勾股定理经典例题含答案Word文件下载.docx

1、AB=AC=52 32=16AB= 4AB的长是 4.类型二：勾股定理的构造应用2 、如图，已知：在 中， ， ， . 求 BC的长 .思路点拨 ：由条件 ，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于 D，则有， ，再由勾股定理计算出 AD、 DC的长，进而求出 BC的长 .解析 ：作 于 D，则因 ， （ 的两个锐角互余） （在 中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半） .根据勾股定理，在 中，.1 .举一反三 【变式 1】如图，已知： ， ， 于 P. 求证： .连结 BM，根据勾股定理，在 中，而在 中，则根据勾股定理有又 （已知），在 中，根据勾股定理有，【变式 2】已知

2、：如图， B= D=90， A=60， AB=4， CD=2。求：四边形 ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC，或延长 AB、 DC交于 F，或延长 AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。延长 AD、BC交于 E。 A= 60， B=90， E=30。AE=2AB=8， CE=2CD=4，=48，BE= BE =AE-AB =8 -4=。 DE= CE -CD =4 -2 =12， DE= S四边形 ABCD ABE CDE=S -S= AB BE- CDDE=类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之

3、间的距离问题3 、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东 60方向走了 到达 B点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m到达目的地 C点。（1）求 A、 C两点之间的距离。（2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。（ 1）过 B 点作 BE/AD DAB= ABE=6030+ CBA+ ABE=180 CBA=90即 ABC为直角三角形由已知可得： BC=500m，AB=由勾股定理可得：所以（2）在 Rt ABC中，BC=500m， AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30即点 C在点 A 的北偏东 30的方向【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高

4、 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ?【答案】由于厂门宽度足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 CH如图所示，点D 在离厂门中线 0.8 米处，且 CD， 与地面交于 H解： OC1 米 （ 大门宽度一半 ） ， OD 0.8 米 （卡车宽度一半） 在Rt OCD中，由勾股定理得： CD . 米， C . . . （米） . （米） 因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D

5、，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了3四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线解答本题的思路是： 最省电线就是线路长最短， 通过利用勾股定理计算线路长， 然后进行比较，得出结论设正方形的边长为 1，则图（ 1）、图（ 2）中的总线路长分别为 AB+BC+CD 3， AB+BC+CD 3图（ 3）中，在 Rt ABC中同理图（ 3）中的路线长为图（ 4）中，延长 EF交 BC于 H，则 FH BC， BH CH由 FBH 及勾股定理得：EA ED FB FCEF 12FH 1此图中总线路的长为 4EA+EF3 2.8282.732

6、图（ 4）的连接线路最短，即图（ 4）的架设方案最省电线【变式】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm，高为 4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程如4图，在 Rt 中，底面周长的一半 cm， 根据勾股定理得（提问：勾股定理） AC （ cm）（勾股定理） 答：最短路程约为 cm类型四：利用勾股定理作长为 的线段5 、作长为 、 、 的线段。思路点拨： 由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于 ，直角边为 和 1 的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 。作法 ：如图所示（ 1）作直角边为 1（单位长）的等腰直角 ACB，使

7、 AB为斜边；（ 2）以 AB 为一条直角边，作另一直角边为 1 的直角 。斜边为 ；（ 3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边 、 、 、 的长度就是、 、 、 。举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。 可以把 看作是直角三角形的斜边， ，为了有利于画图，让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3 和 1。如图所示在数轴上找到 A 点，使 OA=3，作 AC OA 且截取AC=1，以 OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点 B 即为 。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 原命题：猫有四

8、只脚 （正确）2原命题：对顶角相等（正确）原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）5 掌握原命题与逆命题的关系。 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2.逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ?（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 （正确）总结升华： 本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7 、如果 ABC的三边分别为 a、 b、 c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC的形状。要判断 ABC的形状，需要找到 a、

9、 b、 c 的关系，而题目中只有条件 a2+b2 +c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。由 a2+b2+c 2+50=6a+8b+10c，得 ：a 2 -6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0,（a-3） 2+（b-4） 2+（c-5） 2=0。 （a-3）20, （b-4）2 0, （c-5）2 0。a=3 ， b=4， c=5。 3 2+42=52,a 2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得 ABC是直角三角形。总结升华 ：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的 , 在证明中也常要用到。举一反三 【变式 1】四边形 ABCD中， B=

10、90， AB=3， BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。【答案】：连结 AC B=90， AB=3， BC=4 AC=AB+BC=25（勾股定理） AC=5 AC+CD=169， AD=169 AC+CD=AD ACD=90（勾股定理逆定理）【变式 2】已知 : ABC的三边分别为m n ,2mn,m +n （m,n 为正整数 , 且 mn）, 判断 ABC是否为直角三角形 .分析 : 本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明 : a +b =c 即可证明：所以 ABC是直角三角形 .6【变式 3】如图正方形ABCD， E 为 BC中点， F 为 AB上一点，且 BF=

11、 AB。请问 FE与 DE是否垂直 ?请说明。【答案】答： DE EF。证明：设 BF=a，则 BE=EC=2a, AF=3a， AB=4a, EF 2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE=CE+CD=4a +16a =20a连接 DF（如图）DF=AF +AD=9a +16a =25a DF =EF +DE, FEDE。经典例题精析勾股定理及其逆定理的基本用法、若直角三角形两直角边的比是3： 4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。 设此直角三角形两直角边分

12、别是 3x，4x，根据题意得：（3x） 2+（4x） 2 202化简得 x216；直角三角形的面积 3x 4x 6x2 96 直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三 【变式 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。【答案 】如图，等边 ABC，作 AD BC于 D则： BD BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） AB AC BC 2（等边三角形各边都相等） BD1在直角三角形ABD中， AB AD+BD，即： AD AB BD4 1 3 ADS ABC BC AD注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 a，则其面积为 a。【变式 2

13、】直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。【答案 】设此直角三角形两直角边长分别是 x， y，根据题意得：由（ 1）得： x+y 7，（x+y） 249， x2+2xy+y 2 49 （3）（2） （2） ，得： xy 127直角三角形的面积是xy 12 6（ cm）【变式 3】若直角三角形的三边长分别是n+1， n+2， n+3，求 n。 首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：（n+1） 2+（ n+2） 2（ n+3） 2化简得： n24n 2，但当 n 2 时， n+1 10， n2 注意直

14、角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A 、8， 15，17 B 、4，5， 6 C 、5，8， 10 D 、8，39，40 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，2 2 2 2 2 2对数据较大的可以用 c a +b 的变形： b c a （ c a）（ c+a）来判断。82（ 40+39）（ 40 39），以 8， 39， 40 为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。 【答案】：A【变式 5】四边形 ABCD中， B=90 S 四边形 A

15、BCD=S ABC+S ACD= AB BC+ ACCD=36勾股定理的应用2、如图，公路 MN和公路 PQ在点 P 处交汇，且 QPN 30，点 A 处有一所中学， AP 160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？（ 1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m, 小于 100m则受影响，大于 100m则不受影响，故作垂线段 AB并计算其长度。 （ 2）要求出学校受影响的时

16、间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。作 AB MN，垂足为 B。在 Rt ABP中， ABP 90， APB 30， AP 160，AB AP 80。 （在直角三角形中， 30所对的直角边等于斜边的一半）点 A 到直线 MN的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路MN上沿 PN方向行驶到点C 处学校开始受到影响，那么AC 100（m） ，由勾股定理得： BC 60。BC 100 -803600,8同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么， AD 100（m） ， BD 6

17、0（m）, CD 120（m） 。拖拉机行驶的速度为 : 18km/h 5m/st 120m5m/s 24s。拖拉机在公路 MN上沿 PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24 秒。总结升华 : 勾股定理是求线段的长度的很重要的方法 , 若图形缺少直角条件 , 则可以通过作辅助垂线的方法 ,构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三 【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径” ，在花园内走出了一条“路” 。他们仅仅少走了 _步路（假设 2 步为 1m），却踩伤了花草。他们原来走的路为 3+4 7（m）设走“捷径”的路长为 xm，则故少走的路长为 7

18、 5 2（m）又因为 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了 4 步路。【答案】 4【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（ 1）直接写出单位正三角形的高与面积。（ 2）图中的平行四边形 ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD的面积是多少？（ 3）求出图中线段 AC的长（可作辅助线） 。【答案】（ 1）单位正三角形的高为 ，面积是 。（ 2）如图可直接得出平行四边形 ABCD含有 24 个单位正三角形，因此其面积 。（ 3）过 A 作 AKBC于点 K（如图所示），则在 Rt ACK中， ，故数

19、学思想方法 （一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决3 、如图所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC， D 是斜边 BC的中点， E、 F 分别是 AB、 AC边上的点，且9DE DF，若 BE=12， CF=5求线段 EF 的长。 现已知 BE、 CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 AD连接 AD因为 BAC=90， AB=AC 又因为 AD为 ABC的中线，所以 AD=DC=DB AD BC且 BAD=C=45

20、因为 EDA+ ADF=90 又因为 CDF+ ADF=90所以 EDA= CDF 所以 AED CFD（ASA）所以 AE=FC=5同理： AF=BE=12在 Rt AEF中，根据勾股定理得：，所以 EF=13。 总结升华 ：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可 以 了当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放 在 同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法 4 、如图所示，已知 ABC 中， C=90， ，求 、 、 的 值。 由 ，再找出 、 的关系即可求出 和 的值。在 Rt ABC中， A=60 - A=30则 ，由勾股定理，得 。因为 ，所以 ， ， 。 在直角三角形中， 30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC边的点 F 处，已知 AB=8cm， BC=10cm，求 EF 的长。 因为 ADE与 AFE关于 AE对称，所以 AD=AF， DE=EF。因为四边形 ABCD是矩形，所以 B=C=90在 Rt ABF中， AF=AD=BC=10cm， AB=8cm，所以 。设 ，则 。在 Rt ECF中， ，即 ，解得 。即 EF 的长为 5cm。10