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1、图形的含义：首先明确什么是图形，图形是人类通过对客观物体的长期观察逐渐抽象出来的，把物体的外部形象用线条描绘在二维平面上。其次，测量是什么意思呢？ 测量就是把待测定的量同一个作为标准的同类量进行比较的过程，它使物体的属性具有了量化的特征。 测量主要是为了刻画图形的大小。一维图形的大小是长度，二维图形的大小是面积，三维图形的大小是体积。 在测量的过程中，儿童从数学的角度去认识、表述客观事物，能够发展数学思维，还能够积累数学基本活动经验，提高解决问题的能力。在小学阶段，对几何图形的长度、面积、体积这三个量不进行数学意义上的严格定义。而是引导学生根据他们的经验性知识，对图形的长度、面积、体积进行数学

2、描述。最后我们再来了解下面几个量的含义：1.长度的含义刚才谈到了，把度量一维图形的大小称为长度，测量长度就是对线的长短进行度量。点动成线，线是对路径的抽象，我们把“从一个地方走到另一个地方”抽象为“线段，或折线段、曲线段”。在新华词典中长度就是距离，距离就是长度。对于长度的定义无需严格的逻辑定义，只是经验性的描述就可以了，即直线段、折线段、曲线段的长短称为长度。折线段通过测量 n 条直线段的长度和得到的，曲线段的长度是通过化曲为直的方法得到的。2.周长的含义测量周长也是对线的长短进行度量。新华词典对周长的解释是：“圆、椭圆或其他闭合的曲线的周界长度”。小学数学中的平面图形一般都比较简单，周界大

3、多数都是直线段或者圆弧，在小学一般是描述性的概念，即图形一周或一圈的长度称为图形的周长。封闭图形的周长就是围成这个图形所有边的长度之和。小学重点学习正方形、长方形和圆的周长，这些都是规则的直线图形或曲线图形，同时也测量（有时是估测）一些不规则的平面的直线图形或曲线图形的周长。3.面积的含义面积是表示二维图形的大小。面积的概念很早就形成了。在古埃及，尼罗河每年泛滥时就会抹掉田地之间的标志。洪水退后，人们为了重新划出田地的界限，就必须丈量和计算田地，于是，逐渐就有了面积的概念。物体的表面是一个二维图形，直观地感觉它所占有的区域具有一定的大小。点动成线，线动成面，面积是指物体表面或围成的平面图形的大

4、小。“面”是“有长宽而没有厚度”的一种“形迹”，这种形迹不一定必须是“平面”的。例如，球面具有面积，但不是平面图形。在小学阶段学习的是测量平面图形的面积，主要包括长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形等规则的图形的面积，也讨论一些不规则平面图形的面积的测量问题。4.体积的含义体积是表示三维图形的大小。在我们小学的教科书上，一般都是这样表述体积的 “物体所占空间的大小，叫做物体的体积”。教学使我们感受到，对于“空间”的理解比理解体积本身的含义还难理解，往往越说越糊涂。实际上，凭直觉我们就能理解，体积就是对物体大小的度量。在小学数学研究一书中提到：“我们要做的是告诉学生，物体运动后体积不变

5、，不重叠的两个物体之并的体积是原来物体体积之和， A 包含 B 则 A 的体积比 B 的体积大，等等，它们是度量物体体积的特征。小学阶段重点学习长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等规则图形的体积，也讨论现实中一些不规则物体体积的测量方法。图形测量与儿童空间观念的培养空间想象力一直被认为是数学诸多能力中的重要组成部分，空间观念是空间想象力发展的基础， 空间观念是创新精神所需的基本要素，没有空间观念和空间想象力，几乎很难谈发明与创造， 所以空间观念成为数学课程标准提出的 10 个核心概念之一，成为数学课堂教学的重要目标，是学生在义务教育阶段数学课程中最应该培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面。 林

6、崇德 教授（ 1991 ）指出：空间想象能力主要体现在对诸如一维、二维、三维空间中方向、方位、形状、大小等空间概念的理解水平及其几何特征的内化水平上，体现在对简单形体空间位置的想象和变换（平移、旋转以及分割、割补和叠合等）上，以及对抽象的数学式子给予具体几何意义的想象解释或表象能力上。标准中没有具体给出空间观念的内涵，只是从四个方面加以刻画描述：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。根据空间想象力和空间观念的描述，概括起来说是几何形体的特征、大小、形状、相互位置关系、

7、运动在人脑中的表象，而图形的测量，是从图形的量及量的大小的角度让小学生清晰地把握图形的特征，能测量图形的长度、面积、体积，很大程度决定于对空间观念的积累，有了空间观念，才能建立没有大小的点、没有宽窄的线、没有厚薄的面的几何概念。图形测量中涉及到的长度、面积、体积等概念，以及测量单位的掌握，还有推导测量计算公式过程中图形的分割与叠合方法的探索、化曲为直和极限思想的感悟等，这些内容的学习都是从大量的观察、操作、推理的活动过程中丰富表象，提升数学思考，发展空间观念的，可见图形测量的学习对于学生空间观念的发展意义重大。图形测量与数学基本活动经验的积累2011 版课程标准把义务教育阶段数学课程的总目标概

8、括为获得“四基”、增强能力、培养科学态度三个方面。在这里备受我们广大数学教师关注的是数学课程由过去非常强调的“两基”变成“四基”，表述为“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，这是一个非常大的变化，对于四基虽然我们已经耳熟能详，但是如何落实到教与学的行为上，对我们一线数学教师来说是一个很大的挑战。所以在这里不得不提图形测量的学习与数学基本活动经验积累的话题。（1）长度、面积与体积三种量的学习过程，有助于积累抽象概念的表象经验数学基本活动经验来源于数学活动，大家都清楚小学生学习的几何知识是经验的几何，图形测量主要包括量的认识、量的度量单位、和量的

9、测量三个方面的内容。在教学，认识周长、面积、体积这些量时，教学时让学生在观察、操作、实验等活动中学习，如认识周长时设计让学生沿着图形或物体表面的边缘用笔描一描或用线围一围的活动；认识面积时设计学生用手摸一摸两本书的封面、放在一起比一比、用格子摆一摆数一数的活动；认识体积时设计让学生观察两个大小不一样的物体、往箱子里装木块、往装满水的容器里放入不规则固体等活动，学生在亲历这些活动的过程中，通过观察、操作、想象，获得对周长、面积和体积这些概念的直观感受，从而丰富对所认识的直观对象的表象经验。2）度量单位和计算公式推导的学习过程，有助于积累解决问题的思考经验测量单位和测量的计算方法是图形测量的两个重

10、要内容。三种量的测量单位的知识是互相联系的，平面图形面积测量的计算公式的推导方法也是互相联系的，立体图形体积测量的计算公式的推导方法也是互相联系，可以看作一个知识模块，前面知识的学习都是后续同类知识学习的基础，思考方法可以迁移，所以前面知识的学习活动都为后续同类知识的学习积累了思考方法的经验，而同类知识的学习用相同的思路进行设计时，可以丰富学生对获得此类知识的思维方法，从头至尾获得发现问题、分析问题、解决问题的经验。如长度单位“厘米”的学习是度量单位的起始课，非常重要。一般要设计成用不同的工具（如铅笔、人的手、数学书等）进行测量，学生感受到不方便交流，产生统一工具的想法，然后统一用铅笔测量，工

11、具虽然统一了，但是铅笔有长有短，测量结果还是不一样，也不方便交流，又产生了统一标准的想法，在这样的操作体验、矛盾产生和解决中，逐步解释长度单位“厘米”，这样经历了单位产生、发展与形成的过程，直观地、合情地获得了一些结果。面积单位的学习与之类似，有了长度单位和面积单位的活动经验，后续学习体积单位时，学生可以利用原有的经验（即寻找工具、统一标准、规定单位、命名名称），对理解单位的产生与形成就会水到渠成，容易理解体积单位的含义，发展学生的抽象思维能力。面积公式的推导过程中，一般都要这样设计：首先用合适的面积单位摆一摆，然后观察面积单位的个数与图形的长度要素有什么关系，学生通过观察、操作、归纳、概括出

12、图形面积的大小实质上就是图形所含面积单位的个数，公式就是计算图形所含有面积单位的个数，帮助学生积累图形面积大小的直观表象。当学生学习长、正方形面积的计算方法后，学生通过等积变形，把未知图形面积转化成已知图形面积，用已知图形面积的计算方法推导出未知图形面积的计算公式时，学生经历了操作、猜想、验证、推理等解决问题的过程，积累了思考方法的活动经验。待到学习圆的面积时，可以先调动学生原有的推导面积公式的经验，迁移过来，在圆的面积公式的推导过程中，学生会对这种转化的思维方法的理解更加深刻，几轮的推导图形测量公式的学习，很好地经历了从头至尾想问题做问题的数学活动，获得了思考的活动经验，提升了学生的智慧。所

13、以说，图形测量内容的学习，能帮助学生积累几何知识的直观表象经验，还能帮助学生积累探究推理的思考经验，因此，教学这部分内容时，要站在落实课程目标的四基之一即“积累数学的基本活动经验”的高度，精心设计教与学的活动。图形测量与数学基本思想的渗透使学生获得数学的基本思想，已成为 2011 版课标中数学课程的重要目标。数学课程标准解读中指出，数学课程教会学生许多必要的数学知识的同时，更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想。解读中进一步指出，基本思想之一 数学抽象，使数学学科得以建立；基本思想之二 数学推理，使数学学科得以发展；数学思想之三 数学模型，使数学学科得以广泛应用。数学思想是数学学科

14、发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是数学课程教学的精髓。也有学者通俗地把“数学思想”说成“将具体的数学知识都忘掉以后剩下的东西”，所以说学生数学的基本思想是数学素养重要内容之一。数学思想蕴含在数学知识形成、发展和运用的过程中，是数学思想和方法在更高层次上的抽象和概括。 规则图形的周长、面积和体积公式仍然是图形测量内容的重要方面，以往我们把主要精力放在对结论的运用上，以至于把这部分内容简单地处理成套用公式的计算问题，实际上，对于规则图形周长、面积和体积测量公式的探索， 蕴含着丰富的数学思想方法，能够很好地落实让学生感悟数学的基本思想这一课程目标。下面和大家交流图形测量学习中重点要感

15、受的数学思想。）在图形面积计算公式推导过程中感悟“转换化归”的数学思想人们面对数学问题，如果不能直接应用已有知识解决时，往往把要待解决的问题进行转化，通过把陌生的知识转化为熟悉的知识；把繁难的知识转化为简单的知识，最终达到解决的目的，这种转换化归的思想也称为“转化思想”，这是数学推理的基本思想的一个具体体现。如，当学习完长方形和正方形面积计算公式后，平行四边形、三角形、梯形、圆形等图形面积计算公式的推导，每个版本的教材都非常重视让学生通过转化的方法让学生自主探索计算公式。一般都是这样安排的，首先安排数格法，让学生在数格子的过程中直观去感悟、去发现、去猜测，然后引导学生用割补的方法把平行四边形割

16、补剪拼成长方形，发现平行四边形的底和高分别相当于长方形的长和宽，然后通过长方形面积的计算公式推导出平行四边形的面积计算公式。 在随后学习的三角形、梯形、圆的面积计算，都是通过割补剪拼的方法，把要研究的图形转化成前面已学过的图形来推导出它的面积公式。立体图形体积的计算公式也是通过这样的转化思想，把未知图形的体积转化成已知图形的体积，通过已知图形体积的计算公式推导出未知图形的体积计算公式。研究图形面积和体积的计算公式时，教材都给教师和学生留出较大的探索空间，期望学生能够自主地通过多种途径进行探索，亲历过程，得出结论。通过剪割、平移、旋转、拼补等方法，进行图形间的相互转化，沟通图形间的内在联系，形成

17、知识体系，不断渗透转化的数学思想，提升解决问题的能力。转化的思想在小学数学的学习中随处可见，是一般化的思想方法，对解决问题有普遍意义，同时它就像是一个无形的线把一些知识串联起来，让学生逐步感受、形成数学知识体系，所以在图形测量计算公式的推导中，要逐步使这个数学思想由渗透到明朗，使学生对它的理解逐渐灵活与深刻。（ 2 ）在曲线图形计算公式推导过程中感受“有限与无限”的数学思想从有限到无限体现了极限的数学思想，极限思想是微积分的基本思想，用以描述某个无限变化过程的终极状态，是数学抽象的基本思想的一个体现。现在的小学数学非常重视极限思想在教学中的渗透，如数量无限多的循环小数、自然数等；图形无限延伸的

18、角的边、平行线等等。在图形测量中，有一些曲面图形测量的计算公式是不能通过初等数学的方法来解决的，所以非常重视运用无限逼近的思想来去探索而获得重要的数学结论。比如，圆是小学阶段平面图形中唯一的一个曲线图形，对它的周长面积计算公式的探索都具有一定的挑战性，都是通过对特殊情况的分析归纳得出公式。在圆的周长教学中，向学生介绍“割圆术”，让学生经历正多边形到圆的形成过程，引导学生观察、操作和想象，随着边数越来越多，正多边形越来越像圆，感受极限思想。再如，“圆的面积公式推导”时，制作圆形教具，等分成许多份数不同的扇形，把圆平均分成 8 份，拼成的图形近似于平行四边形，边的形状呈波浪形；把圆平均分成 16

19、份，拼成的图形更接近于平行四边形，边的形状是较直的；继续把圆平均分成 32 份拼出的图形的边越来越直，图形越来越接近平行四边形了。把拼成的图形加以比较，使学生直观地看到等分成的扇形的份数越多拼成的图形就越接近平行四边形，如果继续等分下去，如分成 64 等份、 128 等份 拼成的图形就与长方形没什么差异了。这样，学生在观察比较过程中不仅理解了拼成的长方形的面积与原来圆的面积相等，而且初步接触量变到质变、有限到无限的辩证思想，培养了学生的空间观念，发展了学生的思维能力，然后引导学生分析、比较长方形的长和宽与原来圆的周长和半径的关系，进而得出圆的面积公式 S=r 2 。 圆的面积计算公式的推导过程

20、中“从分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，想象图形就真的变成了长方形，学生经历了从有限到无限的过程，感悟了极限的思想。学生有了这个基础，再学习圆柱体积公式的推导就会自然地联想到这种方法，再一次解决问题。这些公式的推导过程，采用了“变曲为直”、“化圆为方”、“由近似到精确”的极限分割、逐步逼近的思路，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的最终结果，不仅使学生掌握了计算公式，重要的是在不断的学习中促进极限思想潜移默化地形成。3）在图形测量的计算公式推导过程中感受模型思想模型思想是三大数学的基本思想之一，也是 2011 版课程标准中十大核心概念之一，成为义务教育阶段数学课

21、程最应培养的数学素养。标准指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界的基本途径，建立和求解模型的过程将有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。模型思想与符号化思想都是经过抽象后用符号和图表达数学关系和空间形式，但模型思想更加重视如何经过分析抽象建立模型，更加重视如何应用数学模型解决问题，所以小学数学建模学习有两种情况，一是新课以例题为代表的基本模型的学习，二是利用基本模型解决丰富多彩的习题。那么图形测量的求积计算的过程充满着模型思想，小学生推导各种图形的计算公式就是建立模型的过程，同时也类似于数学家建模的数学再发现和再创造的过程。如，在第一次学习面积和体积公式推导的过

22、程中，利用若干个相同的小正方形铺长方形，归纳概括出小正方形的个数与长方形长与宽的关系，推导出长方形的面积计算公式；利用若干个相同的小正方体拼摆成一个长方体，探索长方体中含有小正方体的个数与长方体的长、宽、高的关系，进而归纳出长方体的体积公式。接着探索三角形的面积、平行四边形的面积、梯形的面积、圆形的面积和周长、圆柱体的体积等等，都是让学生经历通过创设问题情境 提出数学问题 分析已知量和未知量之间的关系 建立模型（ S=ab 、 V=abc 等等），然后再应用这些数学模型解决丰富多彩的实践问题。这样的学习让学生实实在在地经历了一个通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断得出结论的一个再发现和再创造

23、的过程，经历了提出问题、分析问题、解决问题的数学活动，感受到了数学模型思想在数学学习中的重要价值。总之，图形测量是落实数学的基本思想的一个很好的载体，我们一线教师在教学中要充分认识这个内容对于培养学生逐步形成数学的基本思想的重要价值。同时也要明确以下三点。第一，突出明显或主要或特有的一些数学思想。实际上每个内容的学习中都蕴含着丰富的思想，如数形结合的思想、函数思想、符号化思想等等，一个内容的学习中往往是几种数学思想交织在一起，如极限思想中蕴含着转化思想等，另外，推理思想是无处不在的，所以在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想，效果将更好些。第二，数学思想不同于一般的概念

24、和技能，后者一般通过短期的训练便能掌握，数学思想教学是一个通过长期的渗透和影响才能够感悟到或形成的一个循序渐进的过程。杜甫的诗句“好雨知时节，当春乃发生。随风潜入夜，润物细无声 ”数学思想教学就像这首诗一样，慢慢地滋润学生的心田。第三，数学思想的感悟是在学生数学活动中积累的，学生只有在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，才能逐步感悟数学思想。图形测量中主要涉及到量的认识、单位的认识、公式的推导三个内容，为了具有系统性、整体感，暂称为“模块”，每个模块中的具体内容都分别是按照一维、二维、三维空间编排的，每一模块中的具体内容之间都是紧密联系的，并都有相似之处，从低纬度到高纬度螺旋上升

25、出现，后续学习对前面学习都是思维上的一次跨越，也是数学素养逐步提升的过程。所以在对图形测量内容的教学时要宏观把握整体设计，即见树木，更要见森林，从而提升教学的有效性，提高教学效率。教师要整体把握好知识间的内在联系，抓住图形测量各板块知识的本质特征每个版块中的概念及方法都有相似或相同之处，要统整考虑。一般对知识的梳理要在复习课中，但对于教师，要在教学之前。） 三种量的单位本质相同，培养类比推理能力测量就是把待测定的量用一个作为标准的同类量进行比较的过程，它使物体的属性具有了量化的特征。测量主要是为了刻画图形的大小。人类很早就有了测量的活动，原始的测量都要先确立一个标准，然后用标准去比较，当这个标

26、准不能直接量（估）出物体大小的时候，就再引入其他更小的标准。后来为了交流方便，统一了参照标准，就产生了一系列的测量单位（如下表）。从上表的整理中，给我们的教学三点启发。第一，都要经历类似的单位产生的过程，体会度量单位的抽象性。一般的做法是先寻找测量工具，如长度用手、用文具盒、用铅笔；面积用树叶、用硬币；体积用积木块、用香皂等先试一试，发现工具不一样，结果不同，要统一工具；然后就都用手的长度来测、用正方形测、用积木块测，结果不同的长度、不同正方形、不同的积木块所测的结果还是不一样，就是工具一样了，标准不一样；最后统一标准，产生了单位长度，作为长度单位。这个过程学生经历了复杂到简单、由模糊到清晰的

27、过程，感受到了数学知识的简化思想、优化思想、数形结合思想，这个过程丰富了学生的感性认识，建立了单位的直观表象。第二，教学的过程要突出体会长度单位就是标准的长度、面积单位就是标准的面、体积单位就是标准的体，就是用与待测的量的同类量作为一个标准（有大小不一样的标准），就产生了测量的单位，这是对单位的本质认识，这个思维方法可以类推，所以待到学习角的度量单位时，一般教材都让学生回忆长度、面积单位是怎样规定的，让学生类推出测量角的大小的单位应该是规定一个角作为标准，就顺理成章地认识了角的度量单位。第三，维数不同的图形都有几个大小不同的单位，要帮助学生借助身边数学的物体进一步建立一个单位的表象，用手比一比

28、、闭上眼睛想一想的办法反复出现，强化表象的记忆，以便为数形结合解决问题、为估测奠定基础。）两种测量揭示基本规律，培养归纳推理能力小学生的测量活动可以分成两种，即直接测量和间接测量，用度量单位直接量是直接测量，长度的测量基本上都是直接测量，直接测量基本上都使用测量工具，直接测量是直接从测量工具的读数获取被测量值的方法。间接测量是指通过被测量的量与其本身其他要素所具有的函数关系式，用计算的办法得到测量的值，如周长、面积和体积的计算都属于间接测量。用数格子的方法测量面积就是直接测量；用数小正方体数量的方法测量物体的体积也是直接测量。但是生活中直接测量有时不方便，人们就想到了用计算计量单位的个数的方法

29、，这是间接测量，如果找到了计算的规律，就形成了计算公式，计算公式属于间接测量。例如面积公式的实质就是求里面含有多少个面积单位，通过长度计算面积单位的个数；体积公式的实质就是求里面含有多少个体积单位，通过长度计算体积单位的个数。总之，所有的公式都是求里面含有多少个计量单位。这就给我们教学两点启示：第一，要重视直接测量，理解测量的本质。如，学习长度单位后，安排了很多让学生用格子测量线段、图形的边的长度，用米尺测量身高、教室的长与宽等的学习内容，增强学生用数学知识解决现实生活中简单测量问题的能力，掌握直接测量的方法；学习面积和体积的意义后，安排很多节课数一数规则图形或不规则图形中所含有面积单位小方格

30、的个数或体积单位小正方体的个数。安排这些直接测量的学习内容，目的是让学生在实际操作和数一数的过程中，理解测量的本质，即长度的长短、面积的大小、体积的大小，就是图形所含单位的个数。其次，直接测量的过程中，能进一步体会理解长度、面积、体积这些量的含义，即通过数长度单位，帮助学生进一步理解长度就是线的长短；数面积单位的个数，还能帮助学生进一步理解面积就是平面图形的大小；数体积单位的个数，帮助学生进一步理解体积就是占有空间的大小。第二，要重视通过直接测量来促进对间接测量方法的理解，即对面积、体积计算公式的理解。如，前面已经谈到的在首次学习面积计算公式，即长方形面积计算公式的推导教学时，一般先让学生在长

31、 5 厘米 、宽 3 厘米 的长方形中摆 1 平方厘米的小正方形，数一数摆了多少个小正方形；再给出一个长 6 厘米 、宽 4 厘米 的长方形，让学生想象能摆多少个小正方形，学生能够想象出沿着长能摆 6 个，沿着宽能摆 4 个，能摆出 6*4=24 个小正方形；再给出一个长方形，不标出长与宽的数据，让学生想办法得到这个图形含有多少个小正方形，学生自然会想到测量长与宽，结果发现，长 5 厘米 ，宽 4 厘米 ，推导出这个图形含有 20 个小正方形，那么学生的这些直接测量操作活动或想象活动，能促使学生逐渐主动地联系长方形的长与宽，多个活动后，不难观察出长方形所含有的面积单位的个数，就是长与宽的乘积，很容易地理解了长方形面积的计算公