1、杨老师数学 高考专题讲义解析几何-专题复习考点1:圆锥曲线的定义及几何性质、标准方程例1:(2010安徽高考理科19)已知椭圆经过点,对称轴为坐标轴,焦点在轴上,离心率。 (1)求椭圆的方程;(2)求的角平分线所在直线的方程;(3)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由。练习1已知双曲线(a0,b0,。(1)设动点P满足,求点P的轨迹;(2)设,求点T的坐标;(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。详细解答例1(1)设椭圆的方程为(),由题意,又,解得:椭圆的方程为(2)方法1:由(1)问得,又,易得为直角三角形,其中设的角平分线所在直
2、线与x轴交于点,根据角平线定理可知:,可得, 直线的方程为:,即。方法2:由(1)问得,又,直线的方程为:,即。(3)假设椭圆上存在关于直线对称的相异两点、,令、,且的中点为,又,两式相减得: ,即(3),又在直线上,(4)由(3)(4)解得:,所以点与点是同一点,这与假设矛盾,故椭圆上不存在关于直线对称的相异两点。练习1.解:双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率, ,离心率e2=, e2,选C。例2:()因为,且,所以所以椭圆C的方程为.()由题意知由 得所以圆P的半径为.由,解得.所以点P的坐标是(0,).(
3、)由()知,圆P的方程.因为点在圆P上。所以由图可知。设,则当,即,且,取最大值2.练习2、解:(1)设椭圆方程为(ab0) 因为,得又,则故椭圆的标准方程是 (2)由椭圆方程知,c1,所以焦点F(0,1),设点A(x1,y1),B(x2,y2) 由,得(x1,1y1)(x2,y21),所以x1x2,1y1(y21) 于是因为,则y12y2 联立y12y2和1y1(y21),得y1,y2 因为抛物线方程为yx2,求导得yx设过抛物线上的点A、B的切线分别为l1,l2,则直线l1的方程是yx1(xx1)y1,即yx1xx12 直线l2的方程是yx2(xx2)y2,即yx2xx22 联立l1和l2
4、的方程解得交点M的坐标为 因为x1x2x224y24 所以点M 于是,(x2x1,y2y1)所以(x22x12)2(x22x12)0故为定值0练习3、解:(1)由题意得所求的椭圆方程为(2)不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为,直线MN的方程为,将上式代入椭圆的方程中,得,即,因为直线MN与椭圆有两个不同的交点,所以有,设线段MN的中点的横坐标是,则,设线段PA的中点的横坐标是,则,由题意得,即有,其中的或;当时有,因此不等式不成立;因此,当时代入方程得,将代入不等式成立,因此的最小值为1例3:(1)由题意知,椭圆离心率为,得,又,所以可解得,所以,所以椭圆的标准方程为;所以椭圆的焦点坐标为(,
5、0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为.(2)设点P(,),则=,=,所以=,又点P(,)在双曲线上,所以有,即,所以=1.(3)假设存在常数,使得恒成立,则由(2)知,所以设直线AB的方程为,则直线CD的方程为,由方程组消y得:,设,则由韦达定理得:所以|AB|=,同理可得|CD|=,又因为,所以有=+=,所以存在常数,使得恒成立。例4:(1)设点P(x,y),则:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。由,得 化简得。故所求点P的轨迹为直线。(2)将分别代入椭圆方程,以及得:M(2,)、N(,)直线MTA方程为:,即,直线NTB 方程为:,即。联立方程组,解得:,所以点T的坐标为。(3)点T的坐标为直线MTA方程为:,即,直线NTB 方程为:,即。分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,解得:、。方法一:当时,直线MN方程为: 令,解得:。此时必过点D(1,0);当时,直线MN方程为:,与x轴交点为D(1,0)。所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0)。方法二:若,则由及,得,此时直线MN的方程为,过点D(1,0)。若,则,直线MD的斜率,直线ND的斜率,得,所以直线MN过D点。因此,直线MN必过轴上的点(1,0)。12
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