域 并 ( 补 二 复 函 : 果y=f(u),(u?M),u=g(x),(x?A),则 y=fg(x)=F(x), 充 :合 数如 (x?A) 称 g的 合 数 例 : y=2sinX y=2cos(X2+1) 为f、 复 函 。 如 5( 数 调 函 单 性 ( 增 数 1) 函 Page 3 of 8 设 数y=f(x)的 义 为I, 果 于 义 函 定 域 如 对 定 域I内 某 区 的 个 间D内 任 两 自 量x1, 2, 1x2时 都 的 意 个 变 x 当x , 有f(x1
24、)f(x2), 那 就 么 说f(x)在 间D上 增 数 区 区 是 函 。 间D称 为y=f(x)的 调 区 ( 清 课 单 区 的 念 单 增 间 睇 楚 本 调 间 概 ) 如 对 区 果 于 间D上 任 两 自 量 值x1, 2, 1x2 时 都 的 意 个 变 的 x 当x , 有f(x1), f(x2), 么 说f(x)在 个 间 是 函 .区 那 就 这 区 上 减 数 间D称 为y=f(x)的 调 区 . 单 减 间 1 注 : 函 的 调 是 定 域 的 个 间 的 质 是 数 局 性 ; 意 ? 数 单 性 在 义 内 某 区 上 性 , 函 的 部 质 2 须 对 区 ?
25、 必 是 于 间D内 任 两 自 量x1, 2; 1x2时 总 的 意 个 变 x 当x , 有f(x1)f(x2) 。 ( 图 的 点 2) 象 特 如 函 果 数y=f(x)在 个 间 增 数 减 数 那 说 数y=f(x)在 一 间 具 (严 的 调 , 单 区 上 函 某 区 是 函 或 函 , 么 函 这 区 上 有 格 )单 性 在 调 间 增 数 图 从 到 是 升 , 函 的 象 左 右 下 的 的 象 左 右 上 的 减 数 图 从 到 是 降 . ( 函 单 区 与 调 的 定 法 3) 数 调 间 单 性 判 方 (A) 定 法 义 : 1 取1, 2?D, 1x2; 且x 2 差f(x1), 2); x x ? 任作 f(x 3 形 通 是 式 解 配 ) ?变 ( 常 因 分 和 方; 4 号 即 断 ? 定 ( 判 差f(x1), 2)的 负 ; f(x 正 ) 5 结 ( 出 数f(x)在 定 区 ?下 论 指 函 给 的 间D上 单 性 ( 的 调 ) (B)图 法 图 上 升 )_ 象 (从 象 看 降 (C)复 函 的 调 合 数 单 性 复 函 合 数fg(x)的 调 与 成 的 数u=g(x), 单 性 构 它 函 y=f(u)的 调 密 相 ,
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