1、线面垂直的证明中的找线技巧uu 通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直1 如图1,在正方体中,为 的中点,AC交BD于点O,求证:平面MBD证明:连结MO,DB,DBAC, DB平面,而平面 DB 设正方体棱长为,则, 在Rt中, OMDB=O, 平面MBD评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明u 利用面面垂直寻求线面垂直2 如图2,是ABC所在平面外的一点,且PA平面ABC,平面PAC平面PBC求证:BC平面PAC 证明:在平面PAC内作ADPC交PC于D因为平面PAC平面PBC,且两平面交于PC,平面PAC,且ADPC, 由面面垂直的性质,得AD平面PBC 又
2、平面PBC,ADBC PA平面ABC,平面ABC,PABC ADPA=A,BC平面PAC (另外还可证BC分别与相交直线AD,AC垂直,从而得到BC平面PAC) 评注:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直线面垂直线线垂直一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直线面垂直面面垂直这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理同学们应当学会
3、灵活应用这些定理证明问题下面举例说明3 如图所示,ABCD为正方形,平面ABCD,过且垂直于的平面分别交于求证:,证明:平面ABCD,平面SAB又平面SAB,平面AEFG,平面SBC同理可证评注:本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征,从而顺利实现证明所需要的转化4 如图,在三棱锥BCD中,BCAC,ADBD,作BECD,为垂足,作AHBE于求证:AH平面BCD 证明:取AB的中点,连结CF,DF , , 又,平面CDF 平面CDF, 又, 平面ABE, , 平面BCD评注:本题在运用判定定理证明线面垂直时
4、,将问题转化为证明线线垂直;而证明线线垂直时,又转化为证明线面垂直如此反复,直到证得结论5 如图,是圆的直径,是圆周上一点,平面ABC若AEPC ,为垂足,是PB上任意一点,求证:平面AEF平面PBC证明:AB是圆的直径,平面ABC,平面ABC,平面APC平面PBC,平面APC平面PBCAEPC,平面APC平面PBCPC,AE平面PBC平面AEF,平面AEF平面PBC评注:证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系6. 空间四边形ABCD中,若ABCD,BCAD,求证:ACBD 证明:过A作AO平面BCD于O 同理B
5、CDO O为ABC的垂心 7. 证明:在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1C平面BC1D 证明:连结AC AC为A1C在平面AC上的射影 8. 如图,平面ABCD,ABCD是矩形,M、N分别是AB、PC的中点,求证: . 证:取PD中点E,则 9如图在ABC中, ADBC, ED=2AE, 过E作FGBC, 且将AFG沿FG折起,使AED=60,求证:AE平面ABC分析: 弄清折叠前后,图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解: FGBC,ADBCAEFGAEBC设AE=a,则ED=2a由余弦定理得: AD2=AE2+ED2-2AEEDcos60 =3a2ED2=AD2+AE2ADAEAE
6、平面ABC10如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ANBC; SC平面ANM分析: 要证ANBC, 转证, BC平面SAB。要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明: SA平面ABCSABC又BCAB, 且ABSA = ABC平面SABAN平面SABANBC ANBC, ANSB, 且SBBC = BAN平面SBCSCC平面SBCANSC又AMSC, 且AMAN = ASC平面ANM11已知如图,P平面ABC,PA
7、=PB=PC,APB=APC=60,BPC=90 求证:平面ABC平面PBC分析:要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D,证明AD垂直平PBC即可证明:取BC中点D 连结AD、PD PA=PB;APB=60 PAB为正三角形 同理PAC为正三角形 设PA=a 在RTBPC中,PB=PC=a BC=a PD=a 在ABC中 AD= =aAD2+PD2= =a2=AP2APD为直角三角形即ADDP又ADBCAD平面PBC平面ABC平面PBC12. 如图,直角BAC在外,求证:在内射影为直角。证:如图所示,、 为射影 确定平面 13 以AB为直径的圆在平面内,于A,C在圆上,连PB、PC过A作AEPB于E,AFPC于F,试判断图中还有几组线面垂直。解:面AEF
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