网络流基础及应用Word格式文档下载.docx

1、当所有fij=0，称为零流，零流一定是可行流。对于源Z和汇Z有fZj=fjZ=数叫做网络流的流量。当fij=Cij时，称边（Vi,Vj）饱和，表示流f对于该边饱和。达到最大值时的流f，称为D=（V,E,C）的最大流。三.求最大流的理论基础1、割切概念某些边的集合设D=（V,E,C）是已知的网络流图，假定S是V的一个子集，且S满足ZS Z （not）S且令S为S的补集，这样把顶点集V分成S和S两个部分，其中ZS,Z S对于一个端点在S，而另一个端点在S的所有边的集合，叫做网络流图D的一个割切，用（S,S）表示。下图用虚线划去的表示一个割切，其中S=Z,b,c,d，S=a,Z。割切容量C（S,S）

2、：在割切（S,S）中，把从S到S的边容量和叫做这割切的容量。上边割切容量C（S,S）=CZa+Cba+CbZ+CdZ=4+3+2+4=132、定理：对于已知的网络流，从源点Z到汇点Z的流量的最大值小于等于任何一个割切的容量，即Max =Min C（S,S）。证明：当Vi为网络流图的任一中间点时，根据平衡条件，恒有fij-fji=0 当i=Z时，fZj= 设（S,S）为一任一个切，则有（fij-fji）= 注：iS，Z（not）S，ZS当iZ时，由式得0当i=Z时，由式得又因为SS=V所以（fij-fji）= （fij-fji）+ （fij-fji）= 式中（fij-fji）的两个下标都是对S的

3、全体求和，其展开式中任意一项fpq都一一对应一项-fpq，所以（fij-fji）=0即由式得（fij-fji） = 再由于0Cij，所以fij-fji=Cij由式=（fij-fji）= Cij= C（S,S）故有Max =Min C（S,S）3、最大流量最小割切定理（Ford-Fulkerson定理）在一个给定的网络流图上，流的极大值等于割切容量的最小值，即Max =Min C（S,S）（下面的证明是构造性的，可以从中引出求最大流的算法思想）（求证思路：由于已知Max =Min C（S,S）是不能进一步增加流量，直到使Max =Min C（S,S）在网络流图D=（V,E,C）中，定义从源点Z到

4、汇点Z的道路：设Z=V0,V1,.,Vn-1,Vn=Z为D上的顶点序列，对于i=0,1,.,n-1，恒有（Vi,Vi+1）或（Vi+1,Vi）边是D的一条边。则称V0,V1,.,Vn是一条从Z到Z的道路。由于D是有向图，道路上边的方向与道路方向一致的边称为前向边P+，反之称为后向边P-。道路上边的饱和：前向边若fij=Cij，后向边若fij=0,称边（Vi,Vj）为关于该道路上的饱和边。若从Z到Z的道路上所有的边均不饱和，即对于P+若fij0，则称这条路为可增广道路。修改可增广道路上每条边的流量，同时保持网络流的可行性，达到流量的增加，其增量的确定方法如下：Cij-fij P+fij P-令i

5、j=取=Min（ij），为增量。就是对可增广道路P的每一条前向边流量增加，每一条后向边流量减少，从而使得整个网络流的流量获得增加（这是显而易见的）下面论证Max =Min C（S,S）设网络流图D的流量f达到极大，我们构造一个割切（S,S）如下若Z S，则有一条从Z到Z的道路，Z=V0,V1,.,Vk=Z，这条道路上所有的边均不饱和，因而是条可增广道路，这和f是最大流的假设矛盾。ZS若xS，且fxy0，则yS显然Z S（Z的出度d（Z）=0），所以（S,S）是一个割切。按照子集S的定义，若xS，yS，则fxy=Cxy若yS，xS，则fyx=0所以=（fxy-fyx）= fxy=C（S,S）即M

6、ax =Min C（S,S）通过以上论证，可知当D中找不到可增广道路时，此时的流为最大流；当D中的流最大时，一定存在容量最小的割切（S,S）四.求网络最大流的算法根据上述最大流最小割切定理及其论证，我们不难得出下面重要结论：设f是网络流图D的一个流，如果存在从源点Z到汇点Z的关于f可增广道路P，那么f一定是最大流。至此，求最大流的基本思路为：标号法（Ford-Fulkerson算法）标号法分为两个过程，一是标号过程，通过标号过程找到一条可增广道路或无法找到可增广道路；二是增广过程，沿可增广道路增加网络流量。从一个可行流出发（若网络中没有初始流，则可以设f是零流）1、标号过程：用Vs表示源点，V

7、t表示汇点。在此过程中，网络中的顶点或者是已标号点（又分为已检查和未检查两种），或者是未标号点。每个标号点的标号包含两部分。第一个标号指明它的标号是从哪个顶点得到的，以便找出可改进量，第二个标号是为确定可改进量而设的。标号过程开始，先给源点Vs标上（0,+），这时Vs是已标号而未检查的点，其余都是未标号点。一般地，取一个已标号而未检查的点Vi，对一切未标号点Vj：若存在弧（Vi,Vj）且fij0，则给Vj标号（-Vi,L（Vj），其中L（Vj）=Min（L（Vi）,fji）,至此，Vj成为已标号而未检查点。在Vi的全部相邻顶点都已标号后，Vi成为标号而已检查的顶点。重复上述步骤，一旦Vt被标号

8、，表明得到一条从Vs到Vt的可增广道路P，转入增广过程。若所有标号点都已检查过使得标号过程无法继续时，则算法结束，这是的可行流即为最大流。2、增广过程 所得可增广道路P上的顶点都已标号。因此多用“倒向追踪”的方法，从Vt开始，利用标号点的第一个标号可得P上一条边，并以Vt的第二个标号l（Vt）（即可增广流量）作为改进量，增大P上的流量。 具体步骤如下： 取Vt的第一个标号Vk（或-Vk），则弧（Vk,Vt）（或相应的弧（Vt,Vk）是P上的弧，接下来再根据Vk的第一个标号Vi（或-Vi），再找到P上的弧（Vi,Vk）（或（Vk,Vi） ，直到找到Vs为止，这是所有被找出的弧就构成了可增广道路P

9、。 根据第一个标号的正负号，可知其方向是前向还是后向。令改进量=L（Vt），对弧上的流量fij作改进：fij+ （Vi,Vj）为p+fij- （Vi,Vj）为p-Fij= 去掉所有的标号，对新的流F=（fij）重新进入标号过程。求最大流标号发的描述数据结构Const maxn=Type node=record 可增广道路的顶点类型 l,p:integer； 第一标号，检查标号 end; arc=record 网络边类型 c,f:integer; 容量，流量 gtype=array0.maxn,0.maxn of arc； 网矩阵 ltype=array0.maxn of node; 可增广道路

10、var lt:ltype; g:gtype; 网络 n,s,t: 顶点数，源点，汇点 主要算法1 初始化网络，可增广道路procedure read-graph； var I,j:begin readln（n）; 顶点数 fillchar（g,sizeof（g）,0）; 初始化网络 fillchar（lt,sizeof（lt）,0）; 初始化可增广道路 for i:=1 to n do for j: read（gI,j.c）;end;2 寻找已标号而来检查的顶点序号function check: var i: i:=1; while （i=n）and not（lti.l0）and（lti.p=

11、0） do inc（i）; if in then check:=0 顶点不存在 else check:=i;3 标号过程，并返回是否找到可增广道路及改进量afunction ford（var a:integer）:boolean; 无增广道路返回true var I,j,m,x: ford:=true; 去掉原来的标号 lts.l:=s; 从Vs开始 repeat=check; 寻找一个已标号而未检查的顶点i if i=0 then exit; 若该顶点不存在，则退出过程，返回true if （ltj.l=0）and（gI,j.c0）or（gj,i.c0） 寻找与Vi相邻且未标号的顶点j th

12、en begin if （gI,j.f0） then ltj.l:=-I; end; lti.p: 顶点Vi置已检查标志 until （ltt.l0） 直到汇点Vt标号为止 m:=t; a:=maxint; 从Vt倒推，改进量a赋初值 repeat 求a j:=m;=abs（ltt.l）; if ltj.l=gm,j.c-gm,j.f; if ax then a:=x; until m=s; 直至例推到顶点Vs为止=false; 返回可增广道路存在标志false4 修正流量procedure fulkerson（a:integer）; var m,j: 以顶点Vt出发，逆向沿可增广道路修正容量

13、=abs（ltj.l）;0 then gj,m.f:=gj,m.f-a; 后向边p-0 then gm,j.f:=gm,j.f+a; 前向边p+until m=s;5 输出所有弧的流量procedure answer; writeln（,I, ,j, ）, ,gI,j.f）6 算法合成procedure proceed; 求最大流var d: success:s: t:=n; 假设源点为V1，汇点为Vnrepeatsuccess:=ford（d）; 寻找可增广道路及改进量dif success then answer 增广道路不存在，输出最大流 else fulkerson（d） 沿增广道路修

14、正流量until success;7 主程序read_graph; 输入网proceed; 求最大流end.计算最大流的dinic算法 Dinic算法的思想是分阶段地在层次图中改进流量。下面先介绍网络图的剩余图及层次图概念。 剩余图：给定一个网络流图D1=（V1,E1,c）及一可行流f，与该网络流图D1=（V1,E1,c）关于流f的剩余图D2=（V2,E2），D2的顶点集与D1的顶点集相同，即V2=V1。对于D1中的任一条有向边（u,v）E1，若fuv0，那么边（u,v） E2，guv=fuv，显然改变为后向边。由此可见，网络流图D1中的每条边在剩余图D2中都化作了一条或两条边，D2中的每条边

15、都表示在D1中能沿某方向则增广，D2中边（u,v）的权值guv表示在D1中能够沿着Vu到Vv的方向增广大小为guv的流量。见下图。层次图：在剩余图中，把源点到点i的最短路径长度称作点i的层次，记为level（i）。源点s的层次为0。层次图的构造是这样的，设层次图D3=（V3，E3），对于剩余图D2=（V2，E2）中的一条边（u,v），当且仅当level（v）=level（u）+1时，边（u,v）E3，V3=uE3中有边与u相连。 直观地讲，层次图是建立在剩余图基础上的一张“最短路径图”。从源点开始，在层次图中沿着边不管怎么走，经过的路径一定是终点在剩余图中的最短路径。在D2中，从源点vs到汇点

16、vt的任意一条简单路径（即不存在重复顶点或边的路径）都对应可增广路径，路径上每条边的权值的最小值即为能够一次增广的容量。1dinic算法的基本流程算法是循环结构，将每一次循环称为一个阶段，在每个阶段中，首先根据剩余图建立层次图，然后用dfs过程在层次图内扩展可增广路径，调整流量。增广完毕后，进入下一个阶段。这样不断重复，直到汇点不再层次图内出现为止，汇点不再层次图内意味着在剩余图中不存在从源点到汇点的路径，即没有可增广路径。在算法实现中，层次图并不是构建出来的只需在剩余图中对每个顶点标记层次level，增广时，判断边是否满足level（u）+1=level（v）约束即可。2、Dinic算法描述

17、（1）数据结构顶点数上限 maxm= maxw=+ 取一个极大数type gtype=record （边类型） x,y,c,f,next,op:longint; 分别为边（x,y），容量，流量，后继指针，反向指针Var g:array1.maxm*2 of gtype; 以边目表存储网络流图 first,first1:array1.maxn of longint; 顶点Vi引出的首条边序号firsti p,level,prt: 队列或栈p，顶点Vi的层次level，可增广路 径上顶点Vi引出的边序号prti visited: 访问序列 n,m,tot,vs,vt,maxflow,temp: 顶

18、点数n，边数m，边序号tot，最大流量maxflow构造初始剩余图。 将网络图的边目表，及初始流f=0，通过add（a,b,c）过程插入容量为c的边（a,b）和容量为0的反向边（b,a）。 边目表的存储的链表形式：将顶点Vi引出的所有边存储在一个链表中，首条边的序号为firsti，顺着next指针，依次访问顶点Vi引出的所有边。 过程add。Procedure add（a,b,c:longint）; Begin Inc（tot）; gtot.x:=a; gtot.y:=b; gtot.c:=0; gtot.next:=first1a; first1a:=tot; 在a顶点引出的边表尾部插入该条

19、边 If firsta=-1 then firsta: gtot.op:=tot+1; 设置反向边指针 inc（tot）; 新增一条容量为0的边（b,a）=first1b; first1b: 在b顶点引出的边表尾部插入该条边If firstb=-1 then firstb:=tot-1;构建初始剩余图，设f=0为零流。Fillchar（g,sizeof（g）,0）; 网络流图初始化为空Readln（n,m）; 读入顶点数，边数For i:=1 to n do begin 每个顶点引出的边集初始化为空 firsti:=-1; first1:=-1Tot: 边序号初始化=1 to m do 读入第

20、i条边（a,b）及容量c,将该边和反向边插入到g中 Readln（a,b,c）; Add（a,b,c）; End;通过宽度优先搜索计算顶点层次level。 首先源点进队列，然后按照“层次”搜索剩余图，取出队首元素，搜索剩余图中队首元素引出的所有边。若边的两端点的层次至少相差2层以上，则另一个端点入队，该端点置于队首元素的下一层。依此类推，直至队列空。 Procedure make_level; Var I,open,closed,temp,tp: 队首指针open，队尾指针closed，队首元素tp Begin For i:=1 to n do leveli:=maxw; （每个顶点层次初始化

21、） Fillchar（p,sizeof（p）,0）; 队列置空 Open: closed: popen:=vs; levelvs: 源点vs进入队列，层次为1 While closedopen do 若队列非空，则取出队首顶点tp Begin Inc（closed）; tp:=pclosed; If tp=vt then exit; 若队首为汇点，则退出 Temp:=firsttp; 搜索剩余图中与队首顶点相连的所有边 While templeveltp+1 Then if （gtemp.f0） Then 若当前边属于剩余图，则另一端进入队列，其层次为队首顶点的下一层 Inc（open）;po

22、pen:=gtemp.y;levelgtemp.y:=leveltp+1; Temp:=gtemp.next; 取队首顶点相连的下一条边执行了make_level过程后，来计算出汇点Vt的层次，（levelVt=maxw），则说明源点Vs与汇点Vt间无路可通，不存在可增广路径，当前流为最大流。在计算出层次图后，则通过dfs扩展可增广路径来调整流量。在层次图内扩展可增广路径，调整流量。使用堆栈存储目前找到的可增广路径，栈顶指针指向路径中的最后一个顶点。一开始，栈中只有源点。Dfs过程分两个操作：如果栈顶元素为汇点，即找到了可增广路径，那么对栈中的可增广路径进行流量调整。流量调整后，栈顶里饱和边对应顶点间的所有元素出栈，以后进需要对栈中余下路径进行增广；如果栈顶元素u非汇点，且栈顶元素在层次图中连出的属于剩余图的边（u,v），则顶点v入栈，可增广路径中又扩展出一条边（u,v），并继续以u引出的下一条边出发进行dfs遍历；若u在