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1、F统计图之间的相互转化。例子：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方

2、程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形；（二）、数形结合思想数学的研究对象是现实世界中的数量关系（“数”）和空间形式（“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的，一定条件

3、下也是可以互相转化的，因此，在解决问题时，常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查，利用数的抽象严谨和形的直观表意，把抽象思维和形象思维结合起来，把数量关系问题通过图形性质进行研究，或者把图形性质问题通过数量关系进行研究，从而形成问题解决的一种重要数学思想（以数解形，以形助数）。数是形的抽象概括，形是数的直观体现，把数和形结合起来，从而把隐蔽的问题明朗化、抽象的问题直观化、复杂的问题简单化，化难为易，达到快速、形象、简单易行地解决问题的目的。数形结合思想在数学应用中非常广泛，它比较适合处理那些数量关系与图形位置关系可以互相转化的问题。A利用数轴确定实数的范围；B几何图形与代数恒等式（或不

4、等式）；C数与形相结合在平面直角坐标系中的应用；D利用函数图像解决方程、不等式问题；E数与形相结合在函数中的应用；F构造几何图形解决代数问题例如：在数轴上表示数；用数轴描述有理数的有关概念和运算（相反数、绝对值等概念，比较有理数的大小，利用数轴探究有理数的加法法则、乘法法则等）；在数轴上表示不等式的解集；代数的不等式（组）、方程和方程组，几何的几乎所有内容；函数方面（建立直角坐标系使点与有序实数对之间建立了一一对应关系，从而具备了数形转化的重要工具；从解析式和图像两个方面来研究函数，能更清晰地把握函数的性质；用图像解决代数问题如解不等式、解方程和用代数解决几何问题如通过解析式确定抛物线的对称轴

5、、开口方向等）；运用代数、三角比知识通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题；能运用几何、三角比知识通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题。数轴上的点与实数的一一对应的关系。平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。函数式与图像之间的关系。线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决几何问题。“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。实际上就是通过“

6、形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。（三）、分类讨论思想由于题目的约束较弱（条件趋一般）或图形位置的变化，常常使同一问题具有多种形态，因而有必要考察全面（所有不同情况），才能把握问题的实质，此时应当进行适当分类，就每一种情形研究讨论结论的真理性（正确性）。是化整为零、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的体现。当被研究的问题包含多种情况，又不能一概而论时，必须按出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论。在具体的求解过程中，整体问题转化为部分问题后，事实上增加了题设条件。把一个复杂的问题分成若干个相对简单的问题来处理。分类有不同方法，但必须按统一标准分类，且做到

7、不重不漏，“讨论务尽”。分类讨论思想是指对一个问题出现的情况进行全面分析思考，将其区分为不同种类，克服思维的片面性，防止漏解。即根据题目的要求，将条件分为不重复、不遗漏的几种情况，并逐一列出它们的解答。从整体上看，中学数学分代数、几何两大类，然后采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现，从具体内容上看，初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等，学生要按不同的情况去对同一对象进行分类，掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案，这种解决问题的思想方

8、法就是分类讨论的思想方法。分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”。其一般规则及步骤是：（1）确定同一分类标准；（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；（4）综合概括小节，归纳得出结论。A对问题的题设条件需分类讨论；B对求解过程中不便统一表述的问题进行分类讨论；C从图像中获取信息进行分类讨论；D对图形的位置、类型的分类讨论；E对字母、未知数的取值范围分不同情况讨论。例子:有理数的分类；绝对值的讨论；有理数的加法法则、乘法法则、有理数乘法的符号法则、乘方的符号法则；整式分类；研究平方根、立方根时，把数按正数

9、、0、负数分类；按定义或按大小对实数进行分类；（四）、数学建模思想数学模型指根据所研究的问题的一些属性、关系，用形式化的数学语言（概念、符号、语言等）表示的一种数学结构（如多项式、方程式、不等式、函数式以及图形等）。数学模型方法，指先根据研究的问题建立数学模型，再通过对数学模型的探索进而达到解题目的的方法。此法多用于解决一些实际问题或较繁琐的数学问题。所谓数学模型，是指用数学语言把实际问题概括地表述出来的一种数学结构，把实际应用题中的等量关系构建在方程组的模式，或其他模式。就是找到一种解决问题的数学方法。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一种反映。它可以是方程、函数或其他数学式子，也可

10、以是一个几何基本图形。利用数学模型解决问题的一般数学方法就是数学模型方法。它的基本步骤如下图所示：数学中的建模思想是解决数学实际问题用得最多的思想方法之一，初中数学中常用的数学模型有：方程模型，函数模型，几何模型，三角模型，不等式模型和统计模型等等。A建立几何模型（合理、正确地画出几何图形）；B建立方程、函数模型解决实际问题；C在解决实际问题（如物体运动规律、销售问题、利润问题、方案设计、几何图形变化问题等）时，先抽象出一次函数或二次函数关系式的数学模型（即建模），再用函数的知识来解决这些实际问题。1.方程思想在解决问题时，通过已知量和未知量的联系，建立起方程或方程组，通过解方程或方程组，求出

11、未知量的数值，从而使问题得以解决，这种通过立方程（组）去沟通已知和未知的联系的数学思想，就称为方程思想。在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程（或方程组），再通过解方程（组）使问题获得解决。求值问题，当未知数不能直接求出时，一般需设出未知数（x），并建立方程，用解方程的方法去求结果，这是解题中常见的具有导向作用的一种思想。分析问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的相等关系。通过适当设元, 利用已知条件、公式、定理中的已知结论来构造方程（组）,从而解决问题的一种思维方式。方程思想是把问题中的量划分为已知量和未知量，并把这

12、些量用字母表示（习惯上用x表示未知量），将问题中的条件，量与量的关系列为方程或不等式，通过解方程或不等式，或利用方程的性质，不等式的性质使问题得以解决。立方程（组）解应用题；利用判别式和韦达定理确定一元二次方程中待定系数（字母系数）；二次三项式的因式分解；利用韦达定理解形如韦达定理的二元二次方程组；2.函数思想将所研究的问题纳入某变化过程中加以考查，从中抽象出变量之间特定的函数关系，然后利用函数的性质去解决问题，从而得到实际问题的研究结果，这种研究问题的思维策略就是函数思想。函数思想的实质是用运动变化对应的观点去研究两个变量间的相互依赖关系。辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和

13、发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法。函数所揭示的是两个变量之间的对应关系，通俗的讲就是一个量的变化引起了另一个量的变化。在数学中总是设法将这种对应关系用解析式表示出来，这样就能充分运用函数的知识、方法来解决有关的问题。虽然函数知识安排在初中后阶段学习，但函数思想已经渗透到七、八年级数学教材的各个内容之中。例如学习进行求代数式的值的时，通过强调解题的第一步“当时”的依据，渗透函数的思想方法字母每取一个值，代数式就有唯一确定的值。函数是将原来问题中的一些量转化为变量和常量，并把这些量用字母（习惯用x 、y）表示，把量与量的关系抽象概括为函数模型，用运动、变化和对应的观点，通过对函数

14、模型的研究利用函数的性质，使问题获得解决。函数是数学最重要的概念之一。它是量的侧面反映着现实世界中运动、变化及相互联系、相互制约的关系。在初中阶段能利用解析式表示正、反比例函数、二次函数。在日常生活中，还存在着函数关系，它们多数是用图像表示的。求最大（小）值；解决有关方程、不等式、圆的问题；解决大量的实际问题；（五）、抽象和概括思维方法从所研究的问题中排开那些与转化无关的表面因素，只抽取出与研究有关，直接作用于转化机制的本质属性。解题通常不能一步到位，因而伴随解题的抽象活动也必须经过多步才能完成。解题过程倘若缺少抽象概括方法的引导，将会出现偏离解题方向的现象，进而从事无效劳动，甚至由于一些非本

15、质属性的干扰，难以建立解题思路。抽象：是人们在感性认识的基础上，透过现象，深入里层，抽取出事物的本质特征、内部联系和规律，从而达到理性认识的思维方法。抽象的过程离不开比较、归纳、分析、综合，要经过“去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里”的加工制作过程，排除那些无关的或非本质的次要因素，抽取出研究对象的重要特征、本质因素、普遍规律与因果关系加以认识，从而为解答问题提供某种科学依据或一般原理。概括：即把抽象出来的若干事物的共同属性归纳出来进行考察的思维方法。概括是人们追求普遍性的认识方式，是一种由个别到一般的思维方法。概括是以抽象为基础，抽象度愈高，则概括性愈强，高度的概括对事物的理解更具有一般

16、性，则获得的理论或方法就有更普遍的指导性。抽象和概括是密不可分的。抽象可以仅涉及一个对象，而概括则涉及一类对象。从不同角度考察同一事物会得到不同性质的抽象，即不同的属性。而概括则必须从多个对象的考察中寻找共同相通的性质。数学思维侧重于分析、提练、概括思维则侧重于归纳、综合。数学中的每一个概念都是对一类事物的多个对象通过观察和分析，抽象出每个对象的各种属性，再通过归纳、概括出各个对象的共同属性而形成的。在解决数学问题方面，得出数学的模型、模式，总结出解题的规律和方法，都是通过分析、比较、抽象、归纳等思维环节，最后进行理论概括的结果几何图形都是由现实事物去其物理性质，而只考虑其形状、大小、位置抽象

17、出来的，这也是解决现实生活中问题的一个途径。（六）、整体思想将问题看成一个完整的整体，把注意力和着眼点放在问题的整体结构和结构改造上，从整体上把握问题的内容和解题的方向和策略。整体思想注重问题的整体结构，将题中的某些元素或组合看成一个整体，从而化繁为简，化难为易。把问题放到整体结构中去考虑， 就可以开拓解题思路，优化解题过程。从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法。化简：1/（a+2）（a+3）+1/（a+3）（a+4）+/1（a+4）（a+5）时按常规方法进行通分，显然最简公分母比较复杂，计算量较大。若从整体观察分式的特征，可逆用分式

18、加减法法则及规律公式1/n（n+1）=1/n-1/（n+1），将原分式分离变形。即原式=1/（a +2）-1/（a+3）+1/（a+3）-1/（a+4）+1/（a+4）-1/（a+5）=1/（a+2）-1/（a+5）=3/（a+2）（a+5）求代数式的值；乘法公式中的字母可以表示代数式；系统化系统化，就是将各种有关材料编成顺序，纳入一定体系之中进行研究的一种思维方法。它是与比较、分类、抽象、概括、具体化等思维方法紧密联系在一起的。运用系统化方法，有助于从整体上把握事物的内在联系，系统、深刻地掌握知识；有助于抓住核心，了解来龙去脉。例如，在学习了两角和与差的三角函数的公式，倍角、半角的三角函数公

19、式，万能公式以及三角函数的积化和差与和差化积公式之后，应及时指导学生把这许多公式的内在联系和推导的线索用绘制图表的方法进行系统的整理，这将大大有助于学生理解、记忆和掌握这些公式，这是学好三角函数公式的关键。又如，在学习了椭圆、双曲线、抛物线的内容之后，也应指导学生把这三种圆锥曲线的几何条件（定义）、标准方程、图形、性质制成图表，进行比较，并形成系统化的知识。二、逻辑型思想方法（一）、演绎推理演绎推理是从一般原理推出个别结论的思维方法。即一般到特殊的推理方法。其特点是：在推理的形式合乎逻辑的条件下，运用演绎法从真实的前提一定能推出真实的结论。演绎推理是逻辑证明的工具，整个欧几里得几何就是一个演绎

20、推理系统，19世纪数学家们由对欧几里得第五公设的独立性的试证导致发现非欧几何。三段论是演绎推理的主要形式，所谓“三段论”就是由大前提、小前提、结论三部分组成。例如，凡同边数的正多边形都是相似的。这两个正多边形的边数是相同的，所以这两个正多边形也是相似的。这里有三个判断，第一个判断提供了一般的原理原则，叫做三段论的大前提；第二个判断指出了一个特殊场合的情况，叫做小前提；联合这两个判断，说明一般原则和特殊情况间的联系，因而得出的第三个判断，叫做结论。公理化推理的逻辑快乐（二）、归纳与猜想在解决数学问题时，从特殊的、简单的、局部的例子出发，通过观察类比联想进而猜想结果的思想方法。通过对一系列特殊问题

21、的研究，概括出一类问题的一般性规律的思维方法。数学归纳法归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n1（或n0）时成立，这是递推的基础；第二步是假设在nk时命题成立，再证明nk1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断

22、命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或nn0且nN）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。运用数学归纳法证明问题时，关键是nk1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。（三）、比较的思维方法、比较法是数学思想中的一个具有奠基作

23、用的思维方法，是使用其他思想方法的前提。它不遵循逻辑思维的规律，但是却能获得研究发现，是确定解题方法的导火索。使用比较法，首先要有一个比较的标准，如在几何问题中，首先必须比较若干个基本图形的异同点，搞清其区别与联系，观察出“异中之同，同中之异”，明确问题的特征、转化方式等标准，才能发现转化途径，再选择适当的解题方法。自然界虽然千变万化，事物千差万别，但每一事物都不是孤立的存在着，而是在同其他事物的相互联系中表现出自己的许多属性。比较是一种判断性的思维活动，是确定所研究的对象的相同点和差异点的思维方法。A概念的比较；B从不同图形中寻找相同进行比较；C将问题延伸，从中寻找规律进行比较。同类项；通过

24、角的形态的比较，形成对对顶角、邻补角、“三线八角”的鲜明对照，在区别上明鉴，在联系上沟通；1. 类比方法据事物与事物之间在某些方面（如特征、属性、关系）的相似之处进行比较，通过联想和预测，推出它们在其他方面也可能相似，从而去建立猜想和发现真理的方法。通过类比可发现新旧知识的相同点和不同点，利用已有知识来认识新知识和加深理解新知识。所谓类比，就是两个对象都有某些相同的属性，并且其中一个对象还有另外的某些属性作为前提，进而判断出另一个对象也有这些属性的思维形式。一些数学问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学知识。合并同类项与合并同类二次格式类比；二次根式的和相乘与多

25、项式乘法类比；通过与分数的类比来研究分式的概念、基本性质、通分、约分、运算等；由假分数化成带分数继而化为整数部分和分数部分的和，联想到在分子的次数不低于分母次数的分式中可以用带余除法将分式转化为整式部分和分式部分的和；通过与等式基本性质的类比来学习不等式的基本性质；学习一元一次不等式的解法，应将其与一元一次方程的解法进行类比；2.对比方法把两个几何图形的特征加以对比，才能发现它们的区别和联系才能深刻地理解，才能识别。线段的中点和角平分线的区别和联系；（四）、举反例证明假命题的方法、反驳反驳是用已知为真的命题去揭露或证实另一个命题的虚假性的逻辑方法。反驳与证明不同，证明是确定某一判断的真实性，反

26、驳是确定对方论题的虚假性或不能成立；证明的作用在于探求真理，阐明真理，反驳的作用则在于揭露谬误，捍卫真理。反驳与证明又是密切联系的，如果确定了一个判断的真实性，同时也就意味着确定了与之相矛盾的判断的虚假性。反之，如果确定了一个判断的虚假性，同时也就意味着确定了与之相矛盾判断的真实性。所以，证明与反驳是相辅相成的，它们都是人们探索真理、发展真理不可缺少的思维形式和逻辑方法。常用的反驳法有以下三种：构造一反例。即举出一个例子，说明它具备命题的全部条件，但不具有命题的结论。假定命题成立，推出荒谬结果，从而证明了该命题是虚假的。例如，证明“零可以作除数”是错误的。证明：因为2-2=3-3即2（1-1）

27、=3（1-1）若零可以作除数，则推出2=3这一结果，显然荒谬。所以，“零可以作除数”是错误的。论证与该命题相矛盾的命题是真实的，根据矛盾律则推出原命题是虚假的数学中，要认定一个命题是真命题，必须就一般情况给出严格的推理证明，而要认定一个命题是假命题，只需举出一个反例就可以了。举反例是证明一个命题是假命题的一般方法。反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为

28、：（1）反设；（2）归谬；（3）结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n一1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明

29、法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为