高中物理竞赛经典方法8作图法.docx

1、高中物理竞赛经典方法8作图法 八、作图法方法简介作图法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性的表示成物理图像，将物理问题转化成一个几何问题，通过几何知识求解，作图法的优点是直观形象， 便于定性分析，也可定性计算，灵活应用作图法会给解题带来很大方便。赛题精析例 1：如图 81 所示，细绳跨过定滑轮，系住一个质量为 m 的球，球靠在光滑竖直墙上，当拉动细绳使球匀速上升时，球对墙的压力将（）A、增大 B、减小 C、先增大后减小 D、先减小后增大解析：球在三个力的作用下处于平衡。当球上升时， 角增大，可用动态的三角形定性分析，作出圆球的受力图，如图 81 甲所示。从图可见，当球上升时， 角增大，墙对球

2、的支持力增大，从而球对墙的压力也增大。故选 A 正确。例 2：用两根绳子系住一重物，如图 82 所示。绳 OA 与天花板间夹角 不变，当用手拉住绳子 OB ，使绳 OB 由水平方向转向竖直方向的过程中，OB 绳所受的拉力将（）A、始终减小 B、始终增大 C、先减小后增大 D、先增大后减小解析：因物体所受重力的大小、方向始终不变，绳 OA 拉力的方向始终不变， 又因为物体始终处于平衡状态，所受的力必然构成一个三角形，如图 82 甲所示，由图可知 OB 绳受的拉力是先减小后增大。可知答案选 C例 3：如图 83 所示，质量为 m的小球 A 用细绳拴在天花板上，悬点为O ，小球靠在光滑的大球上，处于

3、静止状态。已知：大球的球心 O在悬点的作图法第 1 页（共 10 页） 正下方，其中绳长为 l，大球的半径为 R ，悬点到大球最高点的距离为 h。求对小球的拉力 T 和小球对大球的压力。解析：力的三角形图和几何三角形有联系，若两个三角形相似，则可以将力的三角形与几何三角形联系起来，通过边边对应成比例求解。以小球为研究对象，进行受力分析，如图 83 甲所示，小球受重力 mg、绳的拉力 T 、大球的支持力 N ，其中重力 mg 与拉力 T 的合力与支持力 N 平衡。观察图中的特点，可以看出力的矢量三角形（灰色）与几何三角形 AOO 相似，即：T = mg ， N = mg l h + R R h

4、+ R所以绳的拉力：T = l mgh + R小球对大球的压力：N= N = R mgh + R例 4：如图 84 所示，质点自倾角为 的斜面上方定点 O 沿光滑的斜槽从静止开始下滑，为使质点在最短时间内从 O 点到达斜面，斜槽与竖直方向的夹角 应等于多少？解析：如图 84 甲所示，以经过 O 点的竖直线上的一点 O为圆心，OO 为半径作圆，并使该圆与斜面恰好相切于 A 点，与 OO延长线交于 B 点。已知从O 点由静止出发沿倾角不同的光滑斜面下滑的质点，到达圆周上不同点所需时间相等，显然，质点沿OA 方向从静止开始滑到斜面上所需时间比沿其他方向滑到斜面上所需时间短。连接 OA ，由几何关系得

5、：AOB = 所以所用时间最短时，斜槽与竖直方向的夹角：= 2（所题也可用极限法求解，读者可试试。）例 5：一条小河，河水以 v1 = 5m/s 的速度匀速流动，一条小船在静水中的速度为 v2= 3m/s。欲使小船渡河的航程最短，小船的船头应指向何方向？解析：若 v1v2，可垂直渡河，船程最短。但本题 v1v2，小船就不能垂直渡河。但欲使航程最短，则应使合速度方向与河岸夹角最大。根据矢量合成的三角形法，v1、v2、v 合，构成封闭三角形，作图如 85 所示，作有向线段 OA 表示河水流速 v1，以表示 v2 的有向长度为半径，以 A 为圆心画圆， 过 O 该圆的切线，切点为 B ，作有向线段作

6、图法第 2 页（共 10 页） AB ，有向线段 AB 的方向就是所求的方向。由直角三角形 AOB ，得：cos = v2 = 3v1 5所以：= 53即小船的船头应指向上游并沿与上游的河岸成 53角的方向。例 6：一木箱重为 G，与地面动摩擦因数为 ，现用斜向上的力 F 拉木箱使之沿水平地面匀速前进，如图 86 所示。求拉力 F 与水平方向夹角 为何值时拉力最小？这个最小值多大？解析：木箱受重力 G、弹力 N、摩擦力 f 及拉力 F 四个力的作用，但此题也可以把木箱看做只受三个力作用，即重力 G、拉力 F 和摩擦力 f 与支持力 N 的合力 F，设 F与 N 的夹角为 ，则 tan = fN

7、= ，再应用矢量三角形求解。木箱受力情况如图 86 甲所示，已知 G 的大小和方向，F的方向，显然， 要使封闭的矢量三角形中F 值最小，只有由G 的端点作F的作用线的垂线时，F 值最小，如图 86 乙所示，此时 F 的最小值为 Fmin=Gsin其中 = arctan，所以最小的拉力 F 与水平方向的夹角为 = = arctan。F 的最小值可以表达为：Fmin = G 。1+ 2例 7：如图 87 所示，一带电质点，质量为 m，电量为 q，以平行于 Ox 轴的速度 v 从 y 轴上的 a 点射入图中第一象限所示的区域，为了使该质点能从 x 轴上的 b 点以垂直于 Ox 轴的速度 v 射出，可

8、在适当的地方加一个垂直于 xy 平面、磁感应强度为 B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。解析：当带电质点以垂直于磁场方向的速度 v 进入磁场，在磁场中将做匀速圆周运动，由此要从 a 点进入从 b 点射出其圆轨道为 1 圆弧，因而可用作图4法求解。过 a 点作平行 Ox 轴的直线，过 b 作平行 Oy 的直线，两直线相交于 c 点，如图 87 甲所示，可见只要能保证带电质点的 1 圆轨道4处在匀强磁场中，即可使带电质点从 b 点射出，由此可知，磁场区域有一最小值，其最小半径为 1 圆形轨道两4个端点连线的一半，即：由 qvB = m v2

9、可得粒子在磁场中的偏转半径为：r =rmv qB2 r = 2mv所加磁场的最小半径为：R =2 2qB例 8：图 88 中 AB 表示一横放的平面镜，P1P2是水平放置的米尺（有刻度的一面朝着平面镜）， MN 是屏，三者互相平行，屏 MN 上的 ab 表示一条直缝（即 a、b 之间是透光的）。某人眼睛紧贴米 尺上的小孔 S（其位置见图），可通过平面镜看到 米尺上的一部分刻度。试在本题的图上用三角板作图求出可看到 ，并在 P1P2 上把这部分涂以标志。解析：根据物像位置镜面对称可知：人眼通过平面镜看到的米尺刻度范围， 好像人眼在平面镜中的像直接去看刻度范围，不过要受到挡板 MN 的像 MN的阻

10、挡，所以先将眼睛在平面镜中成像点 S作出，再作出挡板 MN 在平面镜中的像 MN，如图 88甲，其中 a b是挡板上的缝 ab 在平面镜中的像，连接 Sa 并延长交 AB 、P1P2 于 c 、d 两点，再作 S和 b 的连线交 AB 于 E 点，并延长后交 P1P2 于 F 点，则dF 即为人眼通过平面镜和挡板后能看到的刻度范围。例 9：光线透过空气中的平行平面厚玻璃板，问下图 89 所示四种情形中，哪一种是正确的？解析：根据光的折射定律，光由光疏介质进入光密介质时，光线要向着法线的方向偏析，相反时，向远离法线的方向偏折， 且在传播中光路是可逆的。 由上分析可知，B 图是正确的。例 10：某

11、人通过焦距为 10cm，直径为 4.0cm 的薄凸透镜观看方格纸， 每个方格的边长为 0.3cm。他使透镜的主轴与方格纸垂直 AB ，透镜与纸面相距 10cm，眼睛位于透镜主轴上离透镜 5.0cm 处。问他至多能看到同一行上几个完整的方可格？解析：可以用光路的可逆性来做，若在 S 点放一点光源，则成像于 S点， 能照亮方格纸上一定面积，其直径为 x ，如图 810 所示，根据光路的可逆性， 来自面积 x 上的方格的光经透镜折射后都能进入人眼，即能被人看到。由 1 + 1 = 1 可得：p=10cm p p f由相似三角形对应边成比例得：x = 20 ，所以 x = 8cm ，格数 n = x

12、= 8= 26.7d 10 l 0.3即最多能看到同一行上 26 个完整的方格。例 11：凸透镜 L1 与凹透镜 L2 同轴放置，L1 左侧媒质的折射率 n ，L2 右侧媒质的折射率也是 n ，两透镜之间的价质折射率为 n0，且 nn0。F1 是 L1 的物方 2焦点，F2 是 L2 的物方焦点，F 是 L2 的像方焦点。有一物点 S 位于 L1 的物方焦平面上，如图 811 所示。（1）画出成像光路图，求出像点 S1 的位置。简述作图的依据；（2）若 L1 的物方焦距 f1 = 20 厘米，L2 的物方焦距 f2 = 10 厘米，物点 S 离光轴的距离为 2 厘米，问像点 S1 离光轴的距离

13、为多少？解析：放于焦平面上的点光源发出的 光经凸透镜折射后平行于副光轴，平行作图法第 5 页（共 10 页）于副光轴的平行光经凹透镜发散后，反向延长线将交一凹透镜的副焦点，光路图如图 811甲所示。（1）作法：过 S 作过光心 O 点的光线，传播方向不改变；过 O点作平行于 SO 的辅助线及过 F2 作垂直于主轴的直线（焦平面），两线相交于 S1（副焦点）。平行于副光轴的光线，经凹透镜折射后，折射线的反向延长线将通过S1 点，即 S1 为所求的像点。（2）由图可知： SF1 = f1 ，所以： SF = 1cm 1 2 S1F2 f2即 S1 离主光轴的距离为 1cm。针对训练1如图 812

14、所示，一个重为 G 的匀质球，放在光滑的斜面上，斜面倾角为 ，在斜面上有一光滑的斜木板挡住球处于静止状态。如果挡板与斜面间的夹角 缓慢增大到挡板呈水平状态，此过程中挡板对球的弹力 N1 和斜面对球的弹力 N2 如何变化？2一重为 G 的物块放在倾角为 的斜面上，物块与斜面间的摩擦因数为 ，今在物块上的作用力为 F，F 可与斜面成任意夹角，如图 813 所示，求拉动物块沿斜面上升所需力 F 的最小值及对应的 角。3如图 814 所示，小环 m1、m2 能沿着一轻绳光滑地滑动，绳的两端固定于直杆 AB 的两端，杆与水平线成角度 。在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环，并使 m1、m2 在其两边，设环与

15、直杆的接触是光滑的，当系统平衡时，直杆与轻环两边的绳夹角为 ，试证明： tan = m1 - m2 。 tan m1 + m24一条在湖面上以恒定速度行驶的船上，有一与船固定的竖直光滑墙壁。有一个小球沿水平方向射到墙上。相对于岸，小球的速度大小为 v1，方向与墙的法线成 60角，小球自墙反弹时的速度方向正好与小球入射到墙上时的速度方向垂直。问船的速度应满足什么条件。设小球与墙壁的碰撞是完全弹性的。 5F = 400N 的力拖着小船，使它沿着河中心线运动。现甲、乙两人在河两岸共同拖船，已知甲拉力的方向与河中心线的夹角为30，要使两人共同产生的效果与 F 单独作用的效果相同，乙拉力的最小值应为多少？方向如何？6如图 815 所示，一储油圆桶，底面直径与桶高均为 d。当桶内无油时，从某点 A 恰能看到桶底边缘上的某点 B