学年北师大版高中数学必修一课时训练 第一章 集 合Word格式.docx

1、观察下列实例：（1）2013年1月1日之前，在腾讯微博注册的会员；（2）平面内到两定点的距离相等的点；（3）不等式组的整数解；（4）方程x24x40的实数根；（5）我们班经常参加体育锻炼的同学上述实例中的研究对象哪些是确定的？【提示】（1）（2）（3）（4）的研究对象是确定的集合元素与集合的关系对于本班内所有女同学组成的集合，张三（男）、李四（女）分别与集合存在什么关系？【提示】张三不在该集合内，李四在该集合内关系概念记作读作属于若a在集合A中，就说a属于集合AaA“a属于A”不属于若a不在集合A中，就说a不属于集合AaA“a不属于A”常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

2、符号NN或N*ZQR集合的表示方法给出下列集合：（1）小于10的所有正偶数组成的集合A；（2）方程x22x10的根组成的集合为B；（3）所有奇数组成的集合为C.1你能将集合A中的元素一一列举出来吗？【提示】能.2,4,6,82集合B中的元素满足的条件是什么？【提示】x2x10.3如何表示集合C?【提示】C奇数或x|x2n1，nZ1列举法把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法2描述法用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法叫描述法.集合的分类1.有限集含有限个元素的集合2无限集含无限个元素的集合3空集不含有任何元素的集合.下列所给关系正确的个数是（）R；Q；0N*；|4|N

3、.A1B2C3D4【思路探究】解答本题要先弄清“”和“”的区别与联系及特定的数集符号的含义，再进行判断【自主解答】是实数，是无理数，0不是正整数，|4|4是正整数，正确，不正确，正确的个数为2.【答案】B1判断一个元素是否属于某个集合，关键看其是否具有该集合的特征2N（N*）与N不同，前者表示正整数集，而后者表示非负整数集给出下列关系，其中正确的有_Z0NN3.14Q【解析】不是整数，Z，故错；0是自然数，0N，故正确；不是正整数，N，故错，3.14是有理数，3.14Q，故正确【答案】集合中元素的特性已知集合A1,3，a2a，a1，若aA，求实数a的值【思路探究】根据题中的条件aA，可分别列出

4、关于a的方程，然后求出a的值即可，但要注意集合中元素的互异性【自主解答】aA，A1,3，a2a，a1，a1或a3或aa2a.当a1时，a2a2，a12，这与集合中元素互异性矛盾，故舍去，当a3时，a2a12，a14，适合题意；当aa2a即a0时，a11，与集合中元素互异性矛盾，故舍去，综上所述，所求实数a的值是3.1本题中，a是集合A的元素，但不能确定是哪一个元素，故有三种情况2根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用（2013济南高一检测）已知集合A是由三个元素m，m21,1组成

5、的，且2是A中的一个元素，求m的值【解】2是A中的一个元素，m2或m212，即m2或m1.当m2时，集合A中的元素为：2,5,1，符合题意当m1时，集合A中的元素为：1,2,1不满足互异性，舍去当m1时，集合A中的元素为：1,2,1符合题意综上知m2或m1.用适当的方法表示下列集合（1）化简式子（x，y为非零实数）所得结果构成的集合；（2）所有偶数组成的集合；（3）直角坐标系内第二象限的点组成的集合；（4）方程（x1）（x25）0的根组成的集合【思路探究】根据题目的特点，结合列举法、描述法的适用范围解答本题【自主解答】（1）根据x，y值的符号，两项分别可得1或1，化简的结果有3种情形，用列举法

6、表示为0,2，2；（2）偶数的表达式为2k（kZ）由于有无数个元素，用描述法表示为x|x2k，kZ；（3）代表元素是有序数对（x，y），用描述法表示为（x，y）|x0；（4）方程有3个根，用列举法表示为，1， 1当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示用列举法表示集合时，必须注意以下几点：（1）元素之间必须用“，”隔开；（2）集合的元素必须是明确的；（3）不必考虑元素出现的先后顺序；（4）集合中的元素不能重复；（5）集合中的元素可以是任何事物2用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示给出下列说法：在直角

7、坐标平面内，第一、三象限的点的集合为（x，y）|xy方程|y2|0的解集为2,2；集合（x，y）|y1x与x|y1x是同一集合其中正确的有（）A1个 B2个 C3个 D0个【解析】在直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点（x，y），故正确；方程|y2|0等价于即解为有序实数对（2，2），即解集为（2，2）或（x，y）|，故不正确；集合（x，y）|y1x的代表元素是（x，y），集合x|y1x的代表元素是x，一个是实数对，一个是实数，故这两个集合不相同不正确【答案】A忽视元素的特性致误已知1m1,3m，m21，求实数m的值【错解】1m1,3m，m21，m11或

8、3m1或m211，即m0或m.【错因分析】代入后，未对元素进行检验，忽视了元素的互异性【防范措施】1.解答含有字母的元素与集合之间的关系时，要有分类讨论的意识2求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求【正解】1是集合m1,3m，m21中的元素，当m11时，m0,3m0，m211.此时集合为1,0，1，不满足集合中元素的互异性当3m1时，m，m1，m21此时集合为，1， ，符合题意当m211时，m0，m11,3m0.综上可知实数m的值为1集合在数学中是不加定义的，我们只对它进行描述性说明集合中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、

9、触摸到的、想到的各种事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素2在理解集合概念的同时，必须掌握集合元素的确定性、互异性、无序性3集合元素的互异性，是集合的重要属性，实践证明，集合中元素的互异性常常被同学们在解题中忽略，从而导致解题的失误，因此在集合中的元素含有未知数时，求解完后一定要检验4表示集合可以用列举法或描述法，它们各有优点，一般有限集用列举法，无限集用描述法.1下面说法错误的是（）A所有著名的作家可以组成一个集合B方程x22x10的解集中只有一个元素C已知ab，“a、b构成的集合”与“b、a构成的集合”是同一集合D如果x与x是集合中的两个元素，那么x0【解析】“著名的作

10、家”没有统一的标准，不确定，因而不能构成集合2下列说法正确的是（）A由1,2,2,4构成集合时，该集合共有4个元素B由1,2,3和3,2,1分别构成的两个集合不是相等集合C若xQ，则xRD对于任给一个元素a，则无法判断a是否是集合A中的元素【解析】结合集合中元素的互异性可知A不正确；结合集合中元素的确定性知D不正确；结合集合相等的概念可知B不正确；又xQ，则x是有理数，x是实数，即xR，故C正确【答案】C3用符号或填空：（1）2_N；（2）3.141 59_Q；（3） _Z.【解析】2不是自然数；3.141 59是有理数；是无理数，它不是整数【答案】（1）（2）（3）4已知集合A中只有1，x，

11、x23x三个元素，且2A，求实数x的值【解】2A，（1）当x2时，x23x2，不满足集合中元素的互异性（2）当x23x2时，可解得x1或x2（舍）综上可知，实数x的值为1.一、选择题1下列各组对象能构成集合的有（）美丽的小鸟；不超过10的非负整数；立方接近零的正数；高一年级视力比较好的同学A1个 B2个 C3个 D4个【解析】中“美丽”“接近零”的范畴太广，标准不明确，因此不能构成集合；中不超过10的非负整数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共十一个数，是确定的，故能够构成集合；中“比较好”，没有明确的界限，不满足元素的确定性，故不能构成集合2小于2的自然数集用列举法可以表示为（

12、）A0,1,2 B1 C0,1 D1,2【解析】小于2的自然数为0,1，应选C.3下列各组集合，表示相等集合的是（）M（3,2），N（2,3）；M3,2，N2,3；M（1,2），N1,2A B C D以上都不对【解析】中M中表示点（3,2），N中表示点（2,3），中由元素的无序性知是相等集合，中M表示一个元素：点（1,2），N中表示两个元素分别为1,2.4集合A中含有三个元素2,4,6，若aA，则6aA，那么a为（）A2 B2或4 C4 D0【解析】若a2，则6a624A，符合要求；若a4，则6a642A，符合要求；若a6，则6a660A，不符合要求a2或a4.5（2013曲靖高一检测）已知集

13、合M中含有3个元素；0，x2，x，则x满足的条件是（）Ax0 Bx1Cx0且x1 Dx0且x1【解析】由解得x0且x1.二、填空题6用符号“”或“”填空（1）2_R,2_x|x；（2）3_x|xn21，nN；（3）（1,1）_y|yx2；（1,1）_（x，y）|yx2【解析】（1）2R，而2，2x|x（2）n213，nN，3x|xn21，nN（3）（1,1）是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而y|yx2表示二次函数函数值构成的集合，故（1,1）y|yx2集合（x，y）|yx2表示抛物线yx2上的点构成的集合（点集），且满足yx2，（1,1）（x，y）|yx2【答案】（1）（2）（3）7

14、已知集合Cx|Z，xN*，用列举法表示C_.【解析】由题意知3x1，2，3，6，x0，3,1,2,4,5,6,9.又xN*，C1,2,4,5,6,9【答案】1,2,4,5,6,98已知集合A2,4，x2x，若6A，则x_.【解析】由于6A，所以x2x6，即x2x60，解得x2或x3.【答案】2或3三、解答题9选择适当的方法表示下列集合：（1）绝对值不大于3的整数组成的集合；（2）方程（3x5）（x2）0的实数解组成的集合；（3）一次函数yx6图像上所有点组成的集合【解】（1）绝对值不大于3的整数是3，2，1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为3，2，1,0,1,2,3；（2）方程（3

15、x5）（x2）0的实数解仅有两个，分别是，2，用列举法表示为，2；（3）一次函数yx6图像上有无数个点，用描述法表示为（x，y）|yx610已知集合A中含有a2,2a25a,3三个元素，且3A，求a的值【解】由3A，得a23或2a25a3.（1）若a23，则a1，当a1时，2a25a3，a1不符合题意（2）若2a25a3，则a1或当a时，a2，符合题意；当a1时，由（1）知，不符合题意综上可知，实数a的值为11已知数集A满足条件：若aA，则A（a1），如果a2，试求出A中的所有元素【解】2A，由题意可知，1A；由1A可知，A；由A可知，2A.故集合A中共有3个元素，它们分别是1，2.集合Ax|

16、kx28x160，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.【思路探究】明确集合A的含义对k加以讨论求出k值写出集合A【自主解答】（1）当k0时，原方程变为8x160，x2，此时集合A2（2）当k0时，要使一元二次方程kx28x160有两个相等实根只需6464k0，即k1.此时方程的解为x1x24，集合A4，满足题意综上所述，实数k的值为0或1.当k0时，A2；当k1时，A41本题在求解过程中，常因忽略讨论k是否为0而漏解2本题因kx28x160是否为一元二次方程而分k0和k0而展开讨论，从而做到不重不漏3解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点

17、把本例中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求k的范围【解】由题意可知方程kx28x160有两个实根解得k1且k0.所以k的范围为k|k1且k0人物介绍为科学而疯的人康托尔康托尔（Contor，Georg）（18451918），德国数学家，集合论的创立人，康托尔自幼对数学有浓厚兴趣，23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础1874年，康托尔的有关无穷的概念震撼了数学界康托尔凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质的新思想模式，建立了处理数学中无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展他发现了惊人的结果：有理数是可列的，而全

18、体实数是不可列的由于在研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又很荒谬的结果（称为“悖论”），许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度在18741876年期间，30岁的康托尔向神秘的无穷宣战他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应这样看起来，1厘米长线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”后几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至

19、说康托尔是“疯子”来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医病他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩.1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家，数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”，可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦2集合的基本关系（1）了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集（2）理解子集、真子集的概念（3）能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用让学生通过观

20、察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义（1）树立数形结合的思想（2）体会类比对发现新结论的作用集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念属于关系与包含关系的区别本节的重点是理解集合间包含与相等的含义，其突破方法是让学生多结合实例，类比实数间的大小关系来学习集合间的包含关系教材从学生熟悉的实例出发，通过类比引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集、Venn图、真子集、空集等概念在安排这部分内容时，教材注重体现逻辑思考的方法，如类比等值得注意的问题：在讲解集合间的关系时，建议重视使用Venn图，这有助于学生体会直观图示对理解抽象概念的作用随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时

21、引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如与的区别创设情境提出问题，思考：实数有相等关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系概念形成分析示例：给出集合的包含关系的相关定义，完成例1及变式训练师生合作得出集合相等的概念. 通过实例的共性探究、理解相等概念，完成例2及互动探究巩固深化，发展思维，加深对集合间关系的理解，完成例3及变式训练归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集（重点） 2.理解子集、真子集的概念（易混点）3.能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图对理解抽象概念的作用（难点）子集与Venn图（1）A1,2,3，B1,2,3,4,5（2）设集合A为衡水中学高一三班全体男生组成的集合，集合B为高一三班全体学生组成的集合集合A中的元素与集合B有什么关系？【提示】集合A中的每一个元素都属于集合B.1子集含义一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若aA则aB，我们就说集合A包含于集合B或集合B包含集合A，记作AB（或BA），就说集合A是集合B的子集图形语言性质任何一个集合都是它本身的子集，即AA.2.Venn图为了直观地表示集合间的关系，常用封闭曲线的