天津大学《最优化方法》复习试题含答案Word文档下载推荐.docx

1、x D Rn min f（x）:x D Rn .设 f :D Rn R. 若x R n ，对于一切 x Rn恒有 f（x ） f （ x） ，则称 x 为D Rn R. 若 x D ，存 在 x 的某邻 域 N （x ） ，使得 对一 切优解 .给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值 . 非空集合 D Rn为凸集当且仅当 D 中任意两点连线段上任一点属于 D. 非空集合 D Rn为凸集当且仅当 D 中任意有限个点的凸组合仍属于 D. 任意两个凸集的并集为凸集 .函数 f : D Rn R为凸集 D上的凸函数当且仅当 f 为 D上的凹函数 . 设 f : D Rn R 为凸集 D 上的可微

2、凸函数， x D . 则对 x D ，有f （x） f（x ） f （x ）T （x x ）.若c（x）是凹函数，则 D x Rn c（x） 0 是凸集。 则对 k 0,1,2, ，恒有 f（xk 1） f（xk）13 算法迭代时的终止准则（写出三种） ： 14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。15 函数 f :D Rn R在点 xk沿着迭代方向 dk Rn 0 进行精确一维线搜索的步长 k ，则其搜索公式为 .16 函数 f :步长 k，则 f （xk kdk）T dk 0 .17 设 dk Rn 0 为点 xk D Rn 处关于区域 D 的一个下降方向，则对于0， （0, ）使得 xk

3、 dk D.简述题1 写出 Wolfe-Powell 非精确一维线性搜索的公式。2怎样判断一个函数是否为凸函数 .（例如: 判断函数 f（x） x12 2x1x2 2x22 10x1 5x2 是否为凸函数）三、证明题证明一个优化问题是否为凸规划 . （例如1 T Tmin f （x） xTGx cT x b判断 s.t. Ax b （其中 G是正定矩阵）是凸规划 x02熟练掌握凸规划的性质及其证明 .第二章 线性规划考虑线性规划问题：（LP）minT cxs.t.Axb,x 0,其中， c Rn ,A Rm nbRm为给定的数据，且 rank A m, m n.判断与选择题1（LP） 的基解个

4、数是有限的 . 2若 （LP） 有最优解，则它一定有基可行解为最优解 . 3（LP） 的解集是凸的 . 4对于标准型的 （LP） ，设 xk 由单纯形算法产生，则对 k 0,1, 2, ，有cT xk cT xk 15若 x* 为（LP） 的最优解， y* 为（DP）的可行解，则 cT x* bT y*. 6设 x0 是线性规划 （LP） 对应的基 B （P1, ,Pm） 的基可行解，与基变量x1, , xm对应的规范式中， 若存在 k 0 ，则线性规划 （LP） 没有最优解。 7求解线性规划 （LP） 的初始基可行解的方法： .8对于线性规划 （LP） ，每次迭代都会使目标函数值下降 . 1

5、将以下线性规划问题化为标准型： max f（x） x1 2x2 3x3s.t. x1 x2 x3 6, x1 2x2 4x3 12, x1 x2 x3 2, x2 0, x3 0.2写出以下线性规划的对偶线性规划： max f（x） 3x1 2x2 x3 4x4 s.t. 2x1 4x2 3x3 x4 6,2x1 4x2 3x3 x4 3, x1, x2, x3, x4 0.三、 计算题 熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法 （包括大 M法及二阶段法） 见书本：例 2.5.1 （ 利用单纯形表求解 ）;例2.6.1 （ 利用大 M法求解 ）;例 2.6.2 （ 利用二阶段法求解 ）.四、

6、 证明题熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件）及利用 对偶理论证明相关结论。一、 判断与选择题1设G Rn n 为正定矩阵，则关于 G共轭的任意 n 1向量必线性相关 . 2在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向 . 3经典 Newton 法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的 . 4PRP共轭梯度法与 BFGS算法都属于 Broyden 族拟 Newton算法 . 5用 DFP 算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，则算法中产生的迭 代方向一定线性无关 . 6FR 共轭梯度法、 PRP共轭梯度法、 DFP算法、及 BFGS算法均具有二次收 敛性 . 7共轭梯度法、共轭方向

7、法、 DFP算法以及 BFGS算法都具有二次终止性 . 8 函数 f :Rn R在 xk 处的最速下降方向为 .求解 minnf （x） 的经典 Newton法在 xk 处的迭代方向为 pk10 若 f （x） 在x* 的邻域内具有一阶连续的偏导数且 f （x* ） 0，则 x* 为的局 部极小点 . 11 若 f （x） 在 x* 的某邻域内具有二阶连续的偏导数且 x* 为 f （x） 的严格局部极小点，则 G* x2 f （x*） 正定. 可达其极小点 . 15牛顿法具有二阶收敛性 . 16二次函数的共轭方向法具有二次终止性 . 17共轭梯度法的迭代方向为：1设 f :Rn R为一阶连续可

8、微的凸函数， x Rn且 f（x ） 0，则 x 为min f （x） 的全局极小点 . xR如 果 xk Rn 为 求 解给 定 b Rn 和 正 定 矩 阵 G Rn nmin f （x） 1 xTGx bT x的迭代点， dk Rn 0 为其迭代方向，且 x Rn 23试证： Newton 法求解正定二次函数时至多一次迭代可达其极小点四、 简述题1简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点2简述共轭梯度法的基本思想 .五、 计算题1 利用最优性条件求解无约束最优化问题 .31 例如：求解 min f（x） x12 x22 x1x2 2x12 用 FR 共轭梯度法无约束最优化问题 .见书本：例 3.

9、4.1.3用 PRP共轭梯度法无约束最优化问题 .31例如： min f （x） x12 x22 x1x2 2x1 其中x0 （0,0）T , 0.01 考虑约束最优化问题：（NLP） min f （x）s.t. ci（x） 0, i E 1,2, ,l ,ci（x） 0, i I l 1,l 2, , m,其中， f,ci（i 1,2, ,m） : Rn R.一、判断与选择题1 外罚函数法、内罚函数法、及乘子法均属于 SUMT. 2 使用外罚函数法和内罚函数法求解（ NLP）时，得到的近似最优解往往不 是（ NLP）的可行解 . 3在求 解（ NLP）的外罚函数法 中，所 解无 约束 问题的

10、目标函数 为 .4在（ NLP）中 l 0 ，则在求解该问题的内罚函数法中，常使用的罚函数 为 .5在（ NLP）中 l 0 ，则在求解该问题的乘子法中，乘子的迭代公式为（ k 1）i ，对i 1, ,m .6在（ NLP）中 m l ，则在求解该问题的乘子法中，增广的 Lagrange 函数 为： 7对于（NLP）的 KT条件为：计算题1 利用最优性条件 （KT 条件） 求解约束最优化问题2 用外罚函数法求解约束最优化问题 . 见书本：例 4.2.1 ；例 4.2.2.3用内罚函数法求解约束最优化问题 . 见书本：例 4.2.3.4用乘子法求解约束最优化问题 . 见书本：例 4.2.7 ；

11、例 4.2.8.三、 简述题1 简述 SUMT外点法的优缺点2 简述 SUMT内点法的优缺点 .四、 证明题 利用最优性条件证明相关问题 .例 如 ： Q 设 为 正 定 矩 阵 ， A 为 列 满 秩 矩 阵 . 试 求 规 划（P） min f （x） 1 x Qx c x as.t. A x b 的最优解，并证明解是唯一的 .、判断与选择题1求解多目标最优化问题的评价函数法包 括 .2 通过使用评价函数，多目标最优化问题能够转化为单目标最优化问题 . 设F :D Rn Rm，则F 在D上的一般多目标最优化问题的数学形式 为 .使得 F（x） F（x ）且F（x） F（x ），则 x 为该最优化问题的有效解 . 一般多目标最优化问题的绝对最优解必是有效解 . fi （i 1, 2, , m） 的权系数，则求解以上问题的线性加权和法中所求解优 化的目标函数为 .解，或者为原问题的有效解，或者为原问题的弱有效解 . 、简述题1 简单证明题 绝对最优解、有效解、及弱有效解之间的关系 .第 5.2 节中几个主要结论的证明 .2 简单叙述题 简述求解一般多目标规划的评价函数法的基本思想简述求解一般多目标规划的线性加权和法的基本思想基本思 简述求解一般多目标规划的理想点法的基本思想 . 简述在求解一般多目标规划的评价函数法中，确定权系数方法的 .