数学规划模型Word格式.docx

1、若买，每天最多买多少? 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？决策变量： x1桶牛奶生产A1 （获利 243x1 ） x2桶牛奶生产A2 （获利 164 x2 ）目标函数： 每天获利 约束条件：1） 原料供应 2） 劳动时间 3） 加工能力 4） 非负约束 模型分析与假设 比例性: xi对目标函数的“贡献”与xi取值成正比 xi对约束条件的“贡献”与xi取值成正比 可加性 xi对目标函数的“贡献”与xj取值无关 xi对约束条件的“贡献”与xj取值无关 连续性 xi取值连续 假设A1,A2每公斤的获利是与各自产量无关的常数每桶牛奶加工出A

2、1,A2的数量和时间是与各自产量无关的常数A1,A2每公斤的获利是与相互产量无关的常数每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时间是与相互产量无关的常数加工A1,A2的牛奶桶数是实数 模型求解 图解法图解法c目标函数 z=c （常数） 等值线 在B（20,30）点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。目标函数的等值线为直线 模型求解 max 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end软件实现LINDO 6.1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1） 3360.000 VAR

3、IABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 影子价格 2） 0.000000 48.000000 原料增加1单位, 利润增长48 3） 0.000000 2.000000 时间增加1单位, 利润增长2 4） 40.000000 0.000000 加工能力增长不影响利润 NO. ITERATIONS= 2结果解释 20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。三种资源原料无剩余时间无剩余

4、加工能力剩余40“资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束） 35元可买到1桶牛奶，要买吗？ 35 48, 应该买！ 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！DO RANGE（SENSITIVITY） ANALYSIS? Yes 最优解不变时目标函数系数允许变化范围 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: （约束条件不变） OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000

5、 x1系数范围（64,96） X2 64.000000 8.000000 16.000000 x2系数范围（48,72） RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE x1系数由24 2 50.000000 10.000000 6.666667 3=72增加为 3 480.000000 53.333332 80.000000 303=90，在允许 4 100.000000 INFINITY 40.000000 范围内 A1获利增加到 30元/千克，应否改变生产计划不变！结果解释 影子价格有

6、意义时约束右端的允许变化范围 VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLEX1 72.000000 24.000000 8.000000X2 64.000000 8.000000 16.000000ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 原料最多增加10 3 480.000000 53.333332 80.000000 时间最多增加53 4 100.000000 NFINITY 40.000000 35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？最

7、多买10桶!例2 奶制品的生产销售计划 在例1基础上深加工问题 例1给出的A1，A2两种奶制品的生产条件、利润，及工厂的“资源”限制全都不变，为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可使1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1，也可将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2，每公斤B1能获利44元，每公斤B2能获利32元。试为该厂制订一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论以下问题：1） 若投资30元可以增加供应1桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否作这项投资？若每天投资150元，可赚回多少？2） 每公斤高级奶制品B1，B2的获利经常有10%的波动，对制

8、订的生产销售计划有无影响？若每公斤B1的获利经常下降10%，计划应该变化吗？获利32元/千克 50桶牛奶, 480小时 至多100公斤A1 制订生产计划，使每天净利润最大 30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？ B1，B2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？决策变量出售x1 千克 A1, x2 千克 A2， X3千克 B1, x4千克 B2 x5千克 A1加工B1， x6千克 A2加工B2利润 约束条件附加约束 软件实现 LINDO 6.1 DO RANGE （SENSITIVITY） ANALYSIS?No 结果解释OBJECTIVE FUN

9、CTION VALUE 1） 3460.800 每天销售168 千克A2和19.2 VARIABLE VALUE REDUCED COST 千克B1，利润3460.8（元） X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 8桶牛奶加工成A1，42桶牛奶 X3 19.200001 0.000000 加工成A2，将得到的24千克 X4 0.000000 0.000000 A1全部加工成B1 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2） 0.00000

10、0 3.160000 3） 0.000000 3.260000 除加工能力外均为紧约束 4） 76.000000 0.000000 5） 0.000000 44.000000 6） 0.000000 32.00000030元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投资？ 1） 3460.800 结果解释VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 增加1桶牛奶使利润增长 X5 24.000000 0.000000

11、 3.1612=37.92 X6 0.000000 1.520000 增加1小时时间使利润ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 增长3.26 3） 0.000000 3.260000 投资150元增加5桶牛奶，可 4） 76.000000 0.000000 赚回189.6元。（大于增加时 5） 0.000000 44.000000 间的利润增长）结果解释 B1,B2的获利有10%的波动，对计划有无影响 Yes COEF INCREASE DECREASE B1获利下降10%， X1 24.000000 1.680000 INFINITY超出X3 系数允许范围 X2

12、16.000000 8.150000 2.100000 B2获利上升10%， X3 44.000000 19.750002 3.166667 超出X4 系数允许范围 X4 32.000000 2.026667 INFINITY X5 -3.000000 15.800000 2.533334波动对计划有影响 X6 -3.000000 1.520000 INFINITY 生产计划应重新制订：如将x3的系数改为39.6计算，会发现结果有很大变化。 4.2 自来水输送与货机装运运输问题某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A、B、C三个水库供应。四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为30，70

13、，10，10千吨，但由于水源紧张，三个水库每天最多只能分别供应50，60，50千吨自来水。由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费不同（见表1，其中C水库与丁区之间没有输水管道），其他管理费用都是450元/千吨。根据公司规定，各区用户按照统一标准900元/千吨收费。此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每天50，70，20，40千吨。该公司应如何分配供水量，才能获利最多？为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库改造，使三个水库每天的最大供水量都提高一倍，问那时供水方案应如何改变？公司利润可增加到多少？生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方

14、案使运费最小，或利润最大；各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。例1 自来水输送（以天计） 收入：900元/千吨 支出 引水管理费/其他费用:450元/千吨 应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？ 若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？问题分析丁：10；40总供水量：160 总需求量（300），确定送水方案使利润最大利润 = 收入（900） 其它费用（450） 引水管理费B, C 类似处理 需求约束可以不变求解30 1） 88700.00 总利润 88700（元） X11 0.000000 20.000000 X12 100.00000

15、0 0.000000 这类问题一般称为“运 X13 0.000000 40.000000 输问题” X14 0.000000 20.000000 （ Transportation Problem） X21 30.000000 0.000000 X22 40.000000 0.000000 X23 0.000000 10.000000 X24 50.000000 0.000000 X31 50.000000 0.000000 X32 0.000000 20.000000 X33 30.000000 0.000000 例2 货机装运个某架货机有三个货舱：前仓、中仓、后仓。三个货舱所能装载的货物的最

16、大重量和体积都有限制，如表3所示。并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息如表4，最后一列指装运后所获得的利润。应如何安排装运，使该货机本次飞行获利最大？ 三个货舱最大载重（吨）,最大容积（米3） 飞机平衡后仓：8；5300三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例 2850如何装运，使本次飞行获利最大？货机装运模型假设 每种货物可以分割到任意小；每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；多种货物可以混装，并保证不留空隙；模型建立 决策变量 xij-第i 种货物装入第j 个货舱的重量（吨）i=1,2,3,4, j

17、=1,2,3 （分别代表前、中、后仓）目标函数（利润）货舱重量货舱容积 平衡要求4） 货物供应 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 货物2：前仓10,后仓5； 1） 121515.8 货物3: 中仓13, 后仓3；货物4: 中仓3。 X11 0.000000 400.000000 最大利润约121516元 X12 0.000000 57.894737 X13 0.000000 400.000000 X21 10.000000 0.000000 X22 0.000000 239.473679 货物供应点 运输问题 X23 5.000000 0.000000 货舱需求点 X31 0.

18、000000 0.000000 X32 12.947369 0.000000 X33 3.000000 0.000000 平衡要求 运输问题的扩展 X41 0.000000 650.000000 X42 3.052632 0.000000 X43 0.000000 650.000000 汽车厂生产计划 一汽车生产小中大三种类型的汽车,已知各类型每辆车对钢材劳动时间的需求,利润以及每月工厂钢材劳动时间的现有需如表5所示.试制订月生产计划,使工厂的利润最大.进一步讨论：由于各种条件限制，如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，那么最优的生产计划应该作何改变。设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为

19、x1, x2, x3小型 中型 大型 现有量钢材时间利润1.5 3 5 600280 250 400 600002 3 4 整数规划（Integer Programming,简记IP）模型求解 （IP可用LINDO直接求解max 2x1+3x2+4x3 1.5x1+3x2+5x3600280x1+250x2+400x360000gin 3 （ gin 3”表示“前3个变量为整数”， 等价于：gin x1 gin x2 gin x3） 1） 632.2581 X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW

20、 SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2） 0.000000 0.731183 3） 0.000000 0.003226结果为小数，怎么办？1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值z=629，与LP最优值632.2581相差不大。2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数值z，通过比较可能得到更优的解。 但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？3） 模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解。结果解释：IP 的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值z=632 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产

21、计划。x1,x2, x3=0 或 80 方法1：分解为8个LP子模型 其中3个子模型应去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：x1=80，x2= 150，x3=0，最优值z=610方法2：引入0-1变量，化为整数规划 x1=0 或 80x3=0 或 80M为大的正数，可取1000 LINDO中对0-1变量的限定：int y1 int y2 int y3 1） 610.0000 X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 最优解同前 Y1 1.000000 0.000000 Y2

22、1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 方法3：化为非线性规划 x2=0 或 80非线性规划（Non- Linear Programming，简记NLP） NLP虽然可用现成的数学软件求解（如LINGO, MATLAB），但是其结果常依赖于初值的选择。 实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出的最优解时，才能得到正确的结果。例2 原油采购与加工 某公司用两种原油（A和B）混合加工成两种汽油（甲和乙）。甲乙两种汽油含原油A的最低比例分别为50%和60%，每吨售价分别为4800元和5600元。该公司现有原油A和B的库存量分别为500吨和1000吨，还可以从市

23、场上买到不超过1500吨的原油A。原油A的市场价为：购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过1000吨时，超过500吨的部分8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。该公司应如何安排原油的采购和加工？汽油乙 （A60%） 市场上可买到不超过1500吨的原油A： 购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨； 购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨的 部分8000元/吨； 购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。应如何安排原油的采购和加工 ？问题分析 利润：销售汽油的收入 - 购买原油A的支出 难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂原油A的购买量,原油A, B生产汽油甲,乙的数量5.6千元/吨 利润（千元） c（x） 购买原油A的支出