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离散图论部分定理Word文件下载.docx

1、 b) (唯一性) 设图 G, 和 G,均为 G和的交。 因为 G G1,所以对任意 eE1E2 皆有 (e) 1(e) 。 因为 G G1,所以对任意 eE1E2 皆有 (e) 1(e) 。 这表明 。 因此,G G 。简单无向图都有补图,并且一个简单无向图的所有补图都同构定理7.2.2设 f 和 g 为图 G 和 G 之间的 同构映射。i) 若 v V 且 v = f (v),则 dG (v) = dG (v );ii) 若 S V 且 S = f ( S ) ,则 G S = G S 且 G S G S ;iii) 若 K E 且 K = f ( K ) ,则 G K = G K 且 G

2、 K G K ;iv) ,即 G 的补图与 G 的补图仍同构。 基本路径 必为 简单路径 任何结点到自身总存在路径。 v到 v 存在路径 v 到 v 存在路径? ( 无向图 有向图 )定理7.3.1设图 G ,v, v。如果存在从 v 至 v的路径,则存在从 v 至 v的基本路径。(第二归纳法) 假设当存在从 v 至 v的长度小于 l 的路径时,必存在 从 v 至 v的基本路径。 如果从 v 至 v的路径 v0e1v1vl-1elvl 不是基本路径, 其中 v0 = v, vl = v,则必有 i 和 j 使 0i j l 且vi = vj ,故 v0e1v1viej+1vj+1vl-1elv

3、l 是从 v 至 v的长度为 l (j i) (u) + W(e),则(v) (u) + W(e);6) T T u, 且 转向 3) 。当算法结束时,(t) 即为从 s 至 t 的加权距离。 p # 4) 如果 u = t,则 p p t # ,算法结束。6) T T u, p p u , 且 转向 3) 。 p 即为从 s 至 t 的最短路径。定理7.3.4连通无向图恰有一个分支。非连通无向图有一个以上分支。定理 7.3.5强连通 (单向连通,弱连通 ) 有向图恰有一个强分支 (单向分支,弱分支)。非强连通 (非单向连通,非弱连通) 有向图有一个以上强分支 (单向分支,弱分支)。有向图 G

4、 中的路径一定是 G 中的半路径,但 G 中的半路径未必是 G 中的路径。定理7.3.6设图 G ,v 。G 是回路或有向回路 当且仅当 G 的阶与边数相等,并且在 G 中存在这样一条从 v 到 v 的闭路径,使得除了 v 在该闭路径中出现两次外,其余结点和每条边都在该闭路径中恰出现一次。充分性显然,必要性: 证明 G 的阶与边数相等。 G是回路或有向回路 |V| = |E|ii) 对G的阶用第一归纳法。定理7.3.7如果有向图 G 有子图 G满足:对于 G的任意结点 v , d(v) 0,则 G 有有向回路。定理7.3.8对于 G中的任意结点 v, d(v) 设 G,v0e1v1vn-1en

5、vn 是 G中最长的基本路径。由于d(v0) 0,必可找到 e和 v,使 vev0e1v1vn-1envn 是G中的简单路径,且v = vi(in)。G的以v0,vi为结点集合,以 e,e1,ei为边集合的子图是有向回路。vevvn-1envn是最长的基本路径W-过程判断一个有向图是否有有向回路的方法:W过程从G中去掉 v 和与之关联的边得到有向图 G-v的过程 ( 其中 v 是有向图的结点,d(v) = 0 或 d(v) = 0 )。 G 有有向回路 当且仅当 G v 有有向回路; 若 n 阶有向图 G 没有有向回路,则经过 n1 次W过程得到 平凡图。定理7.3.9图 G不是 非循环图 i

6、ff G 有子图 G满足:对于G的任意结点v,d(v) 1。(证明方法与定理7.3.8类似) 类似方法:G0,1, ,m,其中0mn1,G0=G, Gi+1= Gi vi(其中 di(vi) 1)。若m是平凡图,则 G 是非循环图,否则不然。欧拉定理设 G 是连通无向图,G是欧拉图 iff G有欧拉闭路。充分性 ) 显然,只证必要性 )。 对G的边的数目 n 用第二归纳法:i) 若 n = 0, 则 G为平凡图,必要性显然成立。ii) 令 nI,设任意边数少于 n 的连通欧拉图均有欧拉闭路。 若G有 n 条边, 连通、偶结点G是连通欧拉图 G的任意结点的度大于1(大于等于2) 定理7.3.9

7、G有回路。 设G有长度为 m 的回路 C 定理7.3.6 在 C 中存在闭路径 v0e1v1vm-1emv0 ,其中 v0, v1, vm-1 各不相同,并且v0, v1, vm-1 和 e1, e2, em分别是 C 的结点集合和边集合。令 G = G e1, em ,设 G 有 k 个分支 G1, Gk。G是连通的 G的每个分支 Gi 与 C 都有公共结点。 设 vni为 G的分支 Gi(1 i k)与 C的一个公共结点,并假定 0 n1 nk m 1 。 显然,Gi 为边数小于 n 的连通欧拉图(Gi为分支且每个结点仍为偶结点)。由归纳假设:Gi 有一条从 vni 到 vni 的欧拉闭路

8、径 Pi 。 因此,以下的闭路径: v0e1v1en1P1en1+1enkPkenk+1vm-1emv0就是G的一条欧拉路径。定理7.4.2设 G ,为 连通无向图 , v1,v2且 v1 v2 。则 G 有一条从 v1 至 v2 的欧拉路径 iff G 恰有两个奇结点 v1 和 v2 。任取 e E,并令 e,v1,v2,则G 有一条从 v1 至 v2 的欧拉路径 iff Ge有一条欧拉闭路 iff G是欧拉图 iff G中每个结点都是偶结点 iff G 中恰有两个奇结点 v1 和 v2定理7.4.3设 G 为弱连通的有向图。G 是欧拉有向图 iff G 有欧拉闭路。证明过程与定理7.4.1

9、类似定理7.4.4v1 和 v2 为 G 的两个不同结点。G有一条从 v1 至 v2 的欧拉路径 iff d(v1) d(v1)1, d(v2) d(v2) 且对 G 的其它结点 v , 均有 d(v) d(v)证明过程与定理7.4.2类似。定理7.4.5如果 G1 和 G2 是可运算的欧拉图,则 G1 G2 是欧拉图。G1 ,G2 , G1 G2 0,设这 k 条弦是e1,e2,ek , Ci 是包含 ei 的基本回路 ( i =1,2,k)。令 C 1 2 k,则 C 包含的弦也是 e1,e2,ek。因此,C C 中的边都是枝,则 C C 是非循环的 。 下面证明 C C 是零图。若 C

10、C 不是零图,必有一分支是阶大于 1 的树,根据定理7.6.2,C C 有端点。另一方面,因为 C 和 C 都是欧拉图,所以C C 是欧拉图。这与 C C 有端点矛盾,故 C C 必为零图,即C 与 C的差别仅在于孤立点。定理7.6.7及其证明设 v0 是有向图 D 的结点。 D 是以 v0 为根的有向树 iff 从 v0 至 D 的任意结点 恰有一条路径。)设 D =,是有向树,v0 是D的根。因为 D是弱连通的,任取 vV,则存在从 v0 至 v的半路径 P,设 P为 v0 e1 v1 vp-1 ep vp ,其中 vp = v。因为 dD(v0) = 0,所以 e1 是正向边,因为dD(

11、v1) =1,所以 e2 也是 正向边。由归纳法可以证明: 每个 ei (1 i p)均是正向边。故 P 为有向路径。 若从v0至v有两条路径 P1 和 P2,则P1和P2至少有一个公共点 的入度大于1,与 D 是有向树矛盾。)若 dD(v0) ,则存在边e以v0为终点(D弱连通),设v1是e的起点,P是从v0至v1的路径,则在D中存在两条不同的 从v0至v0的 路径Pv1ev0和v0,与已知条件矛盾,所以 dD(v0) = 0。 若dD(v) 1, 其中 v 是D的结点,则存在两条边e1和e2以v为终点。设e1和e2的起点分别是v1和v2,从v0至v1和从v0至v2的路径分别是P1和P2,则P1e1v和P2e2v是两条不同的从v0至v的路径,与已知条件矛盾。所以,D是有向树,且v0是D的根。

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