数值分析报告Word下载.docx

1、A = 1 21 2 3 34 5 2 1 54 2 6 4 2 2 59 0; v=1 1 1 1;u（:,1）=v（:,1）;fori=1:100v（:,i+1）=A*u（:,i）;if abs（max（v（:,i+1）-max（v（:,i）0）sgn=1;elsesgn=-1;x=sgn*（sum（a（i:n,i）.2）0.5;u=a（i:n,i）+x*eye（n-i+1,1）;ro=norm（u,2）2/2;H=eye（n-i+1）-u*u/ro;H1=eye（size（a）;H1（i:n,i:n）=H;a=H1*a;h=H1*h;Q=inv（h）;R=a;returnQR分解代码fu

2、nction = qrfenjie（a）50Q,R=hshd（a）;a=R*Q;disp（a）3.结果与结论假设a矩阵为如下3*3矩阵a = 2 2 10 1 43 0 2计算出a的特征值为5，+2.2361i，-2.2361i三个用QR分解逆序相乘法后得到矩阵 5.0000 -1.0690 1.2344 -0.0000 0.3571 2.7630-0.0000 -1.8558 -0.3571三对角线上要么是实特征值，要么是两两共轭的虚特征值。对于上述矩阵，有实特征5和2*2矩阵构成的虚特征值，求得虚特征值正好为2.2361i。如果最后求得的矩阵为上三角矩阵，那么特征值就是对角线上元素，而且特

3、征值均为实数。用eig（）函数求得矩阵特征值如下5.0000 0.0000 + 2.2361i0.0000 - 2.2361i结论可以看到两种算法在10-4次精度上特征值是相等的，这也验证了QR算法的正确性。部分三（矩阵特征值与飞机横侧向稳定性分析）根据飞机平飞时横向动力学方程上述方程可以看做状态方程X=AX+B的形式，A为状态空间，如果能求得A的特征值，根据飞行力学的知识可以得到飞机横向飞行的模态。所以求出A的特征值是解决这一问题的基本步骤。在前两个部分已经提到，幂法和QR分解法都能求出A的某一特征值及全部特征值，对于本问题，不能采用幂法因为1. 根据经验，A矩阵有复数特征值，并且特征值可能

4、为负。2. 要求出所有飞行模态必须求出所有特征值。基于上述两点，决定采用QR分解来计算特征值。对于某型号运输机得知如下A矩阵-0.1150 0 -1.0000 0.0415 0-7.9283 -1.0830 0.5311 0 01.6327 -0.0108 -0.1618 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0经过QR分解50步迭代之后得到 -0.0064 1.0071 -0.2929 0.3413 -0.1398 -1.7685 -0.4813 -5.9610 5.1833 0.4769 0.1014 -0.0485 -0.8642 0.5776 -1.2995

5、-0.0000 0.0000 0.0000 -0.0079 -0.1203 0 0 0 0.0000 -0.0000对于3阶顺序主子式 -0.0064 1.0071 -0.2929 -1.7685 -0.4813 -5.96100.1014 -0.0485 -0.8642继续做QR分解得到 -0.4317 1.3935 4.7202 -1.3735 0.2997 3.5888 -0.0012 0.0014 -1.2199可以得到A矩阵的5个特征值近似为-1.2199-0.0079-0.0660 + 1.3343i-0.0660 - 1.3343i事实上，用eig（）函数求出的特征值为 0 -1

6、.2233 -0.0079 -0.0643 + 1.3359i -0.0643 - 1.3359i可见QR算法具有一定的精度那么根据飞行力学知识可以知道特征值分别对应的飞行模态0 航向中立-1.2233 滚转模态-0.0079螺旋模态-0.0643 + 1.3359i 荷兰滚-0.0643 - 1.3359i荷兰滚得到飞行模态之后就可以分析它的稳定性，阻尼，超调等等更为细致的问题。为分析影响飞机横侧向稳定因素提供了基础。小结矩阵特征值这一章节主要讲的就是如何避开解高阶的特征方程，寻求另一种可机器运算的算法来求解特征值。通过分析矩阵特性最终找到QR分解-逆序相乘-迭代的算法。这种算法运算方法单一，重复度高，计算量大非常适合计算机运算。避免了求解高次方程的困难。数值分析主要的思路就是用数值解代替精确解，从而寻找在一定精度内可以接受的数值算法。这是一种重要的简化问题的思路。在工程上，往往不要求精确解，所以不需要那些复杂但是精确的算法，更多时候可能也根本没有精确算法。当计算机能力越来越强，数值解的应用更为广泛。数值分析这门课提到最多的思路就是如何设计算法寻找一种近似。它看似与数学的思想背道而驰，却恰恰很好地体现了哲学的精神。世界上没有绝对的相同，也就是说求出精确解实际上却是不可能达到的。精确解和实际环境脱节，应用价值不大，而数值分析的思想不仅可以简化问题而且也能保证精度要求。