吉林大学_陈殿友--线性代数全集.ppt

1、线性代数（第三版）同济大学数学教研室编课程的性质课程的性质l线性代数是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一。它既是学习数学的必修课，也是学习其他专业课的必修课。内容与任务内容与任务l线性代数是研究有限维线性空间及其线性变换的基本理论，包括行列式、矩阵及矩阵的初等变换、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型等内容。l既有一定的理论推导、又有大量的繁杂运算。有利于培养学生逻辑思维能力、分析问题和动手解决问题的能力。用途与特点用途与特点l线性代数理论不仅为学习后续课程奠定必要的数学基础，而且在工农业生产如国防技术中有着广泛的应用，是理工科大学生的一门重要的数学基础课。该课程的特点是：公式

2、多，式子大，符号繁，但规律性强，课程内容比较抽象，需要学生具备一定的抽象思维能力，逻辑推理能力，分析问题能力和动手解决实际问题的能力。第一章行列式l本章主要介绍n阶行列式的定义，性质及其计算方法。此外还要介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克拉默（Cramer）法则。1 阶行列式的定义阶行列式的定义l1、二元线性方程组一、n阶行列式的引出用消元法求解，得：l当时，l求得方程组有唯一解：引入二阶行列式方程组的解可以写成：二阶行列式的计算l例如例解二元线性方程组求解方程2.三元线性方程组用消元法可求得，当时，三元线性方程组有唯一解：其中：三阶行列式的定义l例如三阶行列式的计算-357-249-16

3、8例解三元线性方程组3.n元线性方程组构造：提出三个问题l（1）D=？（怎么算）？l（2）当D0时，方程组是否有唯一解？l（3）若D0时，方程组有唯一解，解的形式是否是二、全排列及其逆序数l1、全排列l用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：123，231，312，132，213，321l一般地，把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？l这是一个全排列问题。从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；l在从剩下的n-1个元素中任取一个元素，放在的第二个位置上有n-1种取法;依此类推，直到最后剩下一个元素放在最后位置上，只有一种取法；l于是：2.逆序数l对于n个不同的元素，可规

4、定各元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序）。于是，在这n个元素的任意排列中，当某两个元素的前后次序与标准次序不同时，就说产生了一个逆序逆序，一个排列中所有逆序的和叫做这个排列的逆序数。逆序数是奇数的排列叫做奇排列，逆序数是偶数的排列叫做偶排列。3.逆序数的计算方法不妨设元素为1至n个自然数，并规定有小到大为标准次序，设为这个自然数的一个n级排列，考虑元素，如果比大的，且排在前面的元素有个，说这个元素的逆序是个，全体元素逆序之和即是的逆序数，l例如，设排列3 2 5 1 4,其逆序数为：t=1+3+0+1+0=5当我们把上面排列改为31524，相当于把32514

5、这个排列的第2、4两个数码对换（将一个排列中任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换）。通过计算可知31524的逆序数为lt=1+2+0+1+0=4l可见排列32514为奇排列，而31524为偶排列，可见一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。l定义定义1设有n2个数，排成n行n列的数表三、n阶行列式的定义l作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)t，得到形如的项，其中为自然数1，2，n，的一个排列，t 为这个排列的逆序数。l这样的排列共有n!个，所有这些项的代数和称为n阶行列式。记为:l也可记为:行列式的其他定义l另一种定义形式为:l同理，也可以

6、定义为:四、几种特殊的行列式l（1）对角行列式l（2）下（上）三角行列式l（3）l其中，第二讲2.行列式的性质行列式的性质有了n阶行列式的定义，我们就可以计算n阶行列式，在计算几种特殊行列式的过程中，发现直接用定义计算是非常麻烦。当行列式的阶数较高时，计算是十分困难的，为了简化n阶行列式的计算，我们这一节主要研究行列式的性质。一一.转置行列式转置行列式ll把行列式的行换成同序数的列而得到的行列式称为原行列式的转置行列式。即l称DT为D的转置行列式二行列式的性质二行列式的性质性性质质1行行列列式式与与它它的的转转置置行行列列式式相等相等.l证证设设l由此性质可知，行列式的行与列具有相同的地位，行

7、列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然。性质性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。互换行列式的两行（列），行列式变号。证设行列式l于是l推推论论如如果果行行列列式式有有两两行行（列列）完全相同完全相同,则此行列式等于零则此行列式等于零.l证证把这两行互换，有l D=D，故lD=0.l证设llD=性质性质3 行列式的某一行（列）中所有的行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式。故l推推论论行行列列式式中中某某一一行行（列列）的的所所有有元素的公因子可以提到行列式的外面元素的公因子可以提到行列式的外面.l例如例如l性性质质

8、4行行列列式式中中如如果果有有两两行行（列列）元素成比例，则此行列式等于零元素成比例，则此行列式等于零.l例如性质性质5 若行列式的某一列（行）的元素若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和都是两数之和，则则D 等于下列两个行列式之等于下列两个行列式之和：即和：即例如计算l例如 性质性质6 把行列式的某一列（行）的把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数然后加另一列（行）各元素乘以同一个数然后加另一列（行）对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变.三、用行列式的性质三、用行列式的性质计算行列式计算行列式l例1计算l例例2.计算计算解：解：l例3计算l解：从倒数的二行开始，把前一行

9、的（-1）倍加到后一行上去。l同理，可得：l例4计算l解：把所有列都加到第一列上去，然后，从第一列提取公因子，再把第二、三、四行都减去第一行。3行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开一一.余子式和代数余子式余子式和代数余子式在在n阶阶行行列列式式中中，把把元元素素所所在在第第i行行和和第第j列列划划去去后后，留留下下来来的的n1阶阶行行列列式式叫叫做做元元素素的余子式的余子式.记作记作.即即的余子式记作的余子式记作.的代数余子式的代数余子式第三讲中元素的余子式和代数余子式分别为二.行列式按行（列）展开定理引理设D为n阶行列式，如果D的第i行所有元素除外，其余元素均为零，那么行列式D等于与其代

10、数余子式的乘积，即证：证：设定理定理11行列式等于它的任一行列式等于它的任一 行（列）的各元素与其对行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和应的代数余子式乘积之和,即即证：类似地.若按列证明，可得例1.计算例2计算解:按第一行展开以此作递推公式，即可得例例33证明范蒙得（证明范蒙得（VandermondeVandermonde）行列式行列式其中记号“”表示全体同类因子的乘积.所以当n=2时（1）成立.现在假设（1）对于n1阶Vandermonde行列式，即证证:用数学归纳法用数学归纳法.因为因为我们来证明对n阶Vandermonde行列式也成立.例4.计算三、行列式展开定理的推论推论行列式

11、某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即或证:设把把D D按第按第j j行展开行展开,有有在上式两端用在上式两端用 代替代替得同理可证,显然显然,等式左端行列式有两行相同等式左端行列式有两行相同,故行列式等于零故行列式等于零,即即.综合定理1和推论有其中例5已知行列式求,其中是D的第4行元素的代数余子式.解：第一章第一章第四节第四节4.克拉默法则克拉默法则一.非齐次线性方程组的克拉默法则(1)设非齐次线性方程组(3)则线性方程组(1)有唯一解若(1)的系数行列式(2)即证明：等式成立证明：先证是（1）的解，要证是（1）的解，只须证明（3）满足（1）即可，为此把（

12、1）改写成：做n+1阶行列式显然.把按第一行展开.需要求出第一行每个元素的代数余子式.第一行元素的代数余子式为:所以即再证唯一性.假设也是(1)的解.在(2)两端同时乘以由于,所以故线性方程组(1)有唯一解(3).例1.解方程组解:定理2.如果线性方程组（1）的系数行列式D不等于0,则(1)有唯一的解.定理.如果线性方程组(1)无解或有多个解，则它的系数行列式必为0.于是得原方程组的解为二.齐次线性方程组的克拉默法则设齐次线性方程组(4)若(4)的系数行列式(5)则(4)没有非零解.定理.如果齐次线性方程组(4)有非零解,则它的系数行列式必为0。定理3.如果齐次线性方程组(4)的系数行列式D不

13、等于0,则齐次线性方程组(4)没有非零解.例2.问在什么条件下,方程组有非零解？解：由定理知，若方程组有非零解，则其系数行列式必为零。所以，当或时，上面方程组有非零解。例3设非齐次线性方程组问 为何值时，该方程组有唯一解，并求其解。解：方程组的系数行列式为（+2）显然当2，1时，方程组有唯一解。D=行列式主要知识点网络图行列式主要知识点网络图概念排列行列式逆序，奇排列，偶排列一般项是不同行不同列元素乘积的代数和.互换行列式的两行(列)，行列式变号。某行有公因子可以提到行列式的外面。若行列式中某一行(列)的所有元素均为两元素之和，则该行列式可拆成两个行列式.某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列

14、式不变。行列式知识点性质展开计算行展开列展开定义法递推法加边法数学归纳法公式法拆项法乘积法析因子法齐次线性方程组有非零解的充要条件克拉默法则应用第二章矩阵及其运算1矩阵一、矩阵概念定义定义1.为表示它是一个整体,在这数表的两边用大圆括弧把它范围起来，并用大写黑体字母表示:例例1 1.某厂向三个商店发送四种产品，其发送的数量和单价及单件的重量都可用矩阵来刻划.若用表示为工厂向第i 店发送第j 种产品数量，则矩阵表示了工厂向三个商店发送四种产品的数量.表示了这四种产品的单价及单件重量.4213例2.四个城市间的单向航线如下图所示.若令从i市到j市有一条单向航线从i 市到j 市没有单向航线则图中的航

15、线用矩阵表示为例3.二、矩阵的表示方法三.几种特殊的矩阵1.方阵2.上三角矩阵3.下三角矩阵4.对角矩阵5.单位矩阵6.行矩阵7.列矩阵8.零矩阵9.负矩阵10.同型矩阵两个矩阵的行数和列数分别相同的矩阵称为同型矩阵.11.对称矩阵12.反对称矩阵2.矩阵的运算一、矩阵的加法1、定义定义2设有两个mn矩阵AB那末矩阵A 与B 的和记作A+B,规定为A+B=矩阵的减法：A B=A+(B)2、运算律矩阵的加法满足下列运算规律设A、B、C 都是mn 矩阵:1）A+B=B+A2）（A+B）+C=A+（B+C）3）A+（A）=A A=0二、数与矩阵相乘1、定义定义3数 与矩阵的乘积,记作A 或A,规定为

16、A=A=2、运算律数乘矩阵满足下列运算规律设A、B 为mn 矩阵，、为数：2）（)A=A+A；1）（）A=(A)3）(A+B)=A+B这样定义矩阵加法和数乘矩阵的运算，统称为矩阵的线性运算.三、矩阵与矩阵相乘1、定义定义4设A=（aij)ms,B=(bij)sn矩阵，那末规定矩阵A与矩B 的乘积是一个mn矩阵C=(cij)mn。其中即A B=C.注意：例1.求矩阵A =B =与的乘积ABC AB解：例2.设矩阵A=B=求AB与BA。AB=解：BA=2.运算律1)矩阵的乘法一般不满足交换律2)（AB）C=A（BC）3)(AB)=(A)B=A(B),(其中为数);4)A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA3.设E为单位矩阵EA=AE=A或简写成4、方阵的幂运算设A为n 阶方阵.k,l 为正整数如AB其中是向第i 店所发产品的总值,是向第i店所发产品的总重量。C 表示为向三个商店所发产品的总值及总重量所构成的矩阵。则A2表示从i 市经一次中转到j 市的单向航线的条数构成的矩阵。又如1243四、矩阵的转置1、定义定义5把矩阵A 的行换成同序数的列得到的矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作