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1、通过它的曲线及各参数的变化关系建立函数关系；再根据需求，即约束条件，通过建立的函数关系求得最优解；最后根据最优解，给出根据客户需求画出的动态图。关键词： 平板折叠桌 MATLAB 三维坐标图 约束条件 最优解 动态图 B题 创意平板折叠桌1.问题的重述 平板折叠桌的桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。请尝试建立数学模型讨论下列问题：（1）给定长方形的平板尺寸，每根木条宽2.5cm，连接桌腿

2、木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上，给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌角边缘线的数学描述。（2）折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用才最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度。对于桌高70cm,桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。（3）公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌角边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最

3、优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。2.问题的分析2.1问题背景 折叠家具是节省空间的理想选择，除了使用方便、收藏物品，独特的设计也吸引了众多消费者的关注。通过折叠可以将面积或体积较大的物品折叠成尽可能小的面积或体积。当然这种折叠必须是科学合理的，不是杂乱无章的。收藏时的折叠与使用时的展开应是辨证统一的。折叠是为了更好地展开，必须符合“适用、经济、美观”的原则。 创意桌子把一整块板分成若干木条，组合在一起，

4、也可以变成很有创意的桌子，如果不使用的话可以折叠起来，大大减少了占用的体积，节省了很多的空间，有很强的实用价值，并且构造简单，造价低，有很高的性价比。2.2对于问题一的分析 钢筋固定在两个最外侧木条中心位置，木条长度已知了，可以求各桌脚边的坐标；根据求出每根棍子铰链处与钢筋处之间的木条长度，利用余弦定理求各木条与水平夹角，图中红线方程可以再利用其实可知数据有19个，借助C语言编程，得到十组坐标，圆心为坐标原点，这样可以根据这些坐标求出直纹曲面的方程。利用关于X轴，Y轴的对称性即可求出19个坐标即可。要想求折叠桌的设计参数，比如求出桌腿木条开槽的长度，就应该建立空间三维坐标，以桌面的圆心为原点建

5、立坐标系，根据题目中的木条的宽度，可知正好可以分成20根，但是，实际的的实物图（视频）中也只有19根，这样计算也就简单了很多（两边都去掉一个木条宽度的一半）；根据题意，钢筋应该和最外侧的两根木条固定在一起的，中间的木条都有开槽，且钢筋是平行于桌面的，知道钢筋的坐标，当折叠不同木条的开槽宽度就是钢筋走过的距离，已知圆的坐标，半径，半弦长也可求出，根据勾股定理，就可以把每条开槽的长度都算出来的；最后可以借助MATLAB坐出动态图。2.3对于问题二的分析 1.对于产品稳固性好，根据题意，为了提高稳固性，需要做力学性能研究，一个好的设计没有实用性就不能使用，所以我们把力学性能分析放在首要地位。根据力学

6、原理和桌子的结构，每增加一根木条，该结构的超静定次数便多增加一次，因此该结构为多次超静定结构，采取增加木条的方法来增加超静定次数, 降低受力敏感度，是提高其稳定性的重要因素。多年的工程实践证明, 采用优良的结构形式, 对抵抗较大幅度的超载、随机外力以及避免脆性破坏或连续破坏有十分重要的意义。另外，为了尽可能减少摩擦力对整个结构受力的影响，桌脚木条与水平面的夹角应该有所限制。根据受力平衡，对于桌脚木条来说就会受到销钉提供的很大的向外侧的力作用，对于力学性能来说是一个很大的影响，因此对于整体结构来说，桌脚与水平面的夹角为90并不是最佳角度；另外，要提高它的的机械强度，就必须要求桌子的厚度尽量大，开

7、槽的长度尽量短，并且开槽的宽度尽量窄，尽量减少摩擦；2.对于加工方便方面，与截取木条以及开槽的宽度和长度有关，不过确定开槽难度大，所以我们组只分析开槽适宜长度；开槽与钢筋位置有所关联，当折叠桌直立之后，就可以确定钢筋的位置，进而可以确定开槽长度；3.用材最少的话，和加工方便有些关联，与截取木条以及开槽的宽度和长度有关，只需建立适宜产品稳固性模型，求取支撑桌腿的最小值即可，即可达到最优设计效果。4.对于给定参数，确定最优设计加工参数，木条数量每一边也应该是20根了，但木条的宽度不变（保证机械强度），这样才可以整体上达到最优设计。2.4对于问题三的分析可以在问题一和问题二的基础上达到最优设计效果，

8、然后利用MATLAB软件设计的数学模型，求出相应的最优函数模型，这个模型适用于所有的要求（仅限于我们考虑在内的情况）；求出相应的设计加工参数利用MATLAB画出8张动态变化图。3.模型的假设1.材料性能对设计无影响。应该满足机械强度的要求，千万不要是什么假冒伪劣的产品；2.实际加工误差对设计无影响。加工的误差是实际存在的，不可能存在无误差的系统；3.木条与圆桌面之间的交接处间隙不计，实际中间隙不可避免的是存在的，所以，角度误差也存在，这样不计误差也就可以完成理想化数学模型的建立；4.钢筋尺寸对于，计量开槽的长度是，是存在误差的，我们把钢筋当做一条线来对待。4.符号说明 圆形桌面的半弦长长度 各

9、个木条长度 木条钢筋处的坐标， 桌边缘与木条交点 两点间距 直立之后最长的木条和z轴的夹角（靠近桌面）， 各边缘线点的坐标， 各个木条最短槽长 5.模型的建立与求解5.1问题一的模型与求解5.1.1模型的建立 根据假设运用余弦定理，求与每根木条对应的半弦长，然后可求出与每一个弦长相对应的木条长度；已知木板为平铺时，由题意可算出，各木条开槽钢筋点的坐标；当木板变为折叠桌时，可求出每个木条钢筋处的坐标和圆桌面对应的坐标，从而可求出钢筋点以上的木条长度L1,进而可求出每根木条位于钢筋点以下的长度L2,最终可求出各个木条的开槽长，对于桌角边缘线，可先将各个木条投影到xz面上，因为各木条长度已算出，角度

10、也是已知的所以可以求出来；最终可以得到一组坐标。以下是计算的公式和步骤： 步骤一： 根据勾股定理得, 步骤二 ：根据几何方法可得各个木条长度与其对应半弦长长度的关系，如下 步骤三 ：折叠好后，以桌面圆心为原点，以过圆心且平分木条根数向外为X轴正方向，以过圆心且与x轴垂直向外的方向为y轴正方向，以过圆心且垂直于桌面向下的方向为z轴正方向建立空间坐标系，从而可求个木条钢筋处的坐标，及桌边缘与木条交点，则坐标两点间距从而可求各个木条最短槽长 步骤四：已知各三角形长度，以X轴、Z轴为投影面，利用余弦函数可求得各夹角，从而求得各边缘线点的坐标。5.1.2模型求解 折叠桌切割成每侧可切割成19个木条，并且

11、以圆心为原点建立坐标系，桌面为XOY面，所以存在对称性，计算的数据即可减少一半。 其中i=0是指最中间木条，向外递增，i=9是指最外根木条，代入数据可得折叠桌各个与切割木条相对应的圆形桌面的半弦长长度，依次为24.809cm 24.750cm 24.030cm 23.100cm 22.300cm 20.798cm 18.888cm 16.456cm 13.45cm 7.834cm 根据已得各个半弦长数据和各个木条长度的关系，可求各个木条长度，依次为35.310cm 35.830cm 35.940cm 36.810cm 37.740cm 39.210cm 41.020cm 43.441cm 46

12、.804cm 52.140cm 从而可求各个木条最短槽长，依次为17.9909cm 17.6464cm 16.9540cn 15.9047 cm 14.4824 cm 12.6645cm 104172cm 7.6849cm 4.3318cm 0cm从而求得各夹角，从而求得各边缘线点的坐标。（数据有四舍五入的） 图1 MATLAB的仿真图（由于是对称的所以只画一半）x=-22.7793,-17.1325,-14.3773,-12.9867,-12.3478,-12.1233,-12.1108,-12.1856,-12.2714,-12.3243,-12.2714,-12.1856,-12.110

13、8,-12.1233,-12.3478,-12.9867,-14.3773,-17.1325,-22.7793；y=23.75,21.25,18.75,16.25,13.75,11.25,8.75,6.25,3.75,0,-3.75,-6.25,-8.75,-11.25,-13.75,-16.25,-18.75,-21.25,-23.75;z=-50,-46.625,-43.4104,-40.5585,-38.1793,-36.2666,-34.7896,-33.7151,-33.0149,-32.6697,-33.0149,-33.7151,-34.7896,-36.2666,-38.179

14、3,-40.5585,-43.4104,-46.6625,-50; plot3（x,y,z） grid on 表一 折叠之前的坐标（计算后的结果）木条编号DXDYdL1L217.806352.1385.363326.6973.91213.169646.8043.36644.356425.0985.86316.535943.4412.46247.663792.68418.998441.0201.880810.368325.3198.12520.879139.2101.446612.592525.65102.96622.325737.7401.09314.39325.94105.12723.418

15、736.8100.787415.803126.25108.006824.206135.9400.51116.844426.14109.23924.7135.8300.1617.531426.74110.651024.8735.3100.0317.872726.82111.158110.261224.210.5126.54109.631323.470.7426.75108.061422.571.031520.811.46102.561618.9841.8898.421716.592.247.663 71813.163.6485.56197.835.3326.0973.31 表二 折叠之后的坐标X

16、轴的坐标Y轴的坐标Z轴的坐标14.73123.75509.62921.2546.656.7118.7543.845.1416.2540.554.5613.7538.134.7111.2536.664.458.7534.964.936.2533.514.813.7533.494.511.2532.9733.094.3333.714.3036.2638.9340.859.3946.2514.915.2问题二的模型与函数 根据问题可知，若折叠桌的设计用户满足产品稳定性好，加工方便，用材少，假设最长木条与竖直方向的夹角为10度，满足产品稳固性，切割的木条的宽度一样，那么每一边的根数为偶数，可设桌子高为

17、H，圆桌直径为D,可以求得半弦长为最长木条的长度为木板长木板宽可建立坐标系假设钢筋处还是位于最长条的中点，则木条位于钢筋处坐标和各点的边角坐标可以利用之前的公式求得，运用勾股定理和夹角的关系即可求得函数关系5.3问题三的模型与求解 如图2 所示的各个参数之间的关系示意图 整体假设；由于钢筋的存在，所以所有的桌腿存在一点在一条直线上。 当=0时，坐标为：（）。 当为任意值时，坐标为： （ 那么根据上图以及钢筋的位置相同建立方程： （假设桌腿的S（0S1）处是钢筋）则 于是就得到了相应的函数（动态程序在附录）关系，可以根据相应的函数关系来求得各个制造数值，人员根据不同的需求参数值，得到制造的数值，

18、进而进行加工处理；根据一二问求得的方法及本问中得到的函数关系画出相应的8个动态的图像。6.参考文献 【1】数学模型，姜启源编，高等教育出版社（1987年第一版，1993年第二版，2003年第三版；第一版在 1992年国家教委举办的第二届全国优秀教材评选中获全国优秀教材奖） 【2】数学模型与计算机模拟，江裕钊、辛培情编，电子科技大学出版社，（1989） 【3】数学模型选谈（走向数学从书），华罗庚，王元著，王克译，湖南教育出版社；（1991） 【4】数学建模-方法与范例，寿纪麟等编，西安交通大学出版社（1993） 【5】数学模型，朱思铭、李尚廉编，中山大学出版社，（1995） 【6】数学模型，陈义

19、华编著，重庆大学出版社，（1995） 【7】数学模型建模分析，蔡常丰编著，科学出版社，（1995） 【8】数学建模竞赛教程，李尚志主编，江苏教育出版社，（1996）【9】数学建模入门，徐全智、杨晋浩编，成都电子科大出版社，（1996）. 7.附录问题一的计算程序（C）#includecstdiocmath#define R 25#define Pi 3.1415926535#define L 100using name std;double d20,ds20,dl20;double JULI（double r,double b） return r-sqrt（r*r-b*b）;void JK（）

20、 int i; double dd15,res16; dd1=1.25; for（i=2;i=9;i+） ddi=（i-1）*2.5+1.25; res0=0; for（i=1; resi=JULI（R,ddi）; di=resi-resi-1;double ZhuanHu按（double s） return s*Pi/180;double COS（double a,double b,double c） return acos（a*a+b*b-c*c）/（a*b*2）;double DINGLI（double a,double b） return sqrt（a*a-b*b）;double Su

21、anFA（double d,double s） double l=L; dli=sqrt（di*di+l*l-2*cos（s）*di*l）; dsi=YuXian（dli,l,di）; s=s+dsi; return sqrt（d1*d1+L*L-2*cos（s）*d1*L）;int main（） coutsin（JiaoZhuanHu（30）endl;asin（0.5）*180/Pi return 0;问题三的动态图程序（MATLAB）function tuoyuanguijiclose allclear allclcfor fai=linspace（0,pi/4,50） cla B1（fa

22、i） pause（0.3）end% clear all% close all% clcfunction B1（fai）b = 25 ;a = 40 ;l = 30 ;% for fai=0:pi/2% figure ;theta = linspace（0,2*pi,100）;X = a*sin（theta）;Y = b*cos（theta）;plot3（X,Y,zeros（size（X）;hold onxlabel（x）;ylabel（yzlabel（z% fai = pi/8 ; x=; y=; z=; for theta=linspace（0,pi,20）% thefai = asin（l

23、*sin（fai）/（l-R*sin（theta） thefai = atan（l*sin（fai）/（l*cos（fai）-a*sin（theta）; if thefai thefai = -thefai ; end X = a*sin（theta） + （2*l-a*sin（theta）*cos（thefai）; Y = b*cos（theta）; Z = （2*l-a*sin（theta）*sin（thefai） ; x = x X; y = y Y; z = z Z; hold on ; plot3（X a*sin（theta）,Y b*cos（theta）,Z,0,r hold on plot3（-X -a*sin（theta）,Y b*cos（theta）,Z,0, end plot3（x,y,z,k hold on % plot3（-xright,yright,zright, plot3（-x,y,z, hold off% pause（0.5）% clf% endaxis equalview（10,60）title（折叠桌动态变化过程动态图