插值与拟合文档格式.docx

1、为说明一维插值，考虑下列问题，12小时内每一小时测一次室外温度。数据存储在两个变量中。hours=1:12; % index for hour data was recordedtemps=5,8,9,15,25,29, 31,30,22,25,7,24; % recorded temperaturesplot（hours,temps,hours,temps, + ） %view temperaturestitle（ Temperature xlabel（ Hour ）,ylabel（ Degrees Celsius 为计算任给时间的温度，可用函数interp1作插值运算。t=interp1（

2、hours，temps，9.3） %estimate temperature at hour=9.3t =22.9000t=interp1（hours, temps, 4.7）t =22t=interp1（hours, temps,3.2 6.5 7.1 11.7） t =10.200030.000030.900024.9000若不采用直线连接数据点，我们可采用某些更光滑的曲线来拟合数据点。最常用的方法是用3次样条插值。t=interp1（hours, temps,9.3, spline ） % estimate temperature at hour=9.3t=21.8577t=interp

3、1（hours, temps, 4.7, ） % estimate temperature at hour=4.7t=22.3143 t=interp1（hours, temps, 3.2 6.5 7.1 11.7, ） t= 9.673430.042731.175525.3820注意，样条插值得到的结果，与上面所示的线性插值的结果不同。因为插值是一个估计或猜测的过程，其意义在于应用不同的估计规则导致不同的结果。.2、二维插值二维插值是基于与一维插值同样的基本思想，是对两个变量的函数z=f（x，y）进行插值。MATLAB中用函数interp2来拟合二维网格（X，Y）上的数据Z，语法是：z1 =

4、 interp2（x,y,z,x1, y1,method） 其中（x,y,z）是已给的数据点的横、纵、竖坐标，（x1，y1）是插值点的横、纵坐标，z1为插值点的竖坐标。 method为插值方法，主要有 linear 线性插值，默认pchip 逐段三次Hermite插值 逐段三次样条函数插值其中最后一种插值的曲面比较平滑例：设有一平板，在均匀分布的格栅上采集温度值。数据如下：width=1:5; %index for width of plate （i.e. the x-dimension）depth=1:3; %index for depth of plate （i.e. the y-dime

5、nsion）temps=82 81 80 82 84; 79 63 61 65 81; 84 84 82 85 86 %temperature datatemps =82 81 80 82 8479 63 61 65 8184 84 82 85 86如同在标引点上测量一样，矩阵temps表示整个平板的温度分布。temps的列与下标depth或y-维相联系，行与下标width或x-维相联系。为了估计在中间点的温度，我们必须对它们进行辨识。wi=1:0.2: %estimate across width of plated=2; % at a depth of 2zlinear=interp2（w

6、idth,depth,temps,wi,d）;%linear interpolationzcubic=interp2（width, depth, temps, wi,d, cubic ） ; % cubic interpolationplot（wi, zlinear, - , wi, zcubic） % plot results Width of Plate ）， ylabel（title（ Temperature at Depth = num2str（d） ）3、 曲线拟合设是直角平面坐标系下给出的一组数据，设，且已知它们满足某一函数y=f（a,x）,其中a 是待定的参数，曲线拟合就是要确定

7、这些参数，使得拟合值与真实值之间的误差达到最小。最常用的判断曲线拟合效果好坏的方法就是最小二乘法，即使得目标函数sum（yi-f（a,xi）2） 达到最小。当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。（1）多项式拟合MATLAB中进行多项式拟合的函数为polyfit（）。调用格式： p=polyfit（x,y,n） p,s= polyfit（x,y,n）说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。矩阵s用于生成预测值的误差估计。如x=0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1;y=-.44

8、7 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2;p=polyfit（x, y, 2）p=-9.8108 20.1293 -0.0317可得其解为y=-9.8108x220.1293x-0.0317。为了将曲线拟合解与数据点比较，可将二者都绘成图。xi=linspace（0, 1, 100）; % x-axis data for plottingz=polyval（p, xi）;%为计算在xi数据点的多项式值，调用MATLAB的函数polyvalplot（x, y, o , x, y, xi, z, : ）多项式阶次的选择是任意的。两点决

9、定一直线或一阶多项式。三点决定一曲线或2阶多项式。按此进行，n+1数据点唯一地确定n阶多项式。于是对于有11个数据点的上例情况，可选一个高达10阶的多项式。然而，高阶多项式给出很差的数值特性，故不应选择比所需阶次高的多项式。拟合曲线阶次越多就越好的观念是不适用的。（2）最小二乘拟合在Matlab的最优化工具箱中提供了lsqcurvefit（）函数，可以解决最小二乘曲线拟合的问题。该函数的调用格式为：a,fval=lsqcurvefit（fun,a0,x,y）其中：fun为原型函数的Matlab表示，可以是M文件定义的函数或inline（）函数，a0为最优化的初值，x,y为原始输入输出数据向量，

10、a为返回的待定系数向量，fval为在此待定系数下的目标函数的值。由函数生成一组数据x和yx=0:.1:10; y=0.5*exp（-0.1*x）+0.8*exp（-0.3*x）.*sin（2.5*x）;假设以上数据满足原型为，其中，为待定系数。采用最小二乘曲线拟合的目的就是获得这些待定系数的值，使得目标函数的值最小。根据已知的函数原型，可以编写出如下函数：f=inline（a（1）*exp（-a（2）*x）+a（3）*exp（-a（4）*x）.*sin（a（5）*x）,ax）;建立起函数原型后，就可以由下面的语句得出待定的系数向量了。xx,res=lsqcurvefit（f,1,1,1,1,1

11、,x,y）;xxres绘制出拟合曲线与样本点的图形：x1=0:0.01: y1=f（xx,x1）; plot（x1,y1,x,y,o三、实验内容1、一维插值方法的实现。2、二维插值方法的实现。3、多项式拟合命令的使用方法。4、最小二乘拟合命令的使用方法。四、实验报告曲线的插值与拟合实验名称： 实验日期： 年 月 日姓名： 班级学号：成绩： 二、实验内容及步骤1、已知数据：x.1.2.3.4.5.6.7.8.91y1.41.61.91.52画出用线性、三次样条和三次多项式插值所得0,1区间内的曲线图，并求当xi=0.25、0.35、0.45时的yi的值。（1） 画曲线图：程序：0.1:1;y=0

12、.3 0.5 1 1.4 1.6 1.9 0.6 0.4 0.8 1.5 2;subplot（2,2,1）plot（x,y,b+散点图subplot（2,2,2）x2=0:0.05:y2=interp1（x,y,x2）;plot（x2,y2）线性插值subplot（2,2,3）x3=0:y3=interp1（x,y,x3,plot（x3,y3）三次样条插值subplot（2,2,4）x4=0:p=polyfit（x,y,3）;y4=polyval（p,x4）;plot（x4,y4）三次多项式插值运行结果：（2） 求xi=0.25、0.35、0.45时的yi的值z=interp1（x,y,0.2

13、5 0.35 0.45）z = 1.2000 1.5000 1.75002、已知某处山区地形选点测量坐标数据为：x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6海拔高度数据为：z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82

14、83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87（1） 画出其地貌图：x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3

15、.5 4 4.5 5;y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6;z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82; 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84; 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85; 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86; 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83; 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88; 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92; 92 96 97

16、98 96 93 95 84 82 81 84; 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95; 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87; 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88; 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82; 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87;xi,yi=meshgrid（0:0.5:5,0:6）;mesh（xi,yi,z）XY）,zlabel（Z地貌图（2） 对数据插值加密形成地貌图，原始数据用小圆圈标出。（将程序补充完整）y=0:6;z=89 90

17、 87 85 92 91 96 93 90 87 82x,y=meshgrid（x,y）;plot3（x,y,z,bohold onxi=linspace（0,5,50）;yi=linspace（0,6,80）;x1,y1=meshgrid（xi,yi）;z1=interp2（x,y,z,x1,y1,cubicmesh（x1,y1,z1）3、由离散数据用3阶多项式拟合数据，并将原始曲线与拟合曲线进行比较。（1）程序：y1=polyval（p,x1）;b,x1,y1,rlegend（原始数据拟合数据（2）从图像上观察拟合的效果。从上面两幅图来看，用三次多项式拟合的效果并不是很好。4、已知数据可能

18、满足，求满足数据的最小二乘解a,b,c,d的值，并将原始曲线与拟合曲线进行比较。0.10.20.30.40.52.32012.64702.97073.28853.60080.60.70.80.91.03.90904.21474.51914.82325.1275（1）建立函数文件e11f1.m，用来存储函数ellfl=inline（a（1）*x+a（2）*x.2.*exp（-a（3）*x）+a（4）（2）用最小二乘拟合函数拟合数据。xi=0.1:yi=2.3201 2.6470 2.9707 3.2885 3.6008 3.9090 4.2147 4.5191 4.8232 5.1275;xx,

19、res=lsqcurvefit（ellfl,1,1,1,1,xi,yi）;ans = 2.9957 1.0151 2.2540 2.0197res = 1.9194e-004所以用最小二乘拟合的函数为在此拟合函数下的目标函数的值为5、在农业生产试验研究中，对某地区土豆的产量与化肥的关系做了一实验，得到了氮肥、磷肥的施肥量与土豆产量的对应关系如下表：氮施肥量（公斤/公顷）3467101135202259336404471土豆产量（公斤）15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75磷施肥量（公斤/公顷）24497398147196245294

20、34233.4632.4736.0637.9641.0440.0941.2642.1740.3642.73根据上表数据分别给出土豆产量与氮、磷肥的关系式。（1）画出土豆产量与氮施肥量的散点图，观察它们的大致图形确定多项式的阶数。x1=0 34 67 101 135 202 259 336 404 471;y1=15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75;x2=0 24 49 73 98 147 196 245 294 342;y2=33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42

21、.17 40.36 42.73;subplot（1,2,1）;plot（x1,y1,氮施肥量ylabel（土豆产量 hold on;subplot（1,2,2）;plot（x2,y2,磷施肥量结论：从散点图判断土豆产量与氮、磷肥的关系式应该采用的模型。从上面的散点图来看，土豆产量与氮、磷肥的关系式都应该采用二次多项式模型。（2）利用MATLAB对数据进行拟合。p=polyfit（x1,y1,2）p2=polyfit（x2,y2,2）p = -0.0003 0.1971 14.7416p2 = -0.0001 0.0719 32.9161用二次多项式去拟合土豆产量与氮肥的关系式为用二次多项式去拟合土豆产量与磷肥的关系式为