最新中学数学竞赛中常用的几个重要定理资料.docx

1、最新中学数学竞赛中常用的几个重要定理资料数学竞赛中几个重要定理1、 梅涅劳斯定理：如果在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F三点共线，则=12、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F，且满足=1，则D、E、F三点共线.【例1】已知ABC的重心为G，M是BC边的中点，过G作BC边的平行线AB边于X，交AC边于Y，且XC与GB交于点Q，YB与GC交于点P. 证明：MPQABC【例2】 以ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：

2、AMBC【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线.【练习1】设凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，过M作AD的平行线分别交AB，CD于点E，F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点. 求证：OPF=OEP【练习2】 在ABC中，A=900，点D在AC上，点E在BD上，AE的延长线交BC于F.若BE：ED=2AC：DC，则ADB=FDC塞瓦定理：设O是ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则塞瓦定理的逆定理： 设M、N、P分别在A

3、BC的边AB、BC、CA上，且满足，则AN、BP、CM相交于一点. 【例1】BE是ABC的中线，G在BE上，分别延长AG，CG交BC，AB于点D，F，过D作DNCG交BG于N，DGL及FGM是正三角形.求证：LMN为正三角形.【例2】在ABC中，D是BC上的点=，E是AC中点.AD与BE交于O，CO交AB于F求四边形BDOF的面积与ABC的面积的比【练习1】设P为ABC内一点，使BPA=CPA，G是线段AP上的一点，直线BG，CG分别交边AC，AB于E，F.求证：BPF=CPE【练习2】 在ABC中，ABC和ACB均为锐角.D是BC边BC上的内点，且AD平分BAC，过点D作垂线DPAB于P，D

4、QAC于Q，CP于BQ相交于K. 求证：AKBC托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则有ABCD+ADBC=ACBD【例1】 已知在ABC中，ABAC，A的一个外角的平分线交ABC的外接圆于点E，过E作EFAB，垂足为F.求证：2AF=AB-AC【例2】经过XOY的平分线上的一点A，任作一直线与OX及OY分别相交于P，Q. 求证：+为定值【例3】 解方程+=【练习1】 设AF为O1与O2的公共弦，点B，C分别在O1，O2上，且AB=AC，BAF，CAF的平分线交O1，O2于点D，E. 求证：DEAF【练习2】O为正ABC的外接圆，AD是O的直径，在弧BC上任取一点P（与B，C不重合）.设

5、E，F分别为PAB，PAC的内心.证明：PD=PE-PF西姆松定理：点P是ABC外接圆周上任意一点，PDBC，PEAC，PFAB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，此直线称为西姆松线.【例1】过正ABC外接圆的弧AC上点P作PD直线AB于D,作PEAC于E,作PFBC于F.求证：+=【练习1】设P为ABC外接圆周上任一点，P点关于边BC，AC所在的直线的对称点分别为P1，P2.求证：直线P1P2经过ABC的垂心.三角形的五心内心 【例1】设点M是ABC的BC边的中点，I是其内心，AH是BC边上的高，E为直线IM与AH的交点.求证：AE等于内切圆半径r【例2】在ABC中，AB=4，AC=6

6、，BC=5，A的平分线AD交ABC的外接圆于K.O，I分别为ABC的外心，内心.求证：OIAK【练习】 在ABC中，BAC=300，ABC=700，M为形内一点，MAB=MCA=200求MBA的度数.外心【例1】锐角ABC的外心为O，线段OA，BC的中点为M，N，ABC=4OMN，ACB=6OMN.求OMN【例2】在等腰ABC中，AB=BC，CD是它的角平分线，O是它的外心，过O作CD的垂线交BC于E，再过E作CD的平行线交AB于F，证明：BE=FD.【练习】1、O1与O2相交于P，Q，O1的弦PA与O2相切，O2的弦PB与O1相切.设PAB的外心为O，求证：OQPQ重心【例1】在ABC中，G

7、为重心，P是形内一点，直线PG交直线BC，CA，AB于F，E，D.求证：+=3【例2】已知ABC的重心G和内心I的连线GIBC，求证：AB+AC=2BC【练习】1、设M为ABC的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，求ABC的面积.2、设O是ABC的外心，AB=AC，D是AB的中点，G是ACD的重心，求证：OGCD垂心三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍.【例1】ABC的外接圆为O，C=600，M是弧AB的中点，H是ABC的垂心.求证：OMOH【例2】已知AD，BE，CF是锐角ABC的三条高，过D作EF的平行线RQ，RQ分别交AB和AC于R，Q，P为EF与CB的延长线的交点.

8、证明：PQR的外接圆通过BC的中点M.旁心【例1】在锐角XAY内部取一点，使得ABC=XBD，ACB=YCD.证明：ABC的外心在线段AD上.【例2】AD是直角ABC斜边BC上的高（ABCD，K，M分别是腰AD，CB上的点，DAM=CBK，求证：DMA=CKB其他的一些数学竞赛定理1、 广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和.推论2：设ABC三边长分别为a、b、c，对应边上中线长分别为ma、mb、mc则：ma=；mb=；mc=2、 三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：如果1=2，则有外角平分线定理：如图，AD是ABC中A的外角平分线交BC的延长线与D，

9、则有3、 三角形位似心定理：如图，若ABC与DEF位似，则通过对应点的三直线AD、BE、CF共点于P4、 正弦定理、在ABC中有（R为ABC外接圆半径）余弦定理： a、b、c为ABC的边，则有： a2=b2+c2-2bccosA; 五、创业机会和对策分析b2=a2+c2-2accosB; c2=a2+b2-2abcosC; 送人 有实用价值 装饰据统计，上海国民经济持续快速增长。03全年就实现国内生产总值（GDP）6250.81亿元，按可比价格计算，比上年增长11.8%。第三产业的增速受非典影响而有所减缓，全年实现增加值3027.11亿元，增长8%，增幅比上年下降2个百分点。8-4情境因素与消费者行为 2004年3月20日（二）创业弱势分析（3）个性体现5、欧拉定理：ABC的外接圆圆心为O，半径为R，内切圆圆心为I，半径为r,记OI=d,则有：d2=R2-2Rr.（二）大学生对DIY手工艺品消费态度分析标题：大学生“负债消费“成潮流 2004年3月18日我们熟练的掌握计算机应用，我们可以在网上搜索一些流行因素，还可以把自己小店里的商品拿到网上去卖，为我们小店提供了多种经营方式。2、传统文化对大学生饰品消费的影响6、巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF（不论其六顶点排列次序如何），其三组对边AB与DE、BC与EF、CD与FA的交点P、Q、R共线.