毕设之人口增长模型讲解Word格式文档下载.docx

1、人多固然是一个极大的资源，但也是一个极大的负担，如果不 加控制任其盲目增长，势必严重影响国名经济的发展和人民生活的提高。 但是这种预想在当时并未受到重视.70年代中期，人口的过快增长导致人口数量的急剧 上升，阻碍了社会经济的发展，政府和国际社会开始关注人口问题， 投入大量的 人力和物力，积极推动了人口问题的研究.70年代末，我国学者、著名的控制论 专家宋健等提出了一套新的人口预测模型一一人口发展方程。这套预测模型， 具有对预测变量的设置更加合理、预测参数因素的考虑更加周密以及易于推广应 用的优点。所以，这套模型是当今国内最为流行和被广泛应用的一套人口预测模 型，其在国外也产生了很大的影响。 之

2、后，灰色系统理论创始人邓聚龙将其灰色 系统理论应用于人口预测提出了灰色 GM（ 1,1 ）预测模型。后期，根据当下的 人口状况制定相关的人口政策，实施人口控制，实行计划生育，提倡少生优生， 重视人口质量.在科学研究领域，人口问题也得到了高度重视，各个学科开始涉足人口问题，产生了很多的研究报告和学术论文， 在这个时期，人口研究刊物的 在量上有了一个新的飞跃，人口研究达到了一个新的高峰 90年代初期，人口增长速度逐渐恢复到正常水平，政府和国际骤减了在人口研 究上的资金，导致人口研究因资金的缺乏而再次陷入低谷， 但仍有部分的研究人员坚守在这个领域，为人口研究带来了新的希望 随着经济的发展，人口方面所

3、呈现出的问题也随之不断的变化在我国，人口老龄化和人口流动问题日趋严重， 对我国的经济发展产生了重大的影响目前，在一些地方已经开始实施“鼓励生 二胎”的政策，此外，流动人口问题也引起了很多研究人员的深入探讨，渐 渐地从定性分析深入到了定量求解现阶段，人口研究面临着多种问题和挑战： 人口学理论建设依然落后，人力和资金的投入不足；人口学研究方法不能满足到 下的发展需求；人口学在应用性发展方向上迷失，使得相关的人口学应用研究模 糊了人口学；人口学学科机构与队伍多变不稳，且人口学学科教材建设依然缓慢. 国外：早在1798年，英国经济学家马尔萨斯在研究百余年的人口统计时发现：单 位时间内人口的增长量与当时

4、人口总数是成正比的。由此提出了著名的人口指数 增长模型。1838年，荷兰生物学家 Verhaust针对于马尔萨斯模型中存在的缺 陷提出了人口的Logistic增长模型，即人口阻滞增长模型。第二次世界大战之 后,人口问题在全球范围内表现出了共同的特征：人口死亡率大大降低，人口翻 番的时间急剧缩短，人口年增长量达到了一个空前值 全球性的人口急剧增长现象日益凸显，人们不得不开始对人口问题进行历史性的探索 在之后的一段时间美各国在人口研究方面兴起了很大的浪潮，大量的论文、著作也相继发表出版 国著名人口统计学家、数理人口学家和社会学家内森凯菲茨首次提出并应用于人口预测的Keyfitz矩阵方程预测方法。由

5、此，内森凯菲茨在国际上被誉为是把矩 阵方程应用于人口预测的第一位学者。1945年，另一位学者莱斯利在凯菲茨矩 阵预测模型的基础上作出了一些改进而提出了 Leslie人口增长模型。1964年，英国出现了研究人口史与社会结构的剑桥学派， 他们的研究范围不仅仅包括恢复人口数字的实况、出生、婚姻和死亡的趋向，而且还将家庭、乡村、城镇地区阶 级中的人口分布情况也讨论在内， 给人口研究带来了新的研究理念，成为了区域 人口研究的先例.十九世纪80年代，外国人口史朝着广度和深度两个方面迅速发 展.主要体现在研究范围扩大，提出并采用了新的方法，发展方向有了新的变化， 农村人口的大规模迁移，城市人口、各地区之间的

6、移民、工人阶级的就业、中产 阶级的发展、上层人士的更新等社会新问题，都成为了人口研究的新课题 .1.3人口概念介绍第二章 人口增长模型的概述2.1马尔萨斯模型模型的基本假设如下：人口的增长率是一常数，在单位时间内人口的增长与当时的人口成正比。设在t时刻，人口数量为x（t），人口的增长率为r（r0）,在t=0时刻，人口数了-dxrx为X。由此得到微分方程 dtx 0 = Xo其解为 x t二Xoe马尔萨斯根据200年以前的数据得到的这个结论，在当时很长一段时间几乎是 正确的，其主要原因是初始数据X。较小，在当前的情况下，这个模型已经不再适 应人口的增长规律。可以利用该模型来估计单种群增长的情况，

7、 特别是在种群增长的初期，这个模型 有一定的适用性。2.2Logistic 模型（阻滞增长模型）考虑环境的制约作用，模型假设如下:人口的增长率随着人口的数量的增加而下降。不妨设人口的增长率表示成与人口数量x有关的线性函数，记作:r x 二 r - sx 当 x=0 时，r（0） =r称为固有增长率。令N为最大的人口数量。所以当x=N时，r（N）=0。由此得到，即r（x w丿将r（ x）代入方程I dx dxdt 得到 Logistic 模型：dtx Ol=xo x0 =x0源比例，剩余资源r体现了环境阻力的大小，所以该模型也称为阻滞增长模 型。方程的解为:N2.3年龄移算法模型年龄移算法，是指

8、以各个年龄组的实际人口数为基数， 按照一定的存活率进行逐 年递推来预测人口的方法。年龄移算法模型的基本表达式为：Px 1 t 1二Px t Sx当x=0,1,2，w-1时，上面模型可具体描述为：b（t +1）= po（t） SoP2（t +1 ）= P1 （t ）S“ P3（t +1 ）= P2（t ） S2Pwl t 1 A Pw N t -Sw式中：Px 1 t 1为预测年度t+1年x+1岁的人口数；Pxt为预测基年x岁的实 际人口数；Pwt 1为预测年度最高年龄组之预测人口数； Sx为x岁的存活率，Sx =1-mx， mx为x岁的死亡率。上式所描述的年龄移算法模型，又称年龄移算 模型块。

9、模型块中每一行的预测关系都很明确，即：预测年度一岁组人数，是由 预测基年的0岁组人口数乘上0岁组人口存活率而来；预测年度 2岁组人口数 是由预测基年1岁组人口数乘上1岁组人口存活率而来；以此类推，就可以把 预测年度的人口数从最低年龄到最高年龄组逐一推算出来。但是，年龄移算法有一个特点，其移算结果中，预测年度总是要少一个初始年龄 组的人口数。具体表现为：当按一岁一组预测时，即差 0岁组的人口数。由此特 点，其移算结果中，预测年度的预测人口数尚不能得到完整的计算。鉴于此，在 使用年龄移算法时，其预测初始年度人口数，需要另作专门的计算处理。关于预测年度初始年龄组人口数的计算：（下面我们按单年龄分组，

10、并以女性人 口为例进行计算） 预测年度0岁组人口数的计算公式为:P0F t 1 二 S00、F、Wx fxS0o为女婴出生当年存活率，S0o =年末0岁组女婴人口数/当年女婴出生 人数；仃为女婴出生比，一般 F =0.485 ; Wx为x岁之育龄妇女人数；fx为x 岁年龄组的生育率；：-i-2为女性生育年龄的上下限，一般取：1=15，:2=49 。 由此即可得到预测年度0岁组人口数。2.4 Leslie人口增长模型在短时期内男女性别比通常是不会发生变化的， 因此讨论总人口的发展变化趋势与只讨论女性人口数量的变化情况意义是相同的。在该模型中，我们将人口年龄离散化，大小等间隔地分成 h个年龄组，相

11、应地，将时间离散化为时段，每十年为一个时段。记时段k第i个年龄组的女性人口总数为Xj（k），k =0,1,2川h则有： x1（k 1 bjXj（k），其中该年龄组的女性生育率（该年龄组的女1 i i i性在1个时段内的平均生育数量）为b，该年龄组的死亡率为dj，则相应的存 活率为 =1-dj，在稳定的环境下存活率 =1-dj与生育率片基本上是不随时 间的变化而改变的，因此我们将存活率Si =1 -dj与生育率bi看作是常数。则人 口的变化情况满足以下条件：第k+1时段，第一个年龄组的女性人口数量是时段 k各个年龄段生育的人口数之和，即x1（k 1） = bjXj（k） （ 1）i=1时段k+1

12、第i+1个年龄段的女性人口数量是k时段第i个年龄组存活下来 的女性人口数量，即Xj （k 1）= SjX （k）,i 1,（2, h （2）记时段k女性人口数量按年龄组的分布向量为X（k）=（X （k），x k）, 9, k） （3）综合上述（1）（2）（3）得：X（k 1） = LX（k）其中由出生率和存活率构成的 Leslie矩阵为bj b2 川 b8 bgs1 0 川 0 0L= 0 s2 川 0 0+ r q:：0 0 川 S8 0当矩阵L和按照年龄组的初始分布向量 X（0）已知时，可以预测任意时段k 的女性人口按年龄组的分布情况：X（k）二 L X（0）,k 0,1,2,2.5灰色G

13、M （ 1,1 ）预测模型GM（ 1，1）模型是GM （ 1，N ）模型的特例，是一个单变量的模型，对 数据样本无过份的要求，也不需要的典型的分布规律，可用于预测模型的计算。 灰色模型的预测过程如下：考虑有原始数据列：x 0X 0 1 x0 2 . x F在建立模型前对数据进行预处理，通常采用对序列 x0作一次累加生成处理得到新数据列:ix1 ）= L *1 ） x 0 2 ） xg n, 其中 xC x（tm）mz4定义x1的灰导数为：di=x0i=x1ix1i1GM（ 1,1 ）模型是一个包含单变量的一阶微分方程构成的动态模型：x（ * ）+azC $ ）=b （ i=1,2,3n）其中z

14、1 i是x1 i的紧邻均值生成序列，即z1 i =0.5x1 i 0.5x1 i -1，（i=2,3n）建立以下的白化形式的微分方程+ ax1）= u白化形式的微分方程的解为xHt）=&G 1%置 +%式中a称为发展系数，a的有效区间为（-2,2）； b称为内生控制灰数；得参数列 *a= a。利用最小二乘法，方程的参数 a,u由下式求得：式中B为累加生成矩阵，Yn为向量，二者的构造为|%（xQ h ）+x（1 Q） -12（x（）+xU3 ） 1 x1 n Yn =X 0 2,x 0 3,x0 n 】将时间响应函数离散化，求得方程的解X1 i 1 -X0 1 -uae-ak uax0 i 1

15、-x1 i 1 -x1 i2.6人口发展方程模型连续型人口发展方程模型：匕 r + 心r） t + At考虑年龄在 内的人从时刻t到时刻 ，有的活着，有的死亡，活着卜 + At,r ） 卩（r,t ）p（r,t JirAt的人的年龄成为 ，死亡的人数为 。于是有：p r,t ：r - p r ：t,t ：t r = J r,t p r,t r ：tP（r,t ）= 、 （0 兰r 兰咕） F（r,t）其中： ；r ，称为年龄密度函数； 称为连续可微的人口-；r,t rm分布函数； 表示t年中年龄为r的人的死亡率； 为人类所能活到的最高年龄。r上式两边约去 即为：p（r +M,t +加）p（r,

16、t +山 L p（r,t A p（r,t）_ 巴t 加 t）.：t : t Lt Lt t= r ：t = r = 0故当时间增长 ，年龄也增长 时，即 ，令 得p r,t :p r,t ir,t p r,t.r :为从上述方程求得人口密度函数 p（r,t）,还必须有初始条件和边界条件，即：；p（r,0 ）= po（r ）-旳始密度函数、p（O,t ）=f（t）-婴儿的出生率因此连续的人口发展方程为鯉丄）+迥丄）j（r,tpr,t） P（r,O）= po（r ）Owr 兰扁p（O,t ）= f（t ）t AOP Gm,t =0这个方程的求解很复杂，但在理想情况下可以认为死亡率与时间无关，即可视

17、为（r,t ，此时求解该方程可得: r-找sdsp（r,*严-g纣从而可知任意时刻各年龄的人口数为:rF r,t 二 p s,tds上面讨论的人口发展方程是连续性的，即年龄 r和时间t都是连续变化的,这种模型在理论分析中往往比较方便， 但不适合作数值计算。在定量分析中，为 了利用计算机求解人口方程，必须把 r和t离散化。离散人口发展模型: 第t年i周岁的人活到第t+1年成为i+1周岁的人数为：Xi 1 t 1 二 Si t Xi t，i=0,1,2,.,m-1;k=0,1,2Xi（n 一 s（t）其中； 表示第t年满i周岁不到i+1周岁的人数； 表示第t年i周岁人口的存活率。第t年出生的人数为

18、:i2x0（t ）=送 b （t Ai（t k（t）i韦川t）表示第t年i岁人口的女性比；bi（t表示第t年i岁女性的平均生育Xoo（t ）率； 表示第t年出生的人数。第k年婴儿成活的人数为:岁妇女的生育模式函数，且 J.h（=1，其数学表达式为:则有卩卜三），即表示第t年所有育龄妇女平均生育数，即总和生育率i2 i2xi（t +1 ）= So（t Soo（t 瓦 b （t 轴（t Xi（t ）=卩（t 更 b；（t X（t） 于是式（1）为： y m廿亠 bi（t ）=So（t Soo（thi（t%（t）口发展方程的离散形式:X t 1= At X t 一： t Bt X to o . o

19、os1 t o . o oAt = o s2 t . o oo o . Sm4 t oo o b： t b2 t oo o o o oB t =o o o2.7各模型的优缺点:马尔萨斯模型：该模型简单易懂，便于计算。但由于自然环境和资源的制约，该 模型在当前环境缺乏适用性。且模型预测的只是总体数量，缺乏全面性。年龄移算法：是人口预测中一种最基本的预测方法， 在理论和技术上又是一种最 基础的预测方法，许多重要的人口预测模型都是根据年龄移算法的原理建立的。 具有原理严谨、方法简便易行的优点，在人口预测实践中被得到广泛借鉴和应用。人口发展方程：对预测变量的设置更加合理、预测参数因素的考虑更加周密以及

20、 易于推广应用。其预测内容更加全面充实，对各个年龄段男女性人口数都作出了 预测。是当今国内最为流行和被广泛应用的一套人口预测模型。Logitic阻滞增长模型：能够很好地从宏观角度来预测人口的增长趋势，简单明 了，避免了大量烦杂的计算。而且由模型所得到的数据完全能够满足一般统计资 料的要求。但是正是由于它的简单性，没有充分考虑各个方面的影响，预测结果 比较单一，不能进行全方位的预测，因此模型缺乏一定的说服性；Leslie增长模型：第三章基本人口预测人口预测的内容应当遵循如下一些规则：具有描述未来人口的基本特征和人口变动特征；具有计算分析指标所要求具备的计算的因子条件； 具有分析研究的 可开发性。

21、根据上述基本要求，人口预测的内容应包括出生人数预测、 死亡人数预测、分年龄分性别人数预测和总人口数预测。 因为有了这几项基本预测，就可以在此基础上，计算出许多人口统计的分析指标。诸如：未来人口出生率、死亡 率、生育率、老龄人口系数、人口负担系数和人口性别比等。由此，即可满足对 未来人口的总体特征和对相关领域进行深层次开发性研究的需要。3.1出生人数预测意义：出生人数是影响人口增长变动的基本因素。 一定时期内人口总量规模的大 小与这个时期人口的出生量规模有着直接的关系。 因为人口与控制最终是通过对人口的出生水平的控制来实现的，所以一定时期内人口的出生趋势也就成为研究 整个人口发展趋势及其相应对策

22、的基本出发点和依据。一定时期内人口的出生状况，取决于两个基本要素：第一，育龄妇女人数；第二, 平均每个育龄妇女所能生育的小孩数。 后者是预测模型中的重要参数，是一个可 调的变量。因此，出生人数的预测就是对未来时期育龄妇女人数的预测。育龄妇女人数预测：育龄妇女是女性中一个特定年龄段的人口群体。一般指 1549岁年龄段的女性人口，故只要预测1549岁年龄段的女性人数即可。下面我们应用年龄移算法 对其进行预测。预测模型基本表达式：Wx, t 1 =wx t -Wx t mF = WX t sF 当 x=14,15，48 时可描述为：W5（t 十1）=w4（t 卜s； *6 （t +1）=W5（t ）

23、，S15 *W7（t +1）=対6 0 ）S6W49G +1 ）=W48（t ）S8W1 t 1表示预测年度x+1岁时的育龄妇女人数；Wx t表示预测基年x岁育龄妇女之实际人数；mF表示x岁女性人口死亡率；S：表示x岁女性人口存活率。出生人数预测：有了预测期内各个年度的育龄妇女按龄人数分布， 只需考虑并确定出育龄妇女的 生育水平，即可对预测年度的出生人数进行预测。 一定时期内的出生人数同育龄 妇女人数及其生育水平有如下关系：49B 八 Wx fxx=15B为出生人数；Wx为x岁的育龄妇女人数；fx为x岁育龄妇女之生育率。 其中，年龄别生育率fx是出生人数预测中的一个重要的参数，其性质上是一个

24、可以调整的或者可以控制的参变量。因此，当在育龄妇女人数一定规模的条件下， 年龄别生育率fx的不同确定，将直接关系到预测年度人口出生水平的高与低。 所以，对年龄别生育率fx的不同选择，亦就形成有相应的出生人数预测方法。 一般有实际生育率法和修正生育率法两类。（1）实际生育率是指将当前的实际生育率fx直接纳入预测模型进行预测的方法。该预测的目的 在于回答某一人口如果按照某一实际生育率水平进行生育， 这个人口在未来年度 的出生人数将可能达到某一实际规模，以为权衡社会经济的发展提供可资参考的 信息。（2）修正生育率是指依据人口控制目标要求而对实际生育率水平加以修正来进行预测的方法。 其 前提是在当前生

25、育率水平不能适应未来社会经济发展水平要求而提出的。 这就要 求必须根据人口控制目标的不同方案， 对实际生育率加以修正与调整，然后纳入 人口预测模型进行测算。其处理方法为：某年龄目标生育率=（实际年龄别生育率*目标总和生育率）/实际总和生育率 式中，目标总和生育率为控制目标条件要求下的生育率水平。 根据目标生育率的 预测结果，即体现着某一目标生育率水平条件下的预测结果。3.2死亡人数预测基本思想：人口死亡现象会直接引起人口总体的数量发生变动。而人口总体又是 由按年龄、分性别构成的一个复杂整体，因此，由人口死亡现象所引起的人口数 量变动在各个不同年龄间和性别间也就有着差异。 然而，由于死亡因素而使

26、各个 年龄组人口数变动的特征是一致的，即当在封闭条件下，除0岁组外每一个年龄 组人口数只有绝对减少的变动。根据这一特点，对于同一年龄组的人口数，在不 同的时间条件下，如今年x岁年龄组的人口数到下一年进入 x+1岁年龄组的时 间条件下所引起的人口数的变动之差，即可由此得到相应的死亡人数的预测和计 量。从而，得到下面一个重要结论：x岁年龄组的死亡人数等于这个年龄组同其相邻的x+1岁年龄组的人口数之差。这就是死亡人数预测的基本理论依据。 基本模型：根据上述理论即可得到死亡人数预测模型的如下描述：Doo （t 中1 ）= B（t ）- Po（t 十1 ）Do（t +1 A Po（t ）- Pl（t +

27、1）U（t +1 ）= B（t ）-P2（t +1 ）D2（t+2）= P2（t）- P3（t+1）DW 二（t +1 ）= Pw（t Pwjm （t+1）又根据年龄移算法已知：P0 t 1 = B t goPx 1 t 1 = Px t Sx于是上式可以整理为如下预测模型:Do（t+1）=B（t）（1-SUDo（t+1）=Po（t）（1S） 严戏+1）=讯卜（1S ）D2（t+1）=P2（t）（1S2）.Dw4（t +1 ）= Pw4（t 卜（1 -Sw4 ）Doo t 1为出生当年过程中死亡人数； Dxt 1为预测年度x岁的死亡人 数；B t为预测年度之出生人数；Soo为出生当年的存活率；Sx为x岁人口之存 活率；Px t为t年