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1、全体整数全体有理数全体实数1.3数学归纳法1、证明:2、设是一个正整数.证明 , 是任意自然数. 3、证明二项式定理:这里， 是个元素中取个的组合数. 4、证明第二数学归纳法原理. 5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。1.4整数的一些整除性质1、对于以下的整数 ,分别求出以除所得的商和余数:; ; . 2、设是整数且不全为0,而 , , .证明, 的一个最大公因数必要且只要 . 3、设是不等于零的整数.满足以下两个条件的正整数叫做与的最小公倍数: 如果且 ,那么 .证明: 任意两个不等于零的整数都有唯一的最小公倍数;令是与的最小公倍数而 ,那么 . 4、设是一个大于1的整数且具有以

2、下性质:对于任意整数 ,如果 ,那么或 .证明, 是一个素数（定理的逆命题）. 5、设是两两不一样的素数,而 . 证明 ;利用证明,素数有无限多个1.5数环和数域1证明,如果一个数环那么含有无限多个数2证明, 是数域3证明, 是一个数环, 是不是数域?4证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环?5设是一整数,令由例1, 是一个数环.设 ,记 是一个数环,这里是与的最大公因数第二章多项式2.1一元多项式的定义和运算1设和是实数域上的多项式证明：假设是（6） ，那么2求一组满足6式的不全为零的复系数多项式和3证明：2.2 多项式的整除性 1求被除所得的商式和

3、余式：（ i ） 2证明：必要且只要3令都是数域F上的多项式，其中且证明：4实数满足什么条件时，多项式能够整除多项式5设F是一个数域，证明：整除6考虑有理数域上多项式这里和都是非负整数证明：7证明：整除必要且只要整除2.3 多项式的最大公因式1. 计算以下各组多项式的最大公因式：2. 设证明：假设且和不全为零，那么反之，假设那么是与的一个最大公因式3. 令与是的多项式，而是中的数，并且证明：4证明：i是和的最大公因式；ii此处等都是的多项式。5设都是有理数域Q上的多项式。求使得6设令是任意正整数，证明：由此进一步证明，对于任意正整数，都有7设证明： 8证明：对于任意正整数都有9证明：假设是与互

4、素，并且与的次数都大于0，那么定理里的与可以如此选取，使得的次数低于的次数，的次数低于的次数，并且这样的与是唯一的。10决定，使与的最大公因式是一次的。11证明：如果那么对于任意正整数，12设是数域F上的多项式。与的最小公倍式指的是Fx中满足以下条件的一个多项式：且；如果Fx且，那么Fx中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差异外，是唯一的。设都是最高次项系数是1的多项式，令表示和的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明13设并且证明：14设证明：互素的充要条件是存在多项式使得15设令比照定理，证明：有最大公因式提示：如果不全为零，取是I中次数最低的一个多项式，那么就是的一个

5、最大公因式 2.4 多项式的分解 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积： 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积. 证明：当且仅当4. 求在的典型分解式；求在的典型分解式5.证明：数域F上一个次数大于零的多项式是中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意或者或者存在一个正整数使得6设是中一个次数大于零的多项式.如果对于任意只要就有或那么不可约. 2.5 重因式 证明以下关于多项式的导数的公式： 设是的导数的重因式.证明：未必是的重因式；是的重因式的充分且必要条件是3. 证明有理系数多项式没有重因式. 4. 应该满足什么条件，以下的有理系数多项式才能有重因式

6、？5. 证明：数域F上的一个次多项式能被它的导数整除的充分且必要条件是，这里的是F中的数。2.6 多项式函数多项式的根1设 ,求 . 2数环R的一个数说是的一个重根,如果可以被整除,但不能被整除.判断5是不是多项式的根.如果是的话,是几重根?3设求 提示:应用综合除法 4将以下多项式表成的多项式. 5求一个次数小于4的多项式 ,使6求一个2次多项式,使它在处与函数有一样的值. 7令是两个多项式,并且可以被整除. 8令是一个复数,并且是中一个非零多项式的根,令 在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式 ,使得中每一多项式都可以写成的形式,这里 .在中不可约. 如果 ,求上述的提示:取是J中次数最

7、低的、最高次项系数是1的多项式. 9设中多项式且 , 是一个大于1的整数. 的根只能是零或单位根. 如果是的根,那么都是的根. 2.7 复数和实数域上多项式1设次多项式的根是 .求以为根的多项式,这里是一个数。ii以,（假定都不等于零）为根的多项式.2设是一个多项式,用表示把的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:假设是g ,那么 ;假设是是和的一个最大公因式,并且的最高次项系数是1,那么是一个实系数多项式）. 3给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式. 4在复数和实数域上,分解为不可约因式的乘积. 5证明:数域F上任意一个不可约多项式在复数域没有重根. 2.8 有理数域

8、上多项式1证明以下多项式在有理数域上不可约:. 2利用艾森斯坦判断法,证明:假设是是个不一样的素数而是一个大于1的整数,那么是一个无理数. 3设是一个整系数多项式.证明:假设是和都是奇数,那么不能有整数根.4求以下多项式的有理根:第三章 行列式3.1 线性方程组和行列式 3.2 排列1计算以下排列的反序数：523146879；2假设n个数码的排列的反序数是k,那么排列的反序数是多少？3写出4个数码的一切排列3.3 阶行列式 1确定六阶行列式 D= 中以下各乘积的符号：2写出以下四阶行列式中一切带有负号且含元素的项。阶行列式4考察以下行列式：，其中是这个数码的一个排列。这两个行列式间有什么关系？

9、5计算阶行列式6计算行列式行列式8设在阶行列式中，3.4 子式和代数余式 行列式的依行依列展开 1把行列式依第三行展开，然后加以计算2计算以下行列式:提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。3令计算行列式。3.5 克拉默规那么 1解以下线性方程组：2设是个不同的数, 是任意个数,而多项式有以下性质: , .用线性方程组的理论证明, 的系数是唯一确定的,并且对的情形导出拉格朗日插值公式. 3设 .用线性方程组的理论证明,假设是有个不同的根,那么是零多项式. 第四章 线性方程组4.1 消元法 对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行假设干次第二和第三种行初等变换。3设

10、阶行列式0. 用行初等变换能把行列矩阵化为。在前一题的假设下，可以通过假设干次第三种初等变换把化为4.2 矩阵的秩线性方程组可解的判别法1对第一和第二种行初等变换证明定理2利用初等变换求以下矩阵的秩：一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1含有个未知量个方程的线性方程组有解的必要条件是行列式这个条件不是充分的，试举一反例5有解？6取怎样的数值时，线性方程组有唯一解，没有解，有无穷多解？4.3 线性方程组的公式解 1考虑线性方程组：这里23设线性方程组：9有解，并且添加一个方程：于方程组9所得的方程组与9同解证明：添加的方程是9中个方程的结果4设齐次线性方程组的系数行列式，而中某一元素

11、的代数余子式证明：这个方程组的解都可以写成的形式,此处k是任意数. 5设行列式令是元素的代数余子式.证明:矩阵的秩第五章 矩 阵5.1 矩阵的运算 1计算；2证明，两个矩阵A与B的乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B，第j列等于B的第j列左乘以A3可以按以下步骤证明矩阵的乘法满足结合律：（i） 设B=（）是一个np矩阵令=是B的第j列，j=1,2,p又设是任意一个p1矩阵证明：B=（ii）设A是一个mn矩阵利用（i）与习题2的结果，证明：A（B）=（AB）（iii）设C是一个pxq矩阵利用（ii），证明： A（BC）=（AB）C4设A=B=时，AB=BA。5令是第i 行第j列的元素是1而其余

12、元素都是零的n阶矩阵求6求满足以下条件的所有n阶矩阵A （i）i,j=1,2,n, （ii）AB=BA ；这里B是任意n阶矩阵。7举例证明，当AB=AC时，未必B=C8证明，对任意n阶矩阵A和B，都有AB-BAI提示，考虑AB-BA的主对角线上的元素的和 9令A是任意n阶矩阵，而I是n阶单位矩阵，证明：（）（）=10.对任意n阶矩阵A，必有n阶矩阵B和C，使A=B+C，并且5.2 可逆矩阵矩阵乘积的行列式 1设对5阶矩阵实行以下两个初等变换：把第二行的3倍加到第三行，把第二列的3倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么？一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵3求以下矩阵的逆矩阵：

13、4设 A是一个n阶矩阵，并且存在一个正整数m使得（i） 证明可逆，并且（ii）求以下矩阵的逆矩阵。证明，总可以表成和型初等矩阵的乘积6令是n阶矩阵的伴随矩阵，证明（区别detA0和detA=0两种情形） 7设A和B都是n阶矩阵证明，假设AB可逆,那么A和B都可逆8设A和B都是n阶矩阵证明，假设AB=I,那么A和B互为逆矩阵9证明，一个n阶矩阵A的秩1必要且只要A可以表为一个n1矩阵和一个1n矩阵的乘积 10.证明：一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和 11设A是一个nn矩阵，都是n1矩阵用记号表示以代替A的第i列后所得到的矩阵 （i）线性方程组可以改写成I是n阶单位矩阵（ii）当de

14、tA0时，对（i）中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默规那么5.3 矩阵的分块 1求下面矩阵的逆矩阵2设A，B都是n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，证明3设都是n=r+s阶矩阵，而是一个n阶矩阵，并且与S,T有一样的分法求SA,AS,TA和AT.由此能得出什么规律？4证明，2n阶矩阵总可以写成几个形如的矩阵的乘积是一个对角线分块矩阵证明:6证明，n阶矩阵的行列式等于（detA）（detB） 7设A,B,C,D都是n阶矩阵，其中detA0并且AC=CA，证明第六章 向量空间 6.1 定义和例子 1令F是一个数域，在F3里计算i2，0，-1+-1，-1，2+0，1，-1；ii50，1，-1-31，2+1

15、，-3，1如果a2，1，3+ b0,1,2+ c1，-1，4=0，0，0，那么a = b = c = 03找出不全为零的三个有理数a，b，c即a，b，c中至少有一个不是0，使得a （1，2，2） + b3，0，4+ c （5，-2，6） = 0，0，04令1 = 1，0，0，2 = 0，1，0，3 =0，0，1证明，R3中每个向量可以唯一地表示为 = a11 + a22 + a33 的形式，这里a1，a2，a3 R5证明，在数域F上向量空间V里，以下算律成立：ia （） = a- a； （ii） （a- b） = a- b, 这里a，bF ，,V6证明：数域F上一个向量空间如果含有一个非零向量

16、，那么它一定含有无限多个向量7证明，对于任意正整数n 和任意向量，都有 n=+8证明，向量空间定义中条件3，8不能由其余条件推出9验证本节最后的等式：1，n（AB） =1，nAB6.2子空间 1判断R n中以下子集哪些是子空间：（i） a1，0，0，an| a1，an R；（ii） a1 ，a2 ，an | ai =0；（iii） a1 ，a2 ，an | ai =1；（iv） a1 ，a2 ，an | ai Z，i = 1，n. 2Mn （F）表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间参看6.1，例2令S= AMn （F） |A= A，T= AMn （F） |A= A证明，S和T都是 Mn （

17、F）的子空间，并且Mn（F） = S + T，S T=03设W1，W2是向量空间V的子空间，证明：如果V的一个子空间既包含W1又包含W2，那么它一定包W1 +W2在这个意义下，W1+W2是V的既含W1又含W2的最小子空间4设V是一个向量空间，且V0证明：V不可能表成它的两个真子空间的并集5设W，W1，W2都是向量空间V的子空间，其中W1W2且WW1=WW2，W + W1=W + W2.证明：W1=W26设W1，W 2是数域F上向量空间V的两个子空间，,是V的两个向量，其中W2，但W1，又W2，证明：i 对于任意kF, +kW2；ii 至多有一个kF，使得+kW1 7设W1，W2，Wr 是向量空

18、间V的子空间，且Wi V，i=1，r.证明：存在一个向量V，使得Wi， i=1，r提示：对r作数学归纳法并且利用第6题的结果 6.3 向量的线性相关性 1.以下向量组是否线性相关:（i）3，1，4，2，5，-1，4，-3，7；（ii） 2，0，1，0，1，-2，1，-1，1；（iii） 2，-1，3，2，-1，2，2，3，3，-1，2，2，2，-1，3，22证明，在一个向量组里，如果有两个向量与成比例，即=k，那么线性相关3令。证明线性相关必要且只要行列式 = 04设，线性无关对每一个任意添上p个数，得到的m个向量证明1，2 ，m也线性无关5设线性无关，证明也线性无关6设向量组 （线性无关，任

19、取证明，向量组线性无关7以下论断哪些是对的，哪些是错的，如果是对的，证明；如果是错的，举出反例：（i） 如果当，那么线性无关（ii） 如果线性无关，而不能由线性表示，那么，也线性无关（iii） 如果线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合（iv） 如果线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合8设向量可以由表示，但不能由线性表示证明，向量组与向量组，等价9设向量组中并且每一都不能表成它的前个向量的线性组合证明线性无关10设向量线性无关，而，线性相关，证明，或者与中至少有一个可以由线性表示，或者向量组，与，等价6.4 基和维数 1令Fn x表示数域F上一切次数n的多项式连同零

20、多项式所组成的向量空间这个向量空间的维数是几？以下向量组是不是F3x的基： （i）x3+1，x+1，x2+x，x3+x2+2x+2； （ii）x-1，1-x2，x2+2x-2，x3. 2求以下子空间的维数：iL （ （2，-3，1），1，4，2，5，-2，4）R3 （ii） L（x-1，1-x2，x2-x） Fx；（iii） L（ex，e2x，e3x） C a，b. 3把向量组2，1，-1，3，-1，0，1，2扩大为R4的一个基4令S是数域F上一切满足条件A=A的n阶矩阵A所成的向量空间，求S的维数5证明，复数域C作为实数域R上向量空间，维数是2如果C看成它本身上的向量空间的话，维数是几？6证

21、明定理的逆定理：如果向量空间V的每一个向量都可以唯一地表成V中向量的线性组合，那么dimV = n. 7设W是R n 的一个非零子空间，而对于W的每一个向量a1，a2，an来说，要么a1 = a2= = an = 0，要么每一个ai都不等于零，证明dimW = 18设W是n维向量空间V的一个子空间，且0 dimW n证明：W在V中有不只一个余子空间9证明本书最后的论断6.5坐标 1设1 ，2，n是V的一个基求由这个基到2 ，n，1的过渡矩阵2证明，x3，x3+x，x2+1，x+1是F3 x数域F上一切次数3的多项式与零的一个基求以下多项式关于这个基的坐标：ix2+2x+3； iix3；iii4

22、；ivx2-x3设1 =（2，1，-1，1），2=0，3，1，0，3=5，3，2，1，4=6，6，1，3证明1 ，2，3，4 作成R4的一个基在R4中求一个非零向量，使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标一样1 =（1，2，-1），2=0，-1，3，3=1，-1，0；1=2，1，5，2=-2，3，1，3=1，3，2证明1 ，2，3和1，2 ，3都是R3的基求前者到后者的过渡矩阵5设1 ，2，n是F上n维向量空间V的一个基A是F上一个ns矩阵令 （1，2 ，s）=（1 ，2，n）A证明 dimL（1，2 ，s）=秩A6.6 向量空间的同构 1证明,复数域C作为实数域R上向量空间,与V2同构2设是

23、向量空间V到W的一个同构映射,V1是V的一个子空间.证明是W的一个子空间3证明:向量空间可以与它的一个真子空间同构6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 1证明：行列式等于零的充分且必要条件是它的行或列线性相关2证明，秩A+B秩A+秩B3设A是一个m行的矩阵，秩A=r，从A中任取出s行，作一个s行的矩阵B证明，秩Br+s m4设A是一个mn矩阵，秩A=r从A中任意划去ms行与nt列，其余元素按原来位置排成一个st矩阵C，证明，秩Cr+s+tmn5求齐次线性方程组x1 + x2 + x3 + x4 + x5=0，3x1 +2x2 + x3 +x4 3x5=0，5x1 + 4 x2 + 3x3

24、+3x4x5=0，x2 + 2x3 + 2x4+ x5=0的一个根底解系6证明定理的逆命题：Fn的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间7证明，Fn的任意一个Fn的子空间都是假设干n1维子空间的交第七章 线性变换 7.1 线性映射 1令=x1，x2，x3是R3的任意向量以下映射哪些是R3到自身的线性映射？1（） =+ ，是R3的一个固定向量2（） = （2x1x2 + x3，x2 + x3，x3） 3（） =x12，x22，x324（） =cosx1，sinx2，02设V是数域F上一个一维向量空间证明V到自身的一个映射是线性映射的充要条件是：对于任意V，都有（） = a，这里a是F中一个定数3令Mn （F） 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间取定AMn（F）.对任意XMn （F），定义 （X） = AXXA是Mn （F）是自身的线性映射。对于任意X，YMn （F）， （XY） = （X）Y+X（Y） 4令F4表示数域F上四元列空间，取对于F4，令（） = A求线性映射的核和像的维数5设V和W都是数域F上向量空间，且dimV = n令是V到W的一个线性映射我们如此选取V的一个基：1，s，s+1，n，使得1，s，是Ker（）的一个基证明：i（s+1），（n）组成I