高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结.doc

1、线面角的求法1直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1 （ 如图1 ）四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，SBA=45, SBC=60, M 为 AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。解:（1） SCSB,SCSA, 图1SC平面SAB 故 SB是斜线BC 在平面SAB上的射影， SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60。（2） 连结SM,CM，则SMAB,又SCAB,AB平面SCM,面AB

2、C面SCM过S作SHCM于H, 则SH平面ABCCH即为 SC 在面ABC内的射影。 SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin SCH=SHSCSC与平面ABC所成的角的正弦值为77（“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）2. 利用公式sin=h其中是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例2 （ 如图2） 长方体ABCD-

3、A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面 AB1C1D 所成的角。解：设点 B 到AB1C1D的距离为h，VBAB1C1=VABB1C113 SAB1C1h= 13 SBB1C1AB，易得h=125 ，设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为,则sin=hAB=45，AB与面AB1C1D 所成的角为arcsin0.83. 利用公式cos=cos1cos2 （如图3） 若 OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面内的射影，OC为面内的一条直线，其中为OA与OC所成的角， 图31为OA与OB所成的角，即线面角，2为OB与OC所成的角，那么 cos=cos1c

4、os2，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）1平面的斜线和平面所成的角： 已知，如图，是平面的斜线，是斜足，垂直于平面，为垂足，则直线是斜线在平面内的射影。设是平面内的任意一条直线，且，垂足为，又设与所成角为，与所成角为，与所成角为，则易知：，又，可以得到：，注意：（若，则由三垂线定理可知，即；与“是平面内的任意一条直线，且，垂足为”不相符）。易得： 又即可得：则可以得到：（1）平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；（2）斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫

5、做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹角）。说明：1若，则规定与所成的角是直角；2若或，则规定与所成的角为；3直线和平面所成角的范围为：；4直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值（）。例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60, ，求直线OA 与 面OBC所成的角的余弦值。解：AOB=AOC OA 在面OBC 内的射影在BOC 的平分线OD上，则AOD即为OA与面OBC所成的角，可知DOC=30 ,cosAOC=cosAODcosDOC，cos60=cosAODcos30 cosAOD= 33 OA 与 面OBC所成的角的余弦值为33。2例题分析：例1如图，已知

6、是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内的一条直线，求斜线和平面所成角。解：，由斜线和平面所成角的定义可知，为和所成角， 又，即斜线和平面所成角为例2如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角。解（法一）连结与交于，连结，平面，是与对角面所成的角，在中，（法二）由法一得是与对角面所成的角，又，说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角。另外，在条件允许的情况下，用公式求线面角显得更加方便。例3已知空间四边形的各边及对角线相等，求与平面所成角的余弦值。 解：过作平面于点，连接，是正三角形的外心，设四面体的边长为，则，即为与平面所成角，所以，与平面所成角的余弦值为2如图，已知正方形所在平面，且，求和平面所成的角。7