高中数学步步高大一轮复习讲义文科第三章 专题一Word文档格式.docx

1、m1，n3，即f（x）x33x2，令f（x）3x26x0，解得2x0，则t，t12,0，故t2且t10，所以t2，1题型一利用导数研究函数的单调性例1设函数f（x）x（ex1）ax2.（1）若a，求f（x）的单调区间；（2）若当x0时，f（x）0，求a的取值范围思维启迪求出f（x），分析函数的单调性，得出结论解（1）a时，f（x）x（ex1）x2，f（x）ex1xexx（ex1）（x1）当x（，1）时，f（x）0；当x（1,0）时，f（x）0.故f（x）的单调递增区间为（，1），（0，），单调递减区间为（1,0）（2）f（x）x（ex1ax），令g（x）ex1ax，g（x）exa.若a1，则当

2、x（0，）时，g（x）0，g（x）为增函数，而g（0）0，从而当x0时，g（x）0，即f（x）0.若a1，则当x（0，ln a）时，g（x）0，g（x）为减函数，而g（0）0，从而当x（0，ln a）时，g（x）0，即f（x）0或f（x）0）上的最小值；（2）对一切x（0，），2f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x（0，），都有ln x成立思维启迪（1）求f（x），讨论参数t求最小值；（2）分离a，利用求最值得a的范围；（3）寻求所证不等式和题中函数f（x）的联系，充分利用（1）中所求最值（1）解由f（x）xln x，x0，得f（x）ln x1，令f（x）0，得x.

3、当x（0，）时，f（x）0，f（x）单调递增当0tt2，即0时，f（x）minf（）；当t0），则h（x），当x（0,1）时，h（x）0，h（x）单调递增，所以h（x）minh（1）4，对一切x（0，），2f（x）g（x）恒成立，所以ah（x）min4.（3）证明问题等价于证明xln x（x（0，）由（1）可知f（x）xln x（x（0，）的最小值是，当且仅当x时取到，设m（x）（x（0，），则m（x），易知m（x）maxm（1），当且仅当x1时取到从而对一切x（0，），都有ln x思维升华（1）恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解

4、（2）证明不等式，可以转化为求函数的最值问题已知函数f（x）sin x（x0），g（x）ax（x0）（1）若f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a取（1）中的最小值时，求证：g（x）f（x）x3.（1）解令h（x）sin xax（x0），则h（x）cos xa.若a1，h（x）cos xa0，h（x）sin xax（x0）单调递减，h（x）h（0）0，则sin xax（x0）成立若0a0，h（x）sin xax（x（0，x0）单调递增，h（x）h（0）0，不合题意，结合f（x）与g（x）的图像可知a0显然不合题意，综上可知，a1.（2）证明当a取（1）中的最小值1时，g（x）f

5、（x）xsin x.设H（x）xsin xx3（x0），则H（x）1cos xx2.令G（x）1cos xx2，则G（x）sin xx0（x0），所以G（x）1cos xx2在0，）上单调递减，此时G（x）1cos xx2G（0）0，即H（x）1cos xx20，所以H（x）xsin xx3（x0）单调递减所以H（x）xsin xx3H（0）0，即xsin xx30（x0），即xsin xx3（x0）所以，当a取（1）中的最小值时，g（x）f（x）x3.题型三利用导数研究方程解或图像交点问题例3已知f（x）ax2 （aR），g（x）2ln x.（1）讨论函数F（x）f（x）g（x）的单调性；（

6、2）若方程f（x）g（x）在区间，e上有两个不等解，求a的取值范围思维启迪（1）通过讨论a确定F（x）的符号；（2）将方程f（x）g（x）变形为a，研究（x）图像的大致形状解（1）F（x）ax22ln x，其定义域为（0，），F（x）2ax （x0）当a0时，由ax210，得x.由ax210，得0x0时，F（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减当a0时，F（x）0）恒成立故当a0时，F（x）在（0，）上单调递减（2）原式等价于方程a（x）在区间，e上有两个不等解（x）在（，）上为增函数，在（，e）上为减函数，则（x）max（），而（e）（2）（）（x）min（e），如图当f（x）g（x）在，

7、e上有两个不等解时有（x）min，故a的取值范围为a（1）若a1，f（x）在（0，）上是单调增函数，求b的取值范围；（2）若a2，b1，求方程f（x）在（0,1上解的个数解（1）f（x）|x2|bln x2时，f（x）x2bln x，f（x）1.由条件，得10恒成立，即bx恒成立b2.当x2时，f（x）x2bln x，f（x）1，由条件，得10恒成立，即bx恒成立b2.综合，得b的取值范围是b|b2（2）令g（x）|ax2|ln x，即g（x）当0时，g（x）ax2ln x，g（x）a.0则g（x）a0.即g（x）0，g（x）在（0，）上是递增函数当x时，g（x）ax2ln x，g（x）ag（

8、x）在（，）上是递增函数又因为函数g（x）在x有意义，g（x）在（0，）上是递增函数g（）ln ，而a2，ln 0，则g（）a2，g（1）a3.当a3时，g（1）a30，g（x）0在（0,1上解的个数为1.当2a3时，g（1）a30，g（x）0在（0,1上无解，即解的个数为0.（时间：80分钟）1 已知函数f（x）ax3x2bx（其中常数a，bR），g（x）f（x）f（x）是奇函数（1）求f（x）的表达式；（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间1,2上的最大值与最小值解（1）由题意得f（x）3ax22xb，因此g（x）f（x）f（x）ax3（3a1）x2（b2）xb.因为函数g（x）是

9、奇函数，所以g（x）g（x），即对任意实数x，有a（x）3（3a1）（x）2（b2）（x）bax3（3a1）x2（b2）xb，从而3a10，b0，解得a，b0，因此f（x）的表达式为f（x）x3x2.（2）由（1）知g（x）x32x，所以g（x）x22.令g（x）0，解得x1，x2，则当x时，g（x）从而g（x）在区间（， ），（，）上是减函数；当从而g（x）在区间（，）上是增函数由上述讨论知，g（x）在区间1,2上的最大值与最小值只能在x1，2时取得，而g（1），g（），g（2），因此g（x）在区间1,2上的最大值为g（），最小值g（2）.2 已知函数f（x）axxln x的图像在点xe（e

10、为自然对数的底数）处的切线斜率为3.（1）求实数a的值；（2）若kZ，且k1恒成立，求k的最大值解（1）因为f（x）axxln x，所以f（x）aln x1.因为函数f（x）axxln x的图像在点xe处的切线斜率为3，所以f（e）3，即aln e13，所以a1.（2）由（1）知，f（x）xxln x，又k1恒成立，即k1），则h（x）1所以函数h（x）在（1，）上单调递增因为h（3）1ln 3所以方程h（x）0在（1，）上存在唯一实根x0，且满足x0（3,4）当1x0时，h（x）0，即g（x）x0时，h（x）0，所以函数g（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，）上单调递增，所以g（x）m

11、ing（x0）x0（3,4），所以kg（x）minx0（3,4），故整数k的最大值为3.3 设函数f（x）ex1xax2.（1）若a0，求f（x）的单调区间；（2）若当x0时f（x）0，求a的取值范围解（1）若a0，f（x）ex1x，f（x）ex1.当x（，0）时，f（x）1x（x0）可得ex1x（x0）从而当a时，f（x）ex12a（ex1）ex（ex1）（ex2a），令ex（ex1）（ex2a）0得1ex2a，0ln 2a.故当x（0，ln 2a）时，f（x）0，f（x）在（0，ln 2a）上单调递减而f（0）0，于是当x（0，ln 2a）时，f（x）0.不符合要求综上可得a的取值范围为（

12、，4 已知f（x）x23x1，g（x）x.（1）a2时，求yf（x）和yg（x）的公共点个数；（2）a为何值时，yf（x）和yg（x）的公共点个数恰为两个解（1）由得x23x1x，整理得x3x2x20（x1）令yx3x2x2，求导得y3x22x1，令y0，得x11，x2，故得极值点分别在1和处取得，且极大值、极小值都是负值故公共点只有一个（2）由得x23x1x，整理得ax3x2x（x1），令h（x）x3x2x，联立如图，对h（x）求导可以得到极值点分别在1和处，画出草图，h（1）1，h（），当ah（1）1时，ya与yh（x）仅有一个公共点（因为（1,1）点不在yh（x）曲线上），故a时恰有两个

13、公共点5 定义在R上的函数f（x）ax3bx2cx3同时满足以下条件：f（x）在（0,1）上是减函数，在（1，）上是增函数；f（x）是偶函数；f（x）的图像在x0处的切线与直线yx2垂直（1）求函数yf（x）的解析式；（2）设g（x）4ln xm，若存在x1，e，使g（x）f（x），求实数m的取值范围解（1）f（x）3ax22bxc.f（x）在（0,1）上是减函数，在（1，）上是增函数，f（1）3a2bc0， （*）由f（x）是偶函数得b0， 又f（x）的图像在x0处的切线与直线yx2垂直，f（0）c1， 将代入（*）得a，f（x）x3x3.（2）由已知得，若存在x1，e，使4ln xm（4l

14、n xx21）min.设M（x）4ln xx21，x1，e，则M（x）2x，令M（x）0，x1，e，x.当xe时，M（x）0，M（x）在1，上为增函数，M（x）在1，e上有最大值且在x处取到又M（1）0，M（e）5e25e2.6 （2013湖南）已知a0，函数f（x）.（1）记f（x）在区间0,4上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（2）是否存在a，使函数yf（x）在区间（0,4）内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由解（1）当0xa时，f（x）；当xa时，f（x）.因此，当x（0，a）时，f（x）f（x）在（a，）上单调递增若a4，则

15、f（x）在（0,4）上单调递减，g（a）f（0）.若04，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a,4）上单调递增所以g（a）maxf（0），f（4）而f（0）f（4），故当0a1时，g（a）f（4）；4时，g（a）f（0）.综上所述，g（a）（2）由（1）知，当a4时，f（x）在（0,4）上单调递减，故不满足要求4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a,4）上单调递增若存在x1，x2（0,4）（x1x2），使曲线yf（x）在（x1，f（x1），（x2，f（x2）两点处的切线互相垂直则x1（0，a），x2（a,4），且f（x1）f（x2）1.即1.亦即x12a. （*）由x1（0，a），x2（a,4）得x12a（2a,3a），.故（*）成立等价于集合Ax|2a3a与集合B的交集非空因为3a，所以当且仅当02a1，即0时，AB.综上所述，存在a使函数f（x）在区间（0,4）内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是.