19单一方程 ECM.docx

1、19单一方程 ECM第6章 协整与ECM模型 6.1 协整概念由第3章知两个非平稳序列的线性组合一般来说，也是非平稳的。若xt I (c)，yt I (c)，则zt = (a xt + b yt) I (c)。用非平稳变量建立回归模型会产生虚假回归问题。多数经济变量都是非平稳的。一般具有一阶或二阶单整性。看起来这些变量很难存在长期均衡关系，而实际上某些经济变量的线性组合却有可能是平稳的。经济理论指出这些变量存在长期稳定的均衡关系。比如净收入与消费、政府支出与税收、工资与价格、进口与出口、货币供应量与价格水平、现货价格与期货价格以及男、女人口数等都存在这种均衡关系。虽然经济变量在变化中经常会离开

2、均衡点，但内在的均衡机制将不断地消除偏差维持均衡关系。非平稳经济变量间存在的这种长期稳定的均衡关系称作协整关系。协整是对非平稳经济变量长期均衡关系的统计描述。两组经济变量分别见图6.1和图6.2。四个经济变量看起来都是非平稳的。图6.1中两变量随时间相距越来越远，它们之间的离差变得越来越大，看起来这两个变量之间不会存在协整关系。图6.2中两个变量尽管都是非平稳的，但他们的离差时正时负，所以该两个变量的线性组合有可能是平稳的。 图6.1 图6.2 若两个非平稳变量之间存在协整关系，则它们之间的离差称为非均衡误差。非均衡误差是平稳的。比如两个I(1)变量存在如下关系， yt = 1 xt + ut

3、 (6.1)其中ut I(0)，则yt = 1 xt是长期均衡关系，ut = yt - 1 xt 称为非均衡误差。非均衡误差序列应该是在零（长期均衡位置）上下波动，不会离开零值太远，并以一个不太快的频率穿越零值（或均值）水平线。协整定义：若xt = (x1t, x2t, , xN t) 为N 1阶列向量，其中每一个元素表示一个时间序列。如果（1）xt 每个分量的单整阶数都是d，xj t I (d), j = 1, 2, N，（2）存在一个N 1阶列向量 = (1, 2,n,), ( 0)，使得 xt I (d - b)，则称x1t, x2t, , xN t 存在 (d, b) 阶协整关系，用x

4、t CI (d, b) 表示。 称为协整向量， 的元素称为协整参数。如果 xt所含元素大于2，即N 2，则协整向量个数有可能多于一个。如果存在r, （r N-1）个相互独立的协整向量，于是组成一个N r阶矩阵， 的秩是r，则称 为协整矩阵。r是协整矩阵的秩。最令人关注的一种协整关系是yt , xt CI (1, 1)。对于模型 (6.1)，xt = (yt xt)，协整向量 = (1 -1 )，所以ut = (yt - 1 xt) I(0)。当yt , xt的单整阶数不相同时，例如yt I(1)，xt I(0)，则找不到 1，使 ( yt - 1 xt) I(0)成立。xt无法解释yt的变化。

5、当三个以上变量存在协整关系时，情况要比两个变量的情形复杂。变量的单整阶数有可能不同，在这种情况下，单整阶数高的变量子集的协整阶数应该与单整阶数低的变量的阶数相同。以三变量为例， yt = 1 x1 t + 2 x2 t + ut 假如yt I(0)，x1 t , x2 t I(1)，则x1 t , x2 t的协整阶数必须为零，即 ( 1 x1 t + 2 x2 t) I(0)，协整向量为 = (1 2) 。在介绍格兰杰（Granger）定理之前先介绍多项式矩阵概念。一个N N阶多项式矩阵A(L) 的每一个元素aij (L) , i, j = 1, 2, , N，都是一个以L为变数的纯量多项式，

6、即 A(L) = aij (L)N N = (6.3)其中， aij (L) =, i, j = 1, 2, , N, r = 0, 1, 2, , ki j, ki j 用k表示ki j中最大的值，即 k = , i, j = 1, 2, , N.则A(L) 可以被表示为， A(L) = = A0 + A1 L + A2 L2 + + Ak-1 Lk-1 + Ak Lk (6.4)其中A0, A1 , Ak 是N N阶矩阵。(6.4) 式是 (6.3) 式的另一种表达形式。用 A(L) 表示A(L) 行列式的值。 A(L) 是一个纯量多项式。例：A0 =A1 =A2 =A(L) = A0 +

7、 A1 L + A2 L2 =+L +L2 （矩阵多项式形式）= （多项式矩阵形式） 其中A0相当于A0 L0。 A(L) = = (1+0.04L+0.02L2) (1+0.7L) - ( 0.12 L+0.05 L2) 0.13 L2= 1+0.74L+0.048 L2 - 0.0016 L3 -0.0065 L4 （纯量多项式）这是一个纯量多项式。当L = 0时，则A(0) = A0 + A1 0 + A2 0 = A0= I。 当L = 1时，A(1) = A0 + A1 + A2 =。 A(1) = (1.06 1.7) (0.17 0.13) = 1.7799 多项式矩阵A(L)

8、通过变换可以表达为， A(L) = A(1) + (1 - L) A*(L) (6.5)如果A(L) 中多项式最大阶数等于k，则A*(L) 的阶数等于k -1。用线性变换推导上述结果如下。 A(L) = A0 + A1 L + + A k -2 L k -2 + Ak-1 Lk-1 + Ak Lk = A0+A1 L+A k -2 L k -2 +Ak-1 Lk-1 +Ak Lk -1 -Ak Lk -1 +LAk Lk -1 = A0 + A1 L + A k -2 L k -2 + (Ak -1 +Ak) Lk-1 - (I - L I ) Ak Lk-1 = A0 + A1 L + +

9、A k -2 L k -2 + (Ak -1 + Ak) Lk-2 - (Ak-1 + Ak)Lk-2 + (Ak-1 + Ak) Lk -1 - (1 - L) Ak Lk -1 = A0 + A1 L + (A k -2 + Ak-1 + Ak) Lk -2 - (I - L I ) (Ak -1 + Ak) Lk -2 - (1 - L) Ak Lk -1 = (A0 + A1 + Ak -1+Ak ) Lk k + (1 - L) - () L - (Ak-1 + Ak) Lk-2 -Ak Lk-1 = (A0 + A1 + + Ak-1 + Ak ) + (1 - L) Li (6.

10、6)令上式中 (A0 + A1 + + Ak-1 + Ak ) = = A(1), (6.7) -= Ai*, i = 0, 1, , k - 1, Li = A0* + A1*L + + Ak-1* L k-1 = Li = A*(L) 则 (6.5) 式成立。由 (6.4) 式知当L = 1，则A(1) = A0 + A1 + + Ak-1 + Ak （定义 (6.7) 与此相同）；当L = 0，则A(0) = A0 = I。Granger定理（1987）：若N 1阶列向量xt I(1) 具有协整关系，并可表示为如下多变量移动平均形式， (1- L) xt = C (L) ut, (6.2

11、)其中C (L) = I + C1 L + C2 L2 + + Ck Lk 是 N N阶多项式矩阵，ut为N 1阶白噪声向量，E(ut) = 0, Var (ut) = （满足弱条件），则 一定存在xt的ARMA表达式， A (L) xt = d (L) ut (6.3) 一定存在xt的ECM表达式。 A (L) (1- L) xt = - xt-1 + d (L) ut (6.4)其中A (L) 为多项式矩阵，A (L) 为分解出因子 (1- L) 后的多项式矩阵， 为协整向量（长期参数）， 为短期参数，d (L)为纯量滞后多项式矩阵。（证明略，用到多项式矩阵知识）Granger定理的重要意

12、义在于证明了协整概念与误差修正模型的必然联系。若非平稳变量之间存在协整关系，则必然可以建立误差修正模型；若用非平稳变量可以建立误差修正模型，则该变量之间必存在协整关系。对于非平稳变量，时间序列模型忽视了原变量的信息，而经济计量模型又忽视了虚假回归问题。Granger定理为保障误差修正模型吸收上述两种模型的长处并克服两种模型的不足提供了一个切实可行的途径和理论依据。ECM模型有效地解决了一直困扰经济计量学界的虚假回归问题。以简单回归模型为例。 yt = 0 + 1 xt + ut (6.5)如果xt , yt非平稳，简单地采用差分变量是不能解决虚假回归问题的。当用差分变量建立模型时， yt =

13、xt + vt (6.6)上式只能得到xt , yt的短期信息，却得不到长期信息。若认为上式是 (6.5) 式与其一期滞后式相减而得，则等于承认vt是一个移动平均过程。即 yt = 1 xt + ut - ut-1用差分变量建立的模型存在自相关。下面通过两个例子进一步熟悉一下Granger定理。例1 时间序列xt 和yt 由下面的二变量系统生成。 yt - xt = ut , ut = ut-1 + 1t (6.22) yt - xt = vt , vt = vt-1 + 2 t , 1 (6.23)其中 ， 是回归参数，并有 (1t 2 t) N(0, ) (6.24)在 条件下，由上述数据

14、生成系统解得 yt =ut -vt (6.25) xt =ut -vt (6.26)因为xt 和yt 分别与ut有线性关系，ut是随机游走过程（见 (6.22)式），根据 (6.25) 和 (6.26) 式，yt, xt I(1)。因为vt是平稳的（见6.23式），所以（yt - xt） I(0)，即具有协整关系。(1 - ) 是协整向量。yt = xt是长期均衡关系。（1）上述数据生成系统可以变换为yt, xt的关于1t,2t的向量移动平均模型。 把 (6.25) 和 (6.26) 式中，ut 和vt的系数分别用11，12，21，22 表示，并重写如下， = (6.27)由 (6.22) 和

15、 (6.23) 式中对ut 和vt的定义有ut = (1- L)-1 1t ，vt = (1 - L)-1 2t 。代入上模型得 = = (6.28) = (6.29)用 (1- L) 左乘上式两侧， (1 - L) = = (6.30)上模型是数据生成系统 (6.22)-(6.23) 的关于yt, xt的向量移动平均模型表达式（符合格兰杰定理的条件）。因为数据生成系统 (6.22)-(6.23) 中的yt, xt I(1)。（yt - xt） I(0)（有协整关系存在），且有yt, xt的向量移动平均模型表达式，所以根据格兰杰定理，模型 (6.22)-(6.23) 有yt, xt的向量ARMA和误差修正模型表达式存在。推导如下。(2) yt, xt的向量ARMA模型由（6.30）式，(1 - L) = -=移项整理，=+ = +上式是关于yt, xt的向量ARMA模型。（3）yt, xt的误差修正模型对