等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明Word文档下载推荐.docx

1、AB=AC=8，S（ABC）=14，得S（ABC）=1/2*AB*PD+1/2*AC*PE=1/2*8*PD+1/2*8*PE）=141/2*8*（PD+PE）=14PD+PE=14/4=3.5即PD+PE=3.5这道题得出的结论是：等腰三角形底边上任一点到两腰上的距离之和等于一腰上的高。结论虽简单，我们又应当如何证明呢？关于这道题的证明方法有很多种。求证；等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 这是一道常见的几何证明问题，难度不大，但很经典，证明方法也很多。已知：等腰三角形ABC中，ABAC，BC上任意点D，DEAB，DFAC，BHAC 求证： DEDFBH 证法一：连接AD

2、则ABC的面积AB*DE/2AC*DF/2（DEDF）*AC/2 而ABC的面积BH*AC/2 所以：DEDFBH 即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高 证法二：作DGBH，垂足为G因为DGBH，DFAC，BHAC所以四边形DGHF是矩形所以GHDF因为ABAC所以EBDC因为GD/AC所以GDBC所以EBDGDB又因为BDBD所以BDEDBG（ASA）所以DEBG所以DEDFBGGHBH证法三：提示：过B作直线DF的垂线，垂足为M运用全等三角形同样可证另外运用三角函数也能进行证明如果D在BC或CB的延长线上，有下列结论：|DEDF|BH问题：这个问题的另外一个表达形式：将

3、此结论推广到等边三角形：等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。证明的方法与上面的方法类似。这是两条很有用的性质。如果点在三角形外部，结论形式有所不同，道理是一样的如图，已知等边三角形ABC和点P，设点P到三角形ABC三边ABACBC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，三角形ABC的高为h。解答提示：如图，过P作BC的平行线交AB、AC的延长线于G、H，作HQAG先证明PDPEHQ（见：）而HQAN，FPMN所以PDPEPFANPFAMMNPFAM即h1h2h3h另外一个变式问题：如图，在ABC中，C90，点D、P分别在边AC、AB上，且BD=AD，PEBD，PFA

4、D，垂足分别为点E、F。（1）当A30时，求证：PE+PFBC （2）当A30（AABC）时，试问以上结论是否依然正确？如果正确，请加以证明：如果不正确，请说明理由。腰长5厘米 底边长6厘米 p是底边任意一点 pd垂直于ab pe垂直于ac 垂足为d e pd+pe=作底边BC上的高AM，设腰上的高h，连接PA因为ABAC5，BC6所以BMCM3所以根据勾股定理得AM4因为SABCBC*AM/2AB*h/212所以h24/5因为SABCSABPSACPAB*PD/2AC*PE/2所以5*PD/25*PE/212所以PDPE24/5如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两天边长AB/BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。设AC、BD交于O，作AEBD，PMAC，PNBD，连接OP因为AB8，BCAD15所以根据勾股定理得BD17因为SABCAB*AD/2AE*BD/2所以可得AE120/17因为四边形ABCD是矩形所以OAOD因为SOADSOPASOPDOA*PM/2OD*PN/2（PMPN）*OD/2SOADAE*OD/2所以PMPNAE120/17