高三数学《函数单调性在不等式中的运用》教案.doc

1、函数单调性在不等式中的运用函数单调性是函数的重要性质之一，其有着广泛应的应用巧妙利用函数的单调性可解抽象函数不等式、证明函数型不等式、求解不等式中参数的取值范围等。一、解抽象不等式抽象函数不等式常利用函数的单调必性，化归为函数自变量的大小，脱去函数中的“f”，再利用函数单调性的性质从而化为不等式求解。基本方法：若函数在区间D上单调递增，且x1，x2D，则由f(x1)f(x2可得：；若函数在区间D上单调递减，且x1，x2D，则由f(x1)f(x2可得：x1x2，利用此性质，即可确定自变量之间的关系。例1. 已知偶函数在区间单调增加，则满足的x 取值范围是（A）（，） (B) ，） (C)（，）

2、(D) ，）【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)f(|x|) 得f(|2x1|)f(),再根据f(x)的单调性 得|2x1| 解得x例2.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ D ）ABCD【解析】由是奇函数可知，而，则，当时，；当时，又在上为增函数，则奇函数在上为增函数，.二.证明函数不等式利用函数单调性证明不等式，是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是高考的热点。其主要思想是利用不等式与函数之间的联系，将不等式的部分或者全部投射到函数上。直接或等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数。再通过研究该函数的单调性或求出该函数的最值，将不等式的证明转化为函数问题，即转化为

3、比较函数值的大小，或者函数值在给定的区间上恒成立等，从而证得不等式.常用的证明方法有：函数单调性法与函数最值法。方法一：函数单调性法（端点函数法）函数单调性法（端点函数法）证明不等式的精髓是：先作差构造一辅助函数，对辅助函数求导，判断辅函数在指定区间上的单调性（注：不必求函数的最值），从而达到证明的目的。 定理1：设R(x)=g(x) - f(x)在区间(a,b)内可导，且满足下列条件：1）R/(x)0，R(a)=0时，则有f(x) g(x)2）R/(x)0，R(a)=0时，则有f(x) g(x)定理2：设R(x)=g(x) - f(x)在区间(a,b)内可导，且满足下列条件：1）R/(x)0

4、，R(b)=0时，则有f(x) g(x)2）R/(x)0，R(b)=0时，则有f(x) g(x)定理理解与解释：一般地,欲证 f(x) g(x) 在区间(a,b)内成立时,可先作差构造出函数R(x)= f(x) - g(x)，补充定义R(0)=0，然后对R(x)求导，判断R(x)在区间(a,b)内的单调性。证R(x)在a,b)上为增函数， 且R(a) 0； 或证 R(x)在(a,b上为减函数 ，且R(b) 0.欲证 f(x) 0， 令：，补充定义f(0)=0.当：是增函数例2：设，证明不等式。证明：令补充定义f(0)=0.,补充定义g（0）0，则故由（1）、（2）可知，2、将不等式变形（代换、

5、比商等）后再作差构造函数例1、 证明:当时,有分析 ：把要证的不等式变形为,然后把相对固定看作常数,并选取辅助函数.则只要证明在是单调减函数即可.证明 令 于是有因为 故所以 因而在内恒有,所以在区间内严格递减.又因为,可知即 所以 例2.若证明：令例3、设函数其中证明对任意的正整数，不等式都成立证明：当时，函数，令函数，则当时，所以函数在上单调递增，又时，恒有，即恒成立故当时，有对任意正整数取，则有所以结论成立例4.已知是正整数，且 证明：分析：要证成立，只要证即要证成立。因为m0,证明:.证明:令, 则.当时, ,所以函数在上单调递减.当时, 即. 分别取.得.即.也即.即. 例2. 已知

6、n0,证明:.证明:令, 则.当时, ,所以函数在上单调递增.当时, 即. 分别取.得.即.也即. 即.方法二：函数极值、最值法如果所要证明的函数型不等式在指定区间上存在极值、最值，可以构造一辅助函数.利用函数的单调性,求出此函数在指定区间上的极值、最值，将不等式的证明问题转化为用导数求函数的极值或最大（小）值问题。从而使不等式得于证明.如要证f(x)g(x), 只需证明函数F(x)=f(x)-g(x)的最小值大于O；如要证f(x)g(x)，只需证明函数F(x)=f(x)-g(x) 的最小值等于0；如要证f(x)x 例2.当x1时，证明不等式 证明： 设， ，当时，函数f(x)在减函数；当时，

7、函数f(x)在上是增函数。 所以，当x=0时，函数f(x)取到最小值， 当x1时，f(x)f(0)=0，即: 当x1时,不等式恒成立.三.求解不等式中参数的取值范围形如f(x)0；f(x)0； f(x) g(x)；f(x) g(x)不等式中参数取值范围的确定,是高考命题测试中的常见题型,解决此类类问题的常用方法有：分离参数法、函数单调性一一讨论法、最值法。解题技巧：一般地,：对于求形如f(x)0或f(x)0不等式中的参数取值范围，可用分离参数法、函数单调性一一讨论法、最值法求解。即：f(x)0 ；f(x)0 对于求形如f(x) g(x)或f(x) 1.若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范

8、围。w.w.w.k.解： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由知，当时，故在区间是增函数； 当时，故在区间是减函数； 当时，故在区间是增函数。 由上述知:当时，在或处取得最小值。 由假设知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即 解得 1a6故的取值范围是（1，6）解题体会:应用此法解题的目标是:将不等式中的参数分离出来,转化为求函数的最值;或直接讨论所给函数的单调性,求出函数的最值,再利用f(x)0 ,函数的 或f(x)0 ,函数的 的原理加以求解.2.单调性分类讨论法-适用方法当参数难以分离而不等式是有关某个变量的函数时，可以通过构建函数来解决。即：通过数式类比，构造适当的函数模型，然后利用函数的单调性加以讨论.排出使不等式不能恒成立的单调区间从而确定参数范围。解题体会: 应用此法解答此类题目时,常常需要挖掘题中所蕴含条件或利用一些相关的不等式,将其导数适当的放大或缩小后作正反两方面的讨论.下面是一些常用到的不等式:（1） （）. （2） （）. （3）exxx 1 （）