高等数学课后习题及解答Word文件下载.docx

1、-1，0）.解 在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比如 xOy面上的点的坐标为（ x0，y0，0），xOz面上的点的坐标为（ x0，0，z0），yOz面上的点的坐标为（ 0，y0，z0）.在坐标轴上的点的坐标， 其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如 x轴上的点的坐标为（ x0，0，0），y轴上的点的坐标为（0，y0，0），z轴上的点的坐标为（ 0，0，z0）.A 点在 xOy 面上， B 点在 yOz面上， C点在 x 轴上， D 点在 y 轴上.8. 求点（a，b，c）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标 .解 （1

2、）点（a，b，c）关于 xOy面的对称点（ a，b，-c），为关于 yOz面的对称点为（ -a，b，c），关于 zOx面的对称点为（ a，-b，c）.（2）点（a，b，c）关于 x轴的对称点为（ a，-b，-c），关于 y轴的对称点为（ -a，b，-c），关于 z轴的对称点为（ -a，-b，c）.（3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（ -a，-b，-c）.9. 自点 P（0 x0，y0，z0）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标 .解 设空间直角坐标系如图 8-3，根据题意，P0F为点P0关于xOz面的垂线，垂足 F坐标为（x0，0，z0）； P0D 为点 P0关于 xOy

3、面的垂线，垂足 D坐标为（ x0，y0，0）； P0E为点 P0关于 yOz面的垂线，垂足 E坐标为（0，y0，zo ）.P0A为点P0关于x轴的垂线，垂足 A坐标为（ xo，0,0）；P0B为点P0关于 y 轴的垂线， 垂足 B 坐标为（0,y0 ,0） ；P0C为点 P0关于 z 轴的垂线，垂足 C坐标为（0,0,z0 ）.10.过点 P（0x0，y0，z0）分别作平行于z轴的直线和平行于 xOy面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解如图8-4，过P0且平行于 z轴的直线 l上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同.而过点 P0且平行于 xOy面的平面上的点的坐

4、标，其特点是，它们的竖坐标均相同 .11. 一边长为 a的正方体放置在 xOy面上，其底面的中心在坐标原点， 底面的顶点在 x轴和y轴上，求它各顶点的坐标 .2解 如图8-5，已知 AB=a，故OA=OB= a，于是各顶点的坐标分别为 A（2a，0，0），B（0,2 2a，0），C（- a，0，0），D2 2（0，-2a，0），E（2a，0，a），F（0，2a，a），G（-2 a，0，a），H（0，-2 a， a）.12. 求点M（4，-3，5）到各坐标轴的距离 .解 点M到x轴的距离为 d1=（ 3）2 5234， 点 M 到 y轴 的 距 离为 d2= 42 5241，点 M 到 z 轴

5、的 距 离为d3= 42（ 3）225 5.13.在yOz面上，求与三点 A（3，1，2），B（4，-2，-2），C（0，5，1）等距离的点 .解 所求点在 yOz面上，不妨设为 P（0，y，z），点P与三点 A，B，C等距离， PA32 （y1）2（z 2）2,PB 42（y 2）2PC （y5）2（z 1）2 .9（y（z2）2162）2,（ y1）2.由PA PB PC知，（z 2）242 （y（y 5）2 （z 1） 2，即解上述方程组，得 y=1，z=-2.故所求点坐标为（ 0，1，-2）.14.试证明以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等

6、腰直角三角形 .证 由AB （104）2（ 1 1）2（6 9）2 7,AC （2BC （210）2（4 1）2（3 9）2 7,（3 6）2 98 7 2知 ABAC 及 BCAB AC.故 ABC为等腰直角三角形.15.设已知两点为 M1（4， 2，1），M2（3，0，2），计算向量的模、方向余弦和方向角 .M1M2解 向量=（3-4，0- 2，2-1）=（-1，- 2，-1），其模 M1M2（-1）2 （-2）2 124 2.其方向余弦分别为cos =-，cos =-2 1，cos = .方向角分别为2 , 3 , .3 4 316. 设向量的方向余弦分别满足（ 1）cos =0；（2）

7、cos =1；（3）cos =cos =0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解 （1）由cos =0得知 ，故向量与 x轴垂直，平行于yOz面.（2） 由cos =1得知 =0，故向量与 y轴同向，垂直于 xOz面.（3） 由cos =cos =0知 ，故向量垂直于 x轴和y轴，即与z轴平行，垂直于 xOy面.17. 设向量r的模是4，它与u轴的夹角为 ，求r在u轴上的投影.解 已知|r|=4，则 Prjur=| r|cos =4?cos=4=2.18. 一向量的终点在点 B（2，-1，7），它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4和7，求这向量的起点 A的坐标.解 设A点坐标为（x，

8、y，z），则AB=（2-x，-1-y，7-z），由题意知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，故x=-2，y=3，z=0，因此 A点坐标为（-2，-3，0）.19. 设 m=3i+4j+8k，n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k. 求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在 y轴上的分向量.解 a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k，a在x轴上的投影为 13，在y轴上的分向量为 7j.1. 设a 3ij 2k,b i 2jk，求（1） a余弦.b及ab；（2）（-2a）3b及a 2b；（3）a,b的夹角的解 （1）ab

9、 （3，-1，-2）（1,2，-1）i j k1 （ -1）2 （-2）（-1） 3，a b 3 11 22 =（5,1,7）.（2）（2a） 3b6（a b）6 3 18a 2b 2（a b） 2（5,1,7）a b（10,2,14）（3cos（a,b）32 （1）2 （ 2）2 1222 （14 6 2 212. 设a,b,c为单位向量，满足 a b c0,求a b b cc a.解 已知a b c 1,a b c 0,故（ab c）（ab c） 0.即a bc 2a b2b c2c a0.因此a b b c c a1 2 2（a b 22 3c ） - 23.已知 M1（1，-1，2），

10、M2（3,3,1）M3（3,1,3）.求与同时垂直的单位向量 .M1M2 ,M2 M3解 M1M2 =（ 3-1,3-（-1）,1-2）=（2，4，-1）M2M3=（3-3,1-3,3-1）=（ 0，-2，2）由于 M1M 2取为与M1M2,M2M3同时垂直，故所求向量可a （M 1M2M 2M3），M1M2 M 2M3由M1M 2iM 2M3 = 2j k4 1=（6，-4，-4），知aM2 M3 61 （6, 4, 4）（ 4）2 （ 3 ,2 ,682 ）.2 172 17 17 17 174. 设质量为 100kg的物体从点 M1（3,1,8）沿直线移动到点 M2（1,4,2），计算重

11、力所作的功（坐标系长度单位为 m，重力方向为 z轴负方向）.2 =（ 1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6）F=（ 0,0，-1009.8）=（0,0，-980）W=F?M1M2=（0,0，-980）?（-2,3 ，-6）=588（0J）.5. 在杠杆上支点 O的一侧与点 O的距离为 x1的点 P1处，有一与OP1成角 1的力 F1作用着；在 O的另一侧与点 O的距离为 x2的点 P2处，有一与OP2成角 2的力 F2作用着（图8-6），问 1，2，x1，x2，F1,F2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解 如图8-6，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号

12、的规定可得杠杆保持平衡的条件为F1即 F1x1sin 1F2x2F2x2sin sin2 0，2 .6. 求向量 a（4，-3,4）在向量 b（2,2,1）上的投影.a b （4,3,4） （2,2,1） 6解 Prjbab2.22 22 12 37. 设a（3,5,2）,b（2,1,4），问 与 有怎样的关系，能使a b与 z轴垂直？解 a b= （3,5，-2）+ （2,1,4）=（ 32 ,5, 2 4 ）.要 a b与z轴垂直，即要（ a b） （0,0,1 ），即（b）?（0，0,1 ）=0，亦即（ 3,5,4 ）?（0,0,1）=0，故（ 24 ）=0，因此 2 时能使 ab与 z

13、 轴垂直.8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证 如图8-7，设AB是圆O的直径，C点在圆周上，要证ACB= ，只要证明 AC BC 0即可.由AC BC=（AOOC）（BO（2,3,1）（1,1,3）8，c2,0）=AO BOAO OCOC BO OC= AOOC 0.故AC BC,ACB为直角.9. 已知向量 a2i 3jk,b ij 3k和ci 2j，计算：（1） （ab）c（a c）b（2）（ab） （b c）（3）（ab） c解 （1）（a b）c8（1,（0, 8,24）8i 24k.（2） ab=（2，-3,1）+（1，-1,3 ）=（3，-4,4 ），c=（1，-1,3）

14、+（1，-2,0 ）=（2，-3,3 ），（ab）（bc）1,1）jk.kOAOB3,3,1） ，（3） （a10. 已知 OA3k,OB3k，求 OAB的面积.由向量积的几何意义知SOAB=OB ，19SOAB11. 已知 a（ax,ay,az）,b（bx,by,bz）,c（cx, cy,cz） ，试利用行列式的性质证明：c） a（ca） b证因为 （aaxbx cxayby cyazbz , （b czbxcx axbycybzcz azcxax bxay byczaz，而由行列式的性质知ax ay azbx by bzcx cy czbx bycx cyax aybz cx cz = a

15、x azbxcy czay az， 故by bz（a b） c（b c） a（c a） b.12. 试用向量证明不等式：2 2 2 21 2 3 12 3 a1b1a2b2a3b3，其中a1,a2,a3,b1,b2,b3为任意实数 .并指出等号成立的条件. 证 设向量a （a1,a2,a3），b （b1,b2,b3）.由a ba b cos（a,b）a b ，从而a1b1a3b3a1 a2a12 2 2a3 b1 b2a2 a3b3 ，当 a1, a2 , a3与 b1, b2 ,b3 成比例，即b1 b2时，上述等式成立.b3由1.求过点（3,0，-1）且与平面3x 7y程.解 所求平面与已

16、知平面 3x 7y5z 120平行的平面方0平行.因此所求平面的法向量可取为 n=（3，-7，5），设所求平面为3x 7y 5z D 0.将点（3，0，-1）代入上式得 D=-4.故所求平面方程为3x 7y 5z 4 0.2. 求过点M0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点 M0的线段 OM0垂直的平面方程.解 OM0（2,9,6）.所求平面与OM0垂直，可取 n= OM0 ，设所求平面方程为2x 9y6z D 0.将点M0（2，9，-6）代入上式得 D=-121.故所求平面方程为2x 9y 6z 121 0.3. 求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程 .x

17、 1 y 1z 10，得x 3y 2z 0，即为所求平面方程 .注 设M（x,y,z）为平面上任意一点， Mi（xi ,yi ,zi）（i1,2,3） 为平面上已知点 .由M1M（M1M 2M1M3）0, 即x x1x2 x1x3 x1y y1y2 y1y3 y1zz z1z2 z1 0,z3 z1它就表示过已知三点 Mi（i=1,2,3）的平面方程.4. 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：（1）x=0; （2）3y-1=0;（3）2x-3y-6=0; （4）x- 3y=0;（5）y+z=1; （6）x-2z=0;（7）6x+5y-z=0.解 （1）（7）的平面分别如图 88（a）（g）

18、.（1）x=0表示 yOz坐标面.（2）3y-1=0 表示过点（0, 1,0）且与 y 轴垂直的平面 .（3）2x-3y-6=0表示与 z 轴平行的平面 .（4）x- 3y=0表示过 z轴的平面.（5）y+z=1表示平行于 x轴的平面.（6）x-2z=0表示过 y 轴的平面 .（7）6x+5y-z=0表示过原点的平面 .5. 求平面2x 2y z 5 0与各坐标面的夹角的余弦 .解 平面的法向量为 n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面 xOy，yOz，zOx的夹角分别为1, 2,3 .则根据平面的方向余弦知cos n k （2,2,1） （0,0,1） 1,nk 22（ 2）212 1 3

19、cos 2n i （2, ni2,1）（1,0,0） 2,1 3cos 3n j （2,n j（0,1,0） 26. 一平面过点（1，0，-1）且平行于向量 a试求这个平面方程 .（2,1,1） 和b1,0） ，解 所求平面平行于向量 a和b，可取平面的法向量n（1,1,3）.故所求平面为1 （x 1）1 （y 0）3（z 1）0，即x y 3z 4 0.7. 求三平面x 3y交点.z 1,2xz 0, x2y 2z 3的解 联立三平面方程x 3y 2x yx 2yzz 1,z 0,2z 3.解此方程组得 x1, y1, z3.故所求交点为（1， -1，3）.8. 分别按下列条件求平面方程：（

20、1）平行于 xOz面且经过点（ 2，-5，3）；（2）通过 z轴和点（-3，1， -2）；（3）平行于 x轴且经过两点（ 4，0，-2）和（5，1，7）.解 （1）所求平面平行于 xOz面，故设所求平面方程为By D0.将点（ 2，-5，3）代入，得5B DD 5B.因此所求平面方程为By 5B0，即y 5 0.（2） 所求平面过 z轴，故设所求平面为 Ax By 0.将点（-3，1，-2）代入，得3A BB 3A.Ax 3Ay0 ，即x 3y 0.（3） 所求平面平行于 x轴，故设所求平面方程为 By Cz D 0.将点（ 4，0， -2）及（ 5， 1， 7）分别代入方程得2C D 0 及

21、C D ,B 2B 7C D 0.9 D.因此，所求平面方程为9 DyDz D 0， 2即 9y z 2 0.9. 求点（1,2,1）到平面 x2y 2z 100的距离.解 利用点的距离公式M0（x0,yo,zo）到平面 AxBy Cz D 0d Ax0By0 Cz0 DA2 B2 C22 1 10 31.12 22 22 3x 3 y1. 求过点（4，-1，3）且平行于直线z 1的直线方程 .解 所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量s （2,1,5），直线方程即为x 4 y 1 z 32 1 52. 求过两点M1（3,2,1） 和M2 （1,0,2） 的直线方程 .解 取所求直线的方

22、向向量s M1M2（ 1 3,0（ 2）,2 1）（ 4,2,1），因此所求直线方程为x 3 y 2 z 14 2 13. 用对称式方程及参数方程表示直线x y2x yz 1,z 4.解 根据题意可知已知直线的方向向量s 1 1 1（ 2,1,3）.2 1 1取 x=0，代入直线方程得y z 1,y z 4.3 5解 得 y3,z5.这样就得到直线经过的一点（0, ,）.因此直线的对称式方程为参数方程为x 0 y 2 z 22 1 3x 2t,y 3 t, 2zz 5 3t.注 由于所取的直线上的点可以不同， 因此所得到的直线对称式方程或参数方程得表达式也可以是不同的 .4. 求过点（2， 0，-3）且与直